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- 2021-05-13 发布
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广东高考理科数学近6年试题分类汇编
1.集合与简易逻辑
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5
5
5分
10分
5
5
(2007年高考广东卷第1小题) 已知函数的定义域为,的定义域为,则
A.{x |x>-1} B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D.
1. 故选(C)
(2008年高考广东卷第6小题)
已知命题所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( D )
A. B. C. D.
【解析】不难判断命题为真命题,命题为假命题,从而上述叙述中只有 为真命题
(2009年高考广东卷第1小题). 1. 已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
【解析】由得,则,有2个,选B.
(2010年高考广东卷第1小题) 若集合A={-2<<1},B={0<<2}则集合A ∩ B=( )
A. {-1<<1} B. {-2<<1}
C. {-2<<2} D. {0<<1}
1. D. .
(2010年高考广东卷第5小题)
“”是“一元二次方程”有实数解的
A.充分非必要条件 B.充分必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分必要条件
5.A.由知,.
(2011年高考广东卷第2小题)
2.已知集合 ∣为实数,且,为实数,且,则的元素个数为C
A.0 B.1 C.2 D.3
(2012年高考广东卷第2小题)
2.设集合,则
A. B. C. D.
解:选C
2.复数
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5
5
5
5
5
5
(2007年高考广东卷第2小题)若复数是纯虚数(是虚数单位,是实数),则( D )
A. B. C. D.2
(2008年高考广东卷第1小题)
已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是( C )
A. B. C. D.
【解析】,而,即,
(2009年高考广东卷第2小题)
设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】,则最小正整数为4,选C.
(2010年高考广东卷第2小题)
.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=( )
A.4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3
2. A.
(2011年高考广东卷第1小题) 设复数满足,其中为虚数单位,则= B
A. B. C. D.
(2012年高考广东卷第1小题)
1.设i为虚数单位,则复数
A. B. C. D.
解:分子分母同乘以-i,得D选项为正确答案。
3.向量
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5
5
5
5
5
10
(2007年高考广东卷第10小题)
10. 若向量、满足||=||=1,与的夹角为,则 .
10.
(2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量=(1,2),=(-2,m),且∥,则2 + 3 =(B )
A. (-5,-10) B. (-4,-8) C. (-3,-6) D. (-2,-4)
(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a= ,b=, 则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
【答案】
【解析】,由及向量的性质可知,C正确.
(2010年高考广东卷第5小题)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件 (8-)·=30,则= (C)
A.6 B.5 C.4 D.3
(2011年高考广东卷第3小题)已知向量.若为实数, (B)
A. B. C.1 D. 2
(2012年高考广东卷第3、8小题)
3.若向量,,则
A. B. C. D.
解:BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),选A
8.对任意两个非零的平面向量,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则
A. B. C. D.
解:a﹒b/b﹒b=|a||b|cosθ/|b|^2=|a|cosθ/|b|
。=|b|cosθ/|a|<|b|/|a|<1属于集合,则|b|/|a|=1/2,即|a|=2|b|代入上式,得:
2 cosθ,因为√2/2< cosθ<1,所以√2< 2cosθ<2,因此3/2
4.框图
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5
5
5
5
5
(2007年高考广东卷第6小题)图l是某县参加2007年高考的
学生身高条形统计图,从左到右
的各条形表示的学生人数依次记
为、、…、(如
表示身高(单位:)在[150,
155)内的学生人数).图2是统计
图l中身高在一定范围内学生人
数的一个算法流程图.现要统计
身高在160~180(含
160,不含180)的学生人
数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A. B. C. D.
6.计算,由算法框图知, 故选(B)
开始
n整除a?
是
输入
结束
输出
图3
否
(2008年高考广东卷第9小题)
9.阅读图3的程序框图,若输入,,则输出 ,
(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”)
【解析】要结束程序的运算,就必须通过整除的条件运算,
而同时也整除,那么的最小值应为和的最小公倍
数12,即此时有。
(2009年高考广东卷第9小题)
9. 随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的 ,表示的样本的数字特征是 .
