高考数学文科人教版二轮专题复习提分训练空间几何体的表面积和体积 24页

‎ 空间几何体的表面积和体积 高考试题 考点一 根据三视图求组合体的体积或表面积 ‎1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ ‎(A)16+8π (B)8+8π ‎(C)16+16π (D)8+16π 解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2 ,母线长为4,其直观图如图所示,故几何体的体积为 ‎2×2×4+×π×22×4=16+8π.故选A.‎ 答案:A ‎2.(2012年广东卷,文7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(　　)‎ ‎(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π 解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半径为3.‎ V=V半球+V圆锥=×π×33+×π×32×4=30π.‎ 答案:C ‎3.(2011年湖南卷,文4)如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(　　)‎ ‎(A)9π+42 (B)36π+18‎ ‎(C)π+12 (D)π+18‎ 解析:由三视图可知,该几何体是由直径为3的球和长、宽、高分别为3、3、2的长方体组合而成,‎ ‎∴V=π×+3×3×2=π+18.‎ 答案:D ‎4.(2010年安徽卷,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为(　　)‎ ‎(A)280 (B)292 (C)360 (D)372‎ 解析:该几何体上部是长为6,宽为2、高为8的长方体,下部是长为8,宽为10,高为2的长方体.‎ ‎∴S组合体表=2×6×8+2×2×8+6×2+8×10×2+8×2×2+10×2×2-6×2=96+32+12+160+32+40-12=360.‎ 答案:C ‎5.(2013年北京卷,文10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为　　　　. ‎ 解析:将三视图还原为几何体是一个底面为正方形的四棱锥,其底面边长为3,高是1,故其体积为V=×9×1=3.‎ 答案:3‎ ‎6.(2012年天津卷,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　m3. ‎ 解析:由三视图可知,该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体,长方体的长,宽,高分别为4,3,2,四棱柱的高为4,其上、下底面为两底长分别为1,2,高为1的直角梯形,故组合体的体积V=3×4×2+×(1+2)×1×4=30(m3).‎ 答案:30‎ ‎7.(2012年湖北卷,文15)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　　　　. ‎ 解析:由三视图可知,该几何体是由两个底面直径为4,高为1的圆柱和一个底面直径为2,高为4的圆柱组合而成,‎ ‎∴V=π×22×1×2+π×12×4=12π.‎ 答案:12π 考点二 根据几何体的直观图求其表面积或体积 ‎1.(2010年北京卷,文8)如图所示,正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥PEFQ的体积(　　)‎ ‎(A)与x,y都有关 ‎(B)与x,y都无关 ‎(C)与x有关,与y无关 ‎(D)与y有关,与x无关 解析:三棱锥PEFQ的体积可以看作是以△PEF为底面,而△PEF的底EF=1,高A1P=,与x有关,三棱锥PEFQ的高为点Q到平面PEF的距离.‎ ‎∵CD∥EF,∴CD∥平面PEF.‎ ‎∴点Q到平面PEF的距离等于点D到平面PEF的距离,与y无关,故选C.‎ 答案:C ‎2.(2012年江苏卷,7)如图所示,在长方体ABCDA1B‎1C1D1中,AB=AD=‎3 cm,AA1=‎2 cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为　　　　cm3. ‎ 解析:连接AC交BD于O,‎ 在长方体ABCDA1B‎1C1D1中,‎ ‎∵AB=AD=‎3 cm,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,且BD=3.‎ 又BB1⊥底面ABCD,‎ ‎∴AC⊥BB1,‎ 又DB∩BB1=B,‎ ‎∴AC⊥平面BB1D1D,‎ 即AO的长是点A到平面BB1D1D的距离,‎ =3×2=6,AO=,‎ ‎∴ =×6×=6(cm3).边 答案:6‎ ‎3.(2013年湖北卷,文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是　　寸. ‎ ‎(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)‎ 解析:圆台的下底面半径为6寸,上底面半径为14寸,高为18寸,雨水线恰为中位线,故雨水线截面的半径是10寸,∴降水量为 =3(寸).‎ 答案:3‎ ‎4.(2013年江苏卷,8)如图,在三棱柱A1B‎1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B‎1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　. ‎ 解析: = ‎ ‎= ‎ ‎=××× ‎=.