高考数学总复习83直线圆与圆的位置关系及空间直角坐标系但因为测试新人教B版 10页

‎2013年高考数学总复习 8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系但因为测试 新人教B版 ‎1.(2011·深圳二模)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()‎ A．相交　 B．相切　‎ C．相离　 D．不确定 ‎[答案]A ‎[解析]　解法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝<1<，故选A.‎ 解法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.‎ ‎2．(文)(2011·济南二模)“a＝‎3”‎是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]A ‎[解析]　若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝‎3”‎是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．‎ ‎(理)(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 ‎[答案]C ‎[解析]　由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．‎ ‎3．(2011·东北三校联考)若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于()‎ A．1 B．2‎ C. D．2 ‎[答案]B ‎[解析]　∵a、b、c是直角三角形的三条边，‎ ‎∴a2＋b2＝c2.‎ 设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝＝1，∴直线被圆所截得的弦长为 ‎2＝2.‎ ‎4．(2011·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()‎ A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0‎ C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0‎ ‎[答案]D ‎[解析]　解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P(，－)在直线l上，排除A、B、C，选D.‎ 解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，‎ 即x－y－3＝0，故选D.‎ ‎[点评]　直线l为两圆心连线段的中垂线．‎ ‎5．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()‎ A. B. C．2 D．2 ‎[答案]C ‎[解析]x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2，选C.‎ ‎6．(文)(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为()‎ A．2 B．3‎ C．2 D．6‎ ‎[答案]C ‎[解析]l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.‎ ‎(理)(2011·豫南四校调研考试)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()‎ A．5x＋12y＋20＝0‎ B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0‎ C．5x－12y＋20＝0‎ D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0‎ ‎[答案]D ‎[解析]　∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心(－1,2)到直线l的距离为3.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点(－4,0)，所以直线l的方程为x＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l的距离为3，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则圆心(－1,2)到直线l的距离为＝3，解之得k＝－，∴直线l的方程为－x－y－＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综上可得，满足题意的直线l方程为5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故选D.‎ ‎7．(2011·济南三模)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析]　由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝＝，所以圆的半径为.‎ ‎8．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且·＝2，则实数a的值等于________．‎ ‎[答案]± ‎[解析]　本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．‎ 设、的夹角为θ，则·＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，‎ ‎∴cosθ＝，∴θ＝，则弦AB的长||＝2，弦心距为，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：‎ ＝，解之得a＝±.‎ ‎9．(文)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．‎ ‎[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2‎ ‎[解析]　∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，‎ ‎∵A到l的距离5，∴所求圆B的直径2r2＝2，‎ 即r2＝.‎ 设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，‎ 又∵B到l距离为，∴＝，‎ 解出m＝2，n＝2.‎ ‎(理)(2011·杭州二检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．‎ ‎[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9‎ ‎[解析]　设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.‎ ‎10．(2011·新课标全国文，河南质量调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ ‎[解析](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的半径为r＝＝3.‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程 ‎2x2＋(‎2a－8)x＋a2－‎2a＋1＝0.‎ 由已知可得，判别式△＝56－‎16a－‎4a2＞0.‎ 因此，x1,2＝，从而 x1＋x2＝4－a，x1x2＝. ①‎ 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以 ‎2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0. ②‎ 由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.‎ ‎11.(文)(2011·济南模拟)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数 a的值为()‎ A．－1或 B．1或3‎ C．－2或6 D．0或4‎ ‎[答案]D ‎[解析]　圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋()2＝22，‎ ‎∴a＝0或4.‎ ‎(理)(2011·宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a等于()‎ A．2 B．－2‎ C．2或－2 D.或－ ‎[答案]C ‎[解析]　∵|＋|＝|－|，‎ ‎∴||2＋||2＋2· ‎＝||2＋||2－2·，‎ ‎∴·＝0，∴⊥，‎ 画图易知A、B为圆x2＋y2＝4与两坐标轴的交点，‎ 又A、B是直线x＋y＝a与圆的交点，∴a＝2或－2.‎ ‎12．(文)(2011·银川部分中学联考)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为()‎ A．y＝－x B．y＝x C．y＝－x D．y＝x ‎[答案]C ‎[解析]‎ 如上图由题易知，圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如上图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－，故直线l的方程为y＝－x，选C.‎ ‎(理)(2010·宁夏联考)若关于x，y的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为()‎ A．24 B．28‎ C．32 D．36‎ ‎[答案]C ‎[解析]x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.‎ ‎13．(文)(2011·天津模拟)过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()‎ A．2 B．2 C．3 D．2 ‎[答案]B ‎[解析]　当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|取最小值2.‎ ‎(理)(2011·江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()‎ A. (－，) B. (－，0)∪(0, )‎ C. [－，] D．( －∞，－ )∪( ，＋∞)‎ ‎[答案]B ‎[解析]　曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y－mx－m)＝0表示直线y＝0与y－mx－m＝0，若有四个不同的交点，则直线y－mx－m＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由<1得，－4，∴M在圆外，‎ 当过点M的直线斜率不存在时，易知直线x＝3与圆相切．‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－3)，‎ 即kx－y－3k＋1＝0，‎ ‎∵直线与圆相切，∴＝2，‎ 解之得k＝，‎ ‎∴切线方程为y－1＝(x－3)，‎ 即3x－4y－5＝0.‎ ‎∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.‎ ‎(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知＝2，‎ ‎∴a＝0或a＝.‎ ‎(3)圆心到直线的距离d＝，‎ 又l＝2，r＝2，‎ ‎∴由r2＝d2＋()2，可得a＝－.‎ ‎(理)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　依题意，设l的方程为y＝x＋b ①‎ x2＋y2－2x＋4y－4＝0 ②‎ 联立①②消去y得：‎ ‎2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ③‎ ‎∵以AB为直径的圆过原点，‎ ‎∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，‎ 而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2‎ ‎∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，‎ 由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，‎ 即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，‎ ‎∴满足条件的直线l存在，其方程为 x－y＋1＝0或x－y－4＝0.‎ ‎1．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那么两圆的位置关系是()‎ A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 ‎[答案]C ‎[解析]　两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝<3，所以两圆相交．‎ ‎2．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎[答案]C ‎[解析]　圆心到直线的距离d＝＝1<2，‎ ‎∴直线与圆相交．‎ ‎3．(2011·海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为()‎ A. B．π C．3π D．4π ‎[答案]B ‎[解析]　由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.‎ ‎4．(2011·临沂模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()‎ A. B．2‎ C. D．2 ‎[答案]D ‎5．(2011·温州模拟)过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线的方程为()‎ A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0‎ C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0‎ ‎[答案]B ‎6．(2011·济南一模)由直线y＝x＋2上的点向圆(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为()‎ A. B. C．4 D. ‎[答案]B ‎[解析]　设点M是直线y＝x＋2上一点，圆心为C(4，－2)，则由点M向圆引的切线长等于，因此当CM取得最小值时，切线长也取得最小值，此时CM等于圆心C(4，－2)到直线y＝x＋2的距离，即等于＝4，因此所求的切线长的最小值是＝，选B.‎ ‎7．(2011·北京日坛中学摸底考试)若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是()‎ A．0