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)
【解析】;平均数
(2010年高考广东卷第13小题)
13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位:吨),根据图2所示的程序框图,若n=2,且x1,x2 分别为1,2,则输出地结果s为 .
13.填..
(2012年高考广东卷第13小题)
13.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为_______.
解:8
分析:这五道填空题型设置与2011年高考完全一样,难度系
数也相近,都是考察基础知识。
5.函数
2007
2008
2009
2010
2011
2012
24分
19分
5分
24分
15分
5
(2007年高考广东卷第3小题)若函数,则函数在其定义域上是( B )
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
(2007年高考广东卷第5小题)客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶1上时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中,正确的是( C )
1
2
3
60
80
100
120
140
160
t(h)
s(km)
1
2
3
60
80
100
120
140
160
t(h)
s(km)
1
2
3
60
80
100
120
140
160
t(h)
s(km)
1
2
3
60
80
100
120
140
160
t(h)
s(km)
A.
B.
C.
D.
0
0
0
0
4.,故选(C)
(2007年高考广东卷第20小题)已知是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围.
21解: 若,则,令,不符合题意, 故
当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或
解得或
当在[-1,1]上有两个零点时,则
解得即
综上,实数的取值范围为
(别解:,题意转化为求的值域,令得转化为勾函数问题)
(2008年高考广东卷第7小题) 设,若函数,有大于零的极值点,则( B )
A. B. C. D.
【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为.
(2008年高考广东卷第19小题) 19.(本小题满分14分)
设,函数,,,试讨论函数的单调性.
【解析】
对于,
当时,函数在上是增函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数;
对于,
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数。
(2009年高考广东卷第4小题)若函数是函数的反函数,且,则
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
(2010年高考广东卷第2小题)函数的定义域是 B
A.(2,) B.(1,) C.[1,) D.[2,)
(2010年高考广东卷第3小题)若函数与的定义域均为,则D
A.与均为偶函数 B.为奇函数,为偶函数
C.与均为奇函数 D.为偶函数,为奇函数
(2010年高考广东卷第20小题)已知函数对任意实数均有,其中常数为负数,且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m
(1)求,的值;
(2)写出在上的表达式,并讨论函数在上的单调性;
(3)求出在上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m20.解:(1)∵,且在区间[0,2]时
∴
由得
∴
(2)若,则
∴当时,
若,则 ∴
∴
若,则 ∴
∴
∵
∴当时,
∵,∴当时,,由二次函数的图象可知,为增函数;
当时,,由二次函数的图象可知,当时,为增函数,当时,为减函数;
当时,,由二次函数的图象可知,当时,为减函数;当时,为增函数;
当时,,由二次函数的图象可知,为增函数。
(3)由(2)可知,当时,最大值和最小值必在或处取得。(可画图分析)
∵,,,
∴当时,;
当时,
当时,.
(2011年高考广东卷第4小题)函数的定义域是C
A. B. C. D.
(2011年高考广东卷第10小题)设是上的任意实值函数,如下定义两个函数对任意则下列等式恒成立的是B
A.
B.
C.
D.
(2011年高考广东卷第12小题)设函数 -9 .
(2012年高考广东卷第4小题)
4.下列函数中,在区间上为增函数的是
A. B C. D.
解:B、C为减函数,D为双钩函数,双钩函数在上先减后增,选A
分析:前4题难度都不大,掌握概念和基本方法就可以拿到分。
6.导数
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5分
17分
19分
14分
14
14分
(2007年高考广东卷第12小题)函数的单调递增区间是 .
(2008年高考广东卷第9小题)设a∈R,若函数,x∈R有大于零的极值点,则( )
【解析】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.