‎ 答案:1∶24‎ ‎5.(2012年山东卷,文13)如图所示,正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1,E为线段B‎1C上的一点,则三棱锥ADED1的体积为　　　　. ‎ 解析: ==××1×1×1=.‎ 答案: ‎6.(2013年重庆卷,文19)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2, ∠ACB=∠ACD=.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥PBDF的体积.‎ ‎(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,‎ 又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.‎ 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.‎ 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.‎ 由PA⊥底面ABCD,得 =·S△BCD·PA=××2=2.‎ 由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,‎ 故=·S△BCD·PA=×××2=,‎ 所以=-=2-=.‎ ‎7.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文19)如图,三棱柱ABCA1B‎1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.‎ ‎(1)证明:AB⊥A‎1C;‎ ‎(2)若AB=CB=2,A‎1C=,求三棱柱ABCA1B‎1C1的体积.‎ ‎(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.‎ 因为CA=CB,所以OC⊥AB.‎ 由于AB=AA1,∠BAA1=60°,‎ 故△AA1B为等边三角形,‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1=O,‎ 所以AB⊥平面OA‎1C.‎ 又A‎1C⊂平面OA‎1C,故AB⊥A‎1C.‎ ‎(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.‎ 又A‎1C=,则A‎1C2=OC2+O,故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B‎1C1的高.‎ 又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABCA1B‎1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.‎ ‎8.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文18)如图所示,直三棱柱ABCA1B‎1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.‎ ‎(1)证明:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥CA1DE的体积.‎ ‎(1)证明:连接AC1交A‎1C于点F,‎ 则F为AC1中点.‎ 又D是AB中点,连接DF,‎ 则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)解:因为ABCA1B‎1C1是直三棱柱,‎ 所以AA1⊥CD.‎ 由已知AC=CB,D为AB的中点,‎ 所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB=A,‎ 于是CD⊥平面ABB‎1A1.‎ 由AA1=AC=CB=2,AB=2 得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,‎ 故A1D2+DE2=A1E2,‎ 即DE⊥A1D.‎ 所以=××××=1. ‎ 考点三 球的表面积和体积 ‎1.(2012年新课标全国卷,文8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(　　)‎ ‎(A)π (B)4π ‎(C)4π (D)6π 解析:设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,‎ 则OO′=,O′M=1,‎ ‎∴OM==,‎ 即球的半径为,‎ ‎∴V=π()3=4π.‎ 答案:B ‎2.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为　　　　. ‎ 解析:如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以OH=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,‎ 又由题意得πr2=π,则r=1,故R2=1+,即R2=.由球的表面积公式,得S=4πR2=.‎ 答案: ‎3.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文15)已知正四棱锥OABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为　　　　. ‎ 解析:正四棱锥OABCD中,顶点O在底面的射影为底面中心E,‎ 则×()2×OE=,‎ 所以OE=,‎ 故球半径OA==,‎ 从而球的表面积为24π.