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- 2021-05-13 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学全解全析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,
选择一个符合题目要求的选项.
1.复数的实部是( )
A. B. C.3 D.
【答案】:B【分析】:将原式,所以复数的实部为2。
2.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】:C【分析】:求。
3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
【答案】D【分析】: 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为D。
4.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
【答案】A【分析】: 本题看似简单,必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名,而,故应选A。
5.已知向量,若与垂直,则( )
A. B. C. D.4
【答案】:C【分析】:,由与垂直可得:
, 。
6.给出下列三个等式:,
.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A. B. C. D.
【答案】:B【分析】:依据指、对数函数的性质可以发现A满足,
C满足,而D满足,
B不满足其中任何一个等式.
7.命题“对任意的”的否定是( )
A.不存在 B.存在
C.存在 D.对任意的
【答案】C【分析】注意两点:(1)全称命题变为特称命题;(2)只对结论进行否定。0
13
14
15
16
17
18
19
秒
频率/组距
0.02
0.04
0.06
0.18
0.34
0.36
8.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介
于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六
组:每一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二
组,成绩大于等于14秒且小于15秒;……第六组,
成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述
分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒
的学生人数占全班人数的百分比为,成绩大于等于
15秒且小于17秒的学生人数为,则从频率分布直方
图中可以分析出和分别为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A【分析】:从频率分布直方图上可以看出,
.
9.设是坐标原点,是抛物线的焦点,
是抛物线上的一点,
与轴正向的夹角为,则为( )
A. B. C. D.
开始
输入
结束
输出S,T
否
是
【答案】B【分析】:(利用圆锥曲线的第二定义)
过A 作轴于D,令,
则,,。
10.阅读右边的程序框图,若输入的是100,则输出的
变量和的值依次是( )
A.2550,2500
B.2550,2550
C.2500,2500
D.2500,2550
【答案】A.【试题分析】:依据框图可得
,
。
11.设函数与的图象的交点为,
则所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B.【试题分析】令,可求得:
。易知函数的零点所在区间为。
12.设集合,分别从集合和中随机取一个数和,确定
平面上的一个点,记“点落在直线上”为事件
,若事件的概率最大,则的所有可能值为( )
A.3 B.4 C.2和5 D.3和4
【答案】D【试题分析】事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。当n=2时,落在直线上的点为(1,1);
当n=3时,落在直线上的点为(1,2)、(2,1);
当n=4时,落在直线上的点为(1,3)、(2,2);
当n=5时,落在直线上的点为(2,3);
显然当n=3,4时,事件的概率最大为。
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,答案须填在题中横线上.
13.设函数则 .
【答案】【分析】:
。
14.函数的图象恒过定点,若点在直线
上,则的最小值为 .
【答案】:4【分析】:函数的图象恒过定点,
,,,
(方法一):, .
(方法二):
15.当时,不等式恒成立,则的取值范围是 .
【答案】【分析】:构造函数:。由于当时,
不等式恒成立。则,即
。解得:。
16.与直线和曲线都相切的
半径最小的圆的标准方程是 .
【答案】:.
【分析】:曲线化为,其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上,其到直线的距离为,圆心坐标为标准方程为。
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)若,且,求.
解:(1)
又
解得.
,是锐角.
.
(2),,.
又
.
.
.
.
18.(本小题满分12分)
设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,
且构成等差数列.
(1)求数列的等差数列.
(2)令求数列的前项和.
解:(1)由已知得 解得.
设数列的公比为,由,可得.
又,可知,即,解得.
由题意得..故数列的通项为.
(2)由于 由(1)得
又 是等差数列.
19.(本小题满分12分)
本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2
万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,
由题意得
目标函数为.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.
如图:
作直线,
即.
平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.
联立解得.
点的坐标为. (元)
答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,
最大收益是70万元.
B
C
D
A
20.(本小题满分12分)
如图,在直四棱柱中,已知
,.
(1)求证:;
(2)设是上一点,试确定的位置,
使平面,并说明理由.
(1)证明:在直四棱柱中,
连结, ,
四边形是正方形.
.
B
C
D
A
又,,
平面,
平面,
.
平面,
且,
平面,
B
C
D
A
M
E
又平面,
.
(2)连结,连结,
设,
,连结,
平面平面,
要使平面,
须使,
又是的中点.
是的中点.
又易知,
.
即是的中点.
综上所述,当是的中点时,可使平面.
21.(本小题满分12分)
设函数,其中.
证明:当时,函数没有极值点;当时,
函数有且只有一个极值点,并求出极值.
证明:因为,所以的定义域为.
.
当时,如果在上单调递增;
如果在上单调递减.
所以当,函数没有极值点.
当时,
令, 得(舍去),,
当时,随的变化情况如下表:
0
极小值
从上表可看出,
函数有且只有一个极小值点,极小值为.
当时,随的变化情况如下表:
0
极大值
从上表可看出,
函数有且只有一个极大值点,极大值为.
综上所述,
当时,函数没有极值点;
当时,
若时,函数有且只有一个极小值点,极小值为.
若时,函数有且只有一个极大值点,极大值为.
22.(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以 为直径的图过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
解:(I)由题意设椭圆的标准方程为,
由已知得:,,,,
椭圆的标准方程为
(Ⅱ)设,,
联立 得,
又,
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,
,即,
,
,
解得:,,且均满足,
当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;
当时,的方程为,直线过定点
所以,直线过定点,定点坐标为