A. a < -1 B. a > -1 C. a < -1/e D. a > -1/e
(2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积)。
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则
, 令 得
当 时, ;当 时,
因此 当时,f(x)取最小值;
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。
(2009年高考广东卷第3小题) 若函数是函数的反函数,其图像经过点,则
A. B. C. D.
【解析】,代入,解得,所以,选B.
(2009年高考广东卷第8小题)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是
A. 在时刻,甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B. 时刻后,甲车在乙车后面
C. 在时刻,两车的位置相同
D. 时刻后,乙车在甲车前面
【解析】由图像可知,曲线比在0~、0~与轴所围成图形面积大,则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2009年高考广东卷第20小题)
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.W.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解:(1)依题可设 (),则;
又的图像与直线平行
, ,
设,则
当且仅当时,取得最小值,即取得最小值
当时, 解得
当时, 解得
(2)由(),得
当时,方程有一解,函数有一零点;
当时,方程有二解,
若,,
函数有两个零点,即;
若,,
函数有两个零点,即;
当时,方程有一解, ,
函数有一零点
综上,当时, 函数有一零点;
当(),或()时,
函数有两个零点;
当时,函数有一零点.
(2010年高考广东卷第3小题)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则
A.f(x)与g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
3.D..
(2010年高考广东卷第9小题) 函数=lg(-2)的定义域是 .
9. (1,+∞) .∵,∴.
(2010年高考广东卷第21小题)
设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.
当且仅当时等号成立,即三点共线时等号成立.
(2)当点C(x, y) 同时满足①P+P= P,②P= P时,点是线段的中点. ,即存在点满足条件。
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(2011年高考广东卷第19小题)
设讨论函数
19.(本小题满分14分)
解:函数的定义域为
当的判别式
①当有两个零点,
且当内为增函数;
当内为减函数;
②当内为增函数;
③当内为增函数;
④当
在定义域内有唯一零点,
且当内为增函数;当时,内为减函数。 的单调区间如下表:
(其中)
(2012年高考广东卷第21小题)
21.(本小题满分14分)
设,集合,.
11. 求集合D(用区间表示);
12. 求函数在D内的极值点.
解:(1)记
① 当,即,
② 当,
③ 当,
(2)由得
① 当, f(x)在D内有极大值点a,有极小值点1
② 当,∵
∴
∴f(x)在D内有极大值点a
③ 当,则
又∵
∴f(x)在D内无极值点
分析:本题必须用到分类讨论,这是显而易见的,但对于基础较弱的学生,这题不容易得分,本题具有很强的区分考生分析归纳能力和综合运用能力的意图。
7.三角函数与解三角形
2007
2008
2009
2010
2011
2012
17分
17分
22分
19分
12分
12
(2007年高考广东卷第3小题) 若函数(),则是
A.最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数
3. 故选(D)
(2007年高考广东卷第16小题) 16.(本小题满分12分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0).
(1) 若,求sin∠A的值;
(2)若∠A是钝角, 求的取值范围.
16.(1)当时,
(2),为钝角
(2008年高考广东卷第8小题)
8.在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )
A. B. C. D.
【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.
(2008年高考广东卷第12小题)
已知函数,,则的最小正周期是 .
【解析】,此时可得函数的最小正周期。
(2008年高考广东卷第16小题) 16.(本小题满分13分)
已知函数,的最大值是1,其图像经过点.
(1)求的解析式;(2)已知,且,,求的值.
【解析】(1)依题意有,则,将点代入得,而,,,故;
(2)依题意有,而,,
。
(2009年高考广东卷第6小题) 一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 6 B. 2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】,所以,选D.
(2009年高考广东卷第10小题)
若平面向量,满足,平行于轴,,则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】或,则或.
(2009年高考广东卷第16小题)
16.(本小题满分12分)
已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,求的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.
(2)∵,,∴,则,∴.
(2010年高考广东卷第13小题)
10.若向量=(1,1,x), =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .
10.C.,,解得.
11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
11.1.解:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,,即.由知,,则,
,.
w_w w. k#s5_u.c o*m.s.5.u.c.o.m
(2010年高考广东卷第16小题) 16、(本小题满分14分)
已知函数在时取得最大值4.
(1) 求的最小正周期;
(2) 求的解析式;
(3) 若(α +)=,求sinα.
,,,,.
(2011年高考广东卷第3小题)
3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 D
A.4 B.3 C.2 D.0
(2011年高考广东卷第16小题)
已知函数
(1) 求的值;
(2) 设求的值.
16.解:(1);
(2),,又,,
,,
又,,
.
(2012年高考广东卷第16小题)16.(本小题满分12分)
已知函数(其中)的最小正周期为.
(1) 求的值;
(2) 设,求的值.
解:(1)=2Pi/T,得
(2)将已知条件代入f(x)解析式中得
∵
∴
∴
8.不等式
2007
2008
2009
2010
2011
2012
22分
12分
10分
10
(2008年高考广东卷第4小题)
4.若变量满足则的最大值是( C )
A.90 B.80 C.70 D.40
【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.
(2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积)。
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则
, 令 得
当 时, ;当 时,
因此 当时,f(x)取最小值;
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。
(2010年高考广东卷第19小题) 19.(本小题满分12分)
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?
解:设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则。
可行域为
即
作出可行域如图所示:
经试验发现,当时,花费最少,为元.
w(2011年高考广东卷第9小题)
9. 不等式的解集是 . 9. ;
(2011年高考广东卷第5小题) 5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点,点的坐标为,则的最大值为C
A. B. C.4 D.3
(2012年高考广东卷第5、9小题)
5.已知变量满足约束条件,则的最大值为
A.12 B.11 C.3 D.-1
解:可行域如图:
所的最大值为3*3+2=11,选B
9.不等式的解集为___________.
解:不等式的零点是-2和0,分情况讨论解得不等式的解集为:{x|x<-1/2}
9.概率统计
2007
2008
2009
2010
2011
2012
17分
18分
18分
22分
18分
18
(2007年高考广东卷第9小题)
甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 .(答案用分数表示) 9.
(2007年高考广东卷第17小题)
17.(本小题满分12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生
产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性
回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值:
17.(1)(略)
(2),,,
,故现线性回归方程为
(3)当时,,,故预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤。
(2008年高考广东卷第3小题) 3.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已知在全校 学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C )
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
A.24 B.18 C.16 D.12
表1
【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是,即总体中各个年级的人数比例为,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
(2008年高考广东卷第10小题) 10.已知(是正整数)的展开式中,的系数小于120,
则 .
【解析】按二项式定理展开的通项为,
我们知道的系数为,即,也即,
而是正整数,故只能取1。
(2008年高考广东卷第17小题) 17.(本小题满分13分)
随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.
(1)求的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
【解析】的所有可能取值有6,2,1,-2;,
,
故的分布列为:
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)
(3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为
依题意,,即,解得 所以三等品率最多为
(2009年高考广东卷第7小题) 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2009年高考广东卷第12小题)
已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .
【解析】由题知,,,解得,.
(2009年高考广东卷第17小题)
根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
对某城市一年(365
天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间,,,,,进行分组,得到频率分布直方图如图5.
(1)求直方图中的值;
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
(结果用分数表示.已知,, ,)
解:(1)由图可知,解得;
(2);
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.
(2010年高考广东卷第11小题) 7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1),且=0.6826,则p(X>4)=( )
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
7.B.=0.3413,
=0.5-0.3413=0.1587.
8.为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
8.C.每次闪烁时间5秒,共5×120=600s,每两次闪烁之间的间隔为5s,共5×(120-1)
=595s.总共就有600+595=1195s.
(2010年高考广东卷第12小题)
(2010年高考广东卷第17小题)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490,,(495,,……(510,,由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
(3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.