‎ 答案:24π ‎4.(2009年大纲全国卷Ⅰ,文15)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于　　　　. ‎ 解析:∵圆M的面积为3π,‎ ‎∴圆M的半径r=.‎ 设球的半径为R,‎ 则R2=R2+3,∴R2=3,∴R2=4.‎ ‎∴S球=4πR2=16π.‎ 答案:16π 考点四 球的内接几何体的表面积与体积 ‎1.(2011年辽宁卷,文10)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥SABC的体积为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:如图所示,由题意知,在棱锥SABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,‎ SA=AC=SB=BC=2.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和,所以棱锥SABC的体积V=SC·S△ADB=×4×=.‎ 答案:C ‎2.(2013年天津卷,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为　　　　. ‎ 解析:由对称性知正方体对角线即其外接球直径,‎ 设球半径为R,正方体棱长为a,‎ 则πR3=,R=,‎ 则=3,得a=.‎ 答案: ‎3.(2011年四川卷,文15)如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　　　. ‎ 解析:法一　设球的半径与圆柱的高所成的角为α,‎ 则圆柱底面半径为4sin α,高为8cos α,‎ ‎∴S圆柱侧=2π·4sin α·8cos α=32πsin 2α.‎ 当sin 2α=1时,S圆柱侧最大为32π.‎ 此时S球表-S圆柱侧=4π·42-32π=32π.‎ 法二　设圆柱底面半径为r,则其高为2,‎ ‎∴S圆柱侧=2πr·2=4π≤‎ ‎4π=2πR2‎ ‎（“=”）.‎ 又R=4,∴S圆柱侧最大为32π.‎ 此时S球表-S圆柱侧=4π·42-32π=32π.‎ 答案:32π 模拟试题 ‎　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ‎ 考点一 根据组合体的三视图求其表面积或体积 ‎ ‎1.(2013山东淄博一模)一个直棱柱被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)‎ ‎(A)9 (B)10 (C)11 (D) 解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,‎ 其中AB=BC=2,AA1=3,‎ 三棱锥A1AD1E为截掉部分.‎ ‎∵==××2×1×3=1,‎ ‎∴V剩余部分=2×2×3-1=11.‎ 答案:C ‎2.(2013青岛质检)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,这个几何体的体积是(　　)‎ ‎(A)π (B)8π ‎(C) (D)32π 解析:由三视图可知,该几何体是球去掉四分之一后剩余的部分,‎ ‎∴V=××π×23=8π.‎ 答案:B ‎3.(2012吉林一模)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是　　　　. ‎ 解析:该几何体是一个长方体挖去一半球而得,直观图如图所示,(半)球的半径为1,长方体的长、宽、高分别为2、2、1,∴该几何体的表面积为S=16+×4π×12-π×12=16+π.‎ 答案:16+π 考点二 几何体的体积 ‎ ‎1.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).‎ ‎(1)求证:EF⊥A′C;‎ ‎(2)求三棱锥FA′BC的体积.‎ ‎(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,‎ ‎∴EF⊥AC,‎ 在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,‎ 又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,‎ 又A′C⊂平面A′EC,‎ ‎∴EF⊥A′C.‎ ‎(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,‎ ‎∴S△FBC=BC·EC=4,‎ ‎∵A′O⊥平面BCEF,‎ ‎∴A′O⊥EC,‎ 又∵O为EC的中点,‎ ‎∴△A′EC为正三角形,边长为2,‎ ‎∴A′O=,‎ ‎∴==S△FBC·A′O=×4×=.‎ ‎2.(2013福建厦门高三上质检)如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小为60°.过P作PH⊥EF于H.‎ ‎(1)求证:PH⊥平面ABC;‎ ‎(2)若a+b=2,求四面体PABC体积的最大值.‎ ‎(1)证明:∵DF⊥AC,‎ ‎∴折起后AC⊥PE,AC⊥EF,‎ ‎∴AC⊥平面PEF,‎ 又PH⊂平面PEF,‎ ‎∴AC⊥PH,‎ 又PH⊥EF,EF∩AC=E,‎ ‎∴PH⊥平面ABC.