全国高考理科数学试题及答案全国卷1 9页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）‎ 理科数学（必修+选修Ⅱ）‎ 一、选择题 ‎1．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：C. 由 ‎2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）‎ s t O A．‎ s t O s t O s t O B．‎ C．‎ D．‎ 解：A． 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知；‎ ‎3．在中，，．若点满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：A. 由，，；‎ ‎4．设，且为正实数，则（ ）‎ A．2 B．‎1 ‎ C．0 D．‎ 解：D.‎ ‎5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）‎ A．138 B．‎135 ‎ C．95 D．23‎ 解：C. 由；‎ ‎6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：B.由；‎ ‎7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ 解：D. 由；‎ ‎8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 解：A. ‎ 只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.‎ ‎9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：D 由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.‎ ‎10．若直线通过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：D．由题意知直线与圆有交点，则.‎ 另解：设向量，由题意知 由可得 ‎11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：B．由题意知三棱锥为正四面体，‎ 设棱长为，则，棱柱的高（等于点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.‎ 另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为，‎ 长度均为，平面的法向量为,‎ ‎，则与底面所成角的正弦值为.‎ ‎12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）‎ D B C A A．96 B．‎84 ‎ C．60 D．48‎ 解：B.分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；‎ 种四种花有种种法.共有.‎ 另解：按顺序种花，可分同色与不同色有 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13若满足约束条件则的最大值为 ．答案：9‎ 解：可行域如图, 的最大值对应直线截距的最小值.‎ 所以在顶点处取最大值 ‎ ‎ ‎14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．答案：2.‎ 解：由抛物线的焦点坐标为 为坐标原点得，，则 与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为 ‎15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．答案：‎ 解：设，则 ‎，.‎ ‎16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 答案：．‎ 解：设，作，则，‎ 为二面角的平面角，‎ ‎，结合等边三角形 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，‎ 则 ‎,‎ 故所成角的余弦值 另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，‎ 则点,‎ ‎,‎ 则,‎ 故所成角的余弦值.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设的内角所对的边长分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ 解：（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则；‎ ‎（Ⅱ）由得 当且仅当时，等号成立，‎ 故当时，的最大值为.‎ C D E A B ‎18．（本小题满分12分）‎ 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．‎ 解：（1）取中点，连接交于点，‎ ‎，，‎ 又面面，面，‎ ‎． ‎18题图 ，‎ ‎，，即，‎ 面，．‎ ‎（2）在面内过点作的垂线，垂足为．‎ ‎，，面，，‎ 则即为所求二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎，则，‎ ‎，即二面角的大小．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ 解：（1）求导：‎ 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减，‎ 递增 ‎（2），且解得：‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．‎ 解：（Ⅰ）分别用、表示依甲、乙方案需要化验次，则：‎ ‎ ,,。‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎，‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ 概率 ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ 解：（Ⅰ）设，，‎ 由勾股定理可得：‎ 得：，，‎ 由倍角公式，解得,则离心率．‎ ‎（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立 将，代入，化简有 将数值代入，有,解得 故所求的双曲线方程为。‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 解：（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 1， 若存在某满足，则由⑵知：‎ 2， 若对任意都有，则 ‎，即成立.‎