(2011年高考广东卷第6小题)
6.
甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为D
A. B. C. D.
(2011年高考广东卷第6小题)
10. 的展开式中,的系数是 (用数字作答)10. 84;
(2011年高考广东卷第13小题)
13. 某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm. 13. 185;
(2011年高考广东卷第17小题)
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1) 已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2) 当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3) 从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。
17.解:(1)乙厂生产的产品总数为;
(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为;
(3), ,的分布列为
0
1
2
均值.
(2012年高考广东卷第7、17小题)
7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是
A. B. C. D.
解:个位数为0且“个位+十位=奇数”的两位数是10 30 50 70 90 共5个
若十位数为奇数,则个位数为偶数,共有C(5,1)*C(5,1)=25
若十位数为偶数,则个位数为奇数,共有C(4,1)*C(5,1)=20
5/(25+20)=1/9选D
17.(本小题满分13分)
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:
[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],
(1)求图中x的值;
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.
解:(1)由
得
(1) 由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以
上的学生有3人
随机变量的可能取值有0,1,2
∴
10.立体几何
2007
2008
2009
2010
2011
2012
17分
17分
18分
19分
24分
19
(2007年高考广东卷第12小题)
如果一个凸多面体是棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的
直线共有 条.这些直线中共有对异面直线,则
(答案用数字或的解析式表示)
12.;12;
(2007年高考广东卷第19小题)
如图6所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、的
动点.点在边上,且.现沿将
折起到的位置,使。记,
表示四棱锥的体积
(1)求的表达式;
(2)当为何值时,取得最大值?
(3) 当取得最大值时,求异面直线与
所成角的余弦值.
19.(1)又, 平面且,,四棱锥的底面积为
,
(2),时,时,在上增,在上减,故在时,取最大值为
(3)过作交于,则是直线与所成角且是等腰三角形,由(2)知
在,所以异面直线与所成角的余弦值为
(2008年高考广东卷第5小题)
将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A.
B
E
B.
B
E
C.
B
E
D.
【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
(2008年高考广东卷第20小题)
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
如图5所示,四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形,其中是圆的直径,,,垂直底面,,分别是上的点,且,过点作的平行线交于.
(1)求与平面所成角的正弦值;(2)证明:是直角三角形;
(3)当时,求的面积.
【解析】(1)在中,,
而PD垂直底面ABCD,
,
在中,,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为,由有,即
;
(2),而,即,,
,是直角三角形;
(3)时,,
即,
的面积
(2009年高考广东卷第5小题)
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】选D.
(2009年高考广东卷第18小题)
如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.
(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线平面;
(3)求异面直线所成角的正弦值.
解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为
,
又面,,∴.
(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,
∴,,即,,
又,∴平面.
(3),,则,设异面直线所成角为,则.
(2010年高考广东卷第6小题)
如图1,△ ABC为三角形,// // , ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图(也称主视图)是
6.D.
(2010年高考广东卷第18小题)
如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .
图5
(1)证明:EB⊥FD;
(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值.
(2)设平面与平面RQD的交线为.
由BQ=FE,FR=FB知, .
而平面,∴平面,
而平面平面= ,
∴.
由(1)知,平面,∴平面,
而平面,平面,
∴,
∴是平面与平面所成二面角的平面角.
在中,,
,.
.
故平面与平面所成二面角的正弦值是.
(2011年高考广东卷第7小题)
正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱的对角线条数共有D
A.20 B.15 C.12 D. 10
(2011年高考广东卷第7小题)
如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
P
AS
BS
CS
DS
F
G
P
AS
BS
CS
DS
F
E
(2011年高考广东卷第18小题)
如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,
且∠DAB=60,,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明:AD 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
P
AS
BS
CS
DS
F
G
P
AS
BS
CS
DS
F
E
18.解:(1) 取AD的中点G,又PA=PD,,
由题意知ΔABC是等边三角形,,
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线,
,
,
,
(2) 由(1)知为二面角的平面角,
在中,;在中,;
在中,.