‎ ‎(2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC,‎ ‎∴∠PEF就是二面角PACB的平面角,‎ ‎∴∠PEF=60°,‎ ‎∴Rt△PHE中,PH=PE,‎ 折起前,Rt△ADC中,‎ DE==,‎ S△ABC=ab,‎ 折起后,PE=DE,‎ ‎∴PH=PE=·,‎ ‎∴=PH·S△ABC ‎=···ab ‎=·,‎ ‎∵a+b=2,a>0,b>0,‎ ‎∴≤=≤=,‎ 当且仅当a=b=1时,两个等号同时成立,‎ 因此()max=.‎ 考点三 球的表面积和体积的求法 ‎ ‎1.(2013山东临沂高三上期末)四棱锥PABCD的三视图如图所示,四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上,E、F分别是棱AB、CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球表面积为(　　)‎ ‎(A)12π (B)24π (C)36π (D)48π 解析:由三视图可知,四棱锥的直观图如图所示,‎ 补成长方体后可知其外接球的球心是PC的中点,由题意可知正方形ABCD的外接圆的直径AC=2.即a=2,‎ ‎∴a=2.‎ ‎∴PA=2,‎ ‎∴PC==2,‎ ‎∴S球=4π·R2=4π·()2=12π.‎ 答案:A ‎2.(2013山东潍坊一模)已知一个圆柱内接于球O中,其底面直径和母线都是2,则球O的体积是　　　　. ‎ 解析:设球的半径为R,则2R==2,‎ ‎∴R=,‎ ‎∴V=πR3=π.‎ 答案:π 考点四 球的内接几何体的表面积和体积求法 ‎ ‎1.(2012石家庄二模)已知正三棱柱内接于一个半径为2的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ 解析:设正三棱柱底面边长为a,高为h,如图所示.‎ 设O为外接球的球心,半径为R,‎ 在Rt△OAO2中,OA=R,‎ AO2=×a=a,OO2=h,‎ 由OA2=+,得R2=+,‎ ‎∴4=+≥2××=,‎ ‎∴ah≤4.当且仅当=,‎ 即h=时等号成立,‎ 此时正三棱柱侧面积最大,且其最大值为 ‎3ah=3×4=12,‎ 此时有4=×+,即a=.‎ 答案:A ‎2.(2012长春二模)如图所示,正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为6,则以正方体ABCDA1B‎1C1D1的中心为顶点,以平面AB1D1截正方体外接球,所得的圆为底面的圆锥的全面积为　　　　. ‎ 解析:设O为正方体外接球的球心,‎ 则O也是正方体的中心,‎ 正三角形AB1D1的边长为6,‎ 其外接圆的半径为××6=2.‎ 又球的半径是正方体对角线长的一半,‎ 即圆锥的母线长为3,‎ 因此圆锥底面面积为S1=π·(2)2=24π,‎ 圆锥的侧面积为S2=π×2×3=18π.‎ ‎∴S圆锥表=S1+S2=18π+24π=(18+24)π.‎ 答案:(18+24)π 综合检测 ‎1.(2013山东潍坊高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是(　　)‎ ‎(A)12π (B)24π ‎(C)32π (D)48π 解析:由几何体的三视图可知,其直观图如图所示,‎ 将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球球心为SB的中点,球半径R=SB==2,‎ ‎∴S球=4π·(2)2=48π.‎ 答案:D ‎2.(2012潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥外接球表面积等于(　　)‎ ‎(A)8π (B)16π (C)48π (D)50π 解析:设矩形长为x,则宽为(x>0),‎ 周长P=2≥2·2=8.‎ 当且仅当x=,‎ 即x=2时,周长取到最小值.‎ 此时正方形ABCD沿AC折起,取AC的中点为O,则 OA=OB=OC=OD,‎ 三棱锥DABC的四个顶点都在以O为球心,以2为半径的球上,此球的表面积为4π·22=16π.‎ 答案:B ‎3.(2012河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为　　　　. ‎ 解析:由三视图可知,该几何体下面是半径为的半球,上面是一个底面为腰为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥,其体积V=××+××1×1×1=.‎ 答案: ‎4.(2013广东中山高三上学期期末统考)如图所示,三棱柱ABCA1B‎1C1中,AA1⊥平面ABC,D、E分别为A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.‎ ‎(1)求证:EF∥平面BC1D;‎ ‎(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.‎ ‎(1)证明:取AB的中点M,‎ ‎∵AF=AB,‎ ‎∴F为AM的中点,‎ 又∵E为AA1的中点,‎ ‎∴EF∥A‎1M.‎ 在三棱柱ABCA1B‎1C1中,D、M分别为A1B1、AB的中点,‎ ‎∴A1D∥BM,A1D=BM,‎ ‎∴四边形A1DBM为平行四边形,‎ ‎∴A‎1M∥BD,‎ ‎∴EF∥BD,‎ ‎∵BD⊆平面BC1D,EF⊄平面BC1D,‎ ‎∴EF∥平面BC1D.‎ ‎(2)解:设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15,‎ 则∶=1∶16,‎ ‎∵= ‎=××× ‎=·.‎ ‎∴·=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AG=AC>AC.‎ 所以符合要求的点G不存在.‎