高考真题——理科数学北京卷 6页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎6．设均为单位向量，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎7．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4‎ ‎8．设集合，则（ ）‎ ‎（A）对任意实数， （B）对任意实数，‎ ‎（C）当且仅当时， （D）当且仅当时，‎ 二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．设是等差数列，且，，则的通项公式为__________。‎ ‎10．在极坐标系中，直线与圆相切，则__________。‎ ‎11．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为_________。‎ ‎12．若满足，则的最小值是_________。‎ ‎13．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________。‎ ‎14．已知椭圆：，双曲线：。若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________。‎ 三．解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） ‎ ‎15．（本小题13分）在中，，，。⑴求；⑵求边上的高。 16．（本小题13分）如图，在三棱柱中，平面，‎ 分别为的中点，，。⑴求证：平面；⑵求二面角的余弦值；⑶证明：直线与平面相交。‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎17．（本小题13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到右表。好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，假设所有电影是否获得好评相互独立。‎ ⑴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；⑵从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；⑶假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第类电影得到人们喜欢，“”表示第类电影没有得到人们喜欢（）。写出方差的大小关系。‎ ‎18．（本小题13分）设函数。⑴若曲线在点 处的切线与轴平行，求；⑵若在处取得极小值，求的取值范围。‎ ‎19．（本小题14分）已知抛物线：经过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，且直线交轴于，直线交轴于。⑴求直线的斜率的取值范围；⑵设为原点，，，求证：为定值。‎ ‎20．（本小题14分）设为正整数，集合。对于集合中的任意元素和，记。‎ ⑴当时，若，，求和的值；⑵当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数，求集合中元素个数的最大值；⑶给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，。写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由。 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）解答 一．选择题 ADBDC CCD 二．填空题 9．；10．；11．；12．3；13．（答案不唯一）；14．‎ ‎15．解：⑴由题，结合正弦定理可得。因，故，从而；‎ ⑵由题，故边上的高为。‎ ‎16．解：⑴在三棱柱中，因平面，故四边形为矩形。又分别为的中点，故。因，故，所以平面；‎ ⑵由⑴知，，。又平面，故平面。因平面，故。如图建立空间直角坐称系，由题得，，，，‎ ‎。故，。设为平面的法向量，则，即，取得。又是平面的法向量，故。由图可知二面角为钝角，故其余弦值为；‎ ⑶因，，故。因，且，故平面的法向量与不垂直，从而与平面不平行且不在平面内，所以与平面相交。‎ ‎17．解：⑴由题意知，样本中电影的总部数是，第四类电影中获得好评的电影部数是，故所求概率为；‎ ⑵设事件为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”，故所求概率为。‎ 由题意知：的估计为，的估计为。故所求概率估计为；‎ ⑶。‎ ‎18．解：⑴由题，故。由题知，故。此时，所以；‎ ⑵由⑴知。若，则当时，当时，因此在处取得极小值；若，则当时，，故，因此不是的极小值点。综上可知，。‎ ‎19．解：⑴由题，故，因此：。由题意可知直线的斜率存在且不为0，设：，由得。依题意，解得或。又与轴相交，故直线不过点，从而。所以直线的斜率的取值范围是；‎ ⑵设，由⑴知，，故，。由题易知：，令，得点的纵坐标为。同理得点的纵坐标为。由，得，。所以 ‎，故为定值。‎ ‎20．解：⑴由题，；‎ ⑵设，则。由题知，且为奇数，故中1的个数为1或3，所以 ‎。将上述集合中的元素分成如下四组：；‎ ‎；；。经验证，对于每组中两个元素，均有。所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素，因此集合中元素的个数不超过4。‎ 又集合满足条件，所以集合中元素个数的最大值为4；‎ ⑶设，‎ ‎，则。对于中的不同元素，经验证，。所以中的两个元素不可能同时是集合的元素。故中元素的个数不超过。取且。令，则集合的元素个数为，且满足条件。故是一个满足条件且元素个数最多的集合。‎