(2012年高考广东卷第6、18小题)
6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为
A. B. C. D.
解:根据三视图可知,该几何体上部分为圆锥,下部分为圆柱,选C
18.(本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.
(1)证明:平面;
(2)若,,求二面角的正切值.
解:(1)∵
∴
∵
∴
∴
(2)设AC与BD交点为O,连结OE
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴ 为二面角的平面角
∵
∴
∴四边形ABCD是正方形
∴
在,
∴
∴ 二面角的平面角的正切值为3
11.平面几何与圆锥曲线
2007
2008
2009
2010
2011
2012
19分
19分
19分
19分
19分
19
(2007年高考广东卷第11小题) 在平面直角坐标系中,有一定点(2,1),若线段的垂直平分线过抛物线的焦点,则该抛物线的准线方程是 .
11.线段的垂直平分线方程为准线方程
(2007年高考广东卷第18小题)在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为
的圆与直线相切于坐标原点,椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.
(1)求圆的方程;
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
18解:(1) 设圆C的圆心为 (m, n)(m<0,n>0)
依题意可得 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得
椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0);
设,依题意
解得或(舍去)
存在点
(2008年高考广东卷第11小题)
经过圆的圆心,且与直线垂直的直线方程是 .
【解析】易知点C为,而直线与垂直,我们设待求的
直线的方程为,将点C的坐标代入马上就能求出参数的
值为,故待求的直线的方程为。
(2008年高考广东卷第18小题)(本小题满分14分)
设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
【解析】(1)由得,
当得,G点的坐标为,,,
过点G的切线方程为即,
令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,
即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和,
。
关于的二次方程有一大于零的解,有两解,即以为直角的有两个,
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
(2009年高考广东卷第11小题)
巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为 .
【解析】,,,,则所求椭圆方程为.
(2009年高考广东卷第19小题)
已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.
(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.
解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().
xA
xB
D
(2)曲线,
即圆:,其圆心坐标为,半径
由图可知,当时,曲线与点有公共点;
当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.
(2010年高考广东卷第12小题)
已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是
12. .设圆心为,则,解得.
(2010年高考广东卷第20题)(本小题满分为14分)
一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点,是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;
(2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且 ,求h的值。
[来源:学,科,网]故,即。
(2)设,则由知,。
将代入得
,即,
由与E只有一个交点知,,即[来源:学.科.网][来。
同理,由与E只有一个交点知,,消去得,即,从而
,即。
(2011年高考广东卷第8小题)
设圆 A
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆
(2011年高考广东卷第19题) (本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.
19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,
由题意得或,
,
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则
,所以轨迹L的方程为.
(2)∵,仅当时,取"=",
由知直线,联立并整理得解得
或,此时
所以最大值等于2,此时.
(2012年高考广东卷第20题) 20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1) 求椭圆C的方程
(2) 在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)由得,椭圆方程为
椭圆上的点到点Q的距离
当①即,得
当②即,得(舍)
∴
∴ 椭圆方程为
(2)
当,取最大值,
点O到直线距离
∴
又∵
解得:
∴点M的坐标为
的面积为
12.数列
2007
2008
2009
2010
2011
2012
19分
19分
19分
5分
19
19
(2007年高考广东卷第5小题)
已知数列{}的前项和,第项满足,则
A. B. C. D.
5.,k=8,(或5<2k-10<8)故选(B)
(2007年高考广东卷第21小题) 已知函数,是方程的两个根,是的导数.设,.
(1)求的值;
(2)已知对任意的正整数有,记.求数列的前项和.
21解:(1) 由 得
(2)
又
数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;
(2008年高考广东卷第2小题)
记等差数列的前项和为,若,,则( D )
A.16 B.24 C.36 D.48
【解析】,,故
(2008年高考广东卷第21题)
设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;
(3)若,,求的前项和.
【解析】(1)由求根公式,不妨设,得
,
(2)设,则,由得,
消去,得,是方程的根,由题意可知,
①当时,此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列,
由等比数列性质可得,,
两式相减,得
,,
,
,即,
②当时,即方程有重根,,
即,得,不妨设,由①可知
,,
即,等式两边同时除以,得,即
数列是以1为公差的等差数列,,
综上所述,
(3)把,代入,得,解得
(2009年高考广东卷第4小题) 已知等比数列满足,且,则当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. C. D.
【解析】由得,,则, ,选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2009年高考广东卷第21题)
已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)
,即,∴
(2)证明:∵
∴
由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,
则有,即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
.w.k.s.5.u.c.o.m
www.ks5u.com
(2010年高考广东卷第4小题) 已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若, 且与2的等差中项为,则=w_w w.k*s_5 u.c o_m
A.35 B.33 C.31 D.29
4.C.设{}的公比为,则由等比数列的性质知,,即。由与2的等差中项为知,,即.
∴,即.,即.
(2011年高考广东卷第11小题)
等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,则k=____________.
11. 10;
(2011年高考广东卷第20小题) 20.(本小题共14分)
设b>0,数列满足a1=b,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,
20.解(1)法一:,得,
设,则,
(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
即,∴
(ⅱ)当时,设,则,
令,得,,
知是等比数列,,又,
,.
法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
即,∴
(ⅱ)当时,,,,
猜想,下面用数学归纳法证明:
①当时,猜想显然成立;
②假设当时,,则
,
所以当时,猜想成立,
由①②知,,.
(2)(ⅰ)当时, ,故时,命题成立;
(ⅱ)当时,,
,
,以上n个式子相加得
,
.故当时,命题成立;
综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.
(2012年高考广东卷第11、19小题)
11.已知递增的等差数列满足,,则________.
解:由等差数列可设公差为d(d>0),则:1+2d=(1+d)^2-4,解得d=-2(舍),d=2
所以1+2(n-1)=2n-1
19.(本小题满分14分)
设数列的前项和为,满足,,且成等差数列.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对一切正整数,有.
解:(1)在中
令得:
令得:
解得:,
又
解得
(2)由
得
又也满足
所以成立
∴
∴
∴
(3)∵
∴
当时,
………
累乘得:
∴
13.新题型
2007
2008
2009
2010
2011
5分
5分
5分
图3
(2007年高考广东卷第10小题)
图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为,,,件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为( C )
A. B. C. D.
(2009年高考广东卷第10小题)
广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见下表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是
A. B.21 C.22 D.23
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】B
【解析】由题意知,所有可能路线有6种:
①,②,③,④,⑤,⑥,
其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,
故选B.
(2010年高考广东卷第10小题)
在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:w_w w. k#s5_u.c o*m
那么d A
A.a B.b C.c D.d
14.极坐标系与参数方程
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5分
5分
5分
5分
5分
5
(2007年高考广东卷第13小题) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(参数).圆的参数方程为(参数),则圆的圆心坐标为
圆心到直线的距离为
(2008年高考广东卷第13小题)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为,,则曲线与交点的极坐标为 .
【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。
(2009年高考广东卷第14小题)13.(坐标系与参数方程选做题)若直线(为参数)与直线(为参数)垂直,则 .
【解析】,得.
(2010年高考广东卷第15小题)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______.
15..由极坐标方程与普通方程的互化式知,这两条曲线的普通方程分别为.解得由得点(-1,1)的极坐标为._w*w.k_s_5 u.c*o*m
(2011年高考广东卷第14小题)
(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和
,它们的交点坐标为 .
(2012年高考广东卷第14小题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中中,曲线和曲线的
参数方程分别为(为参数)和(为参数),则曲线和曲线的交点坐标为 .
解:化为一般方程是y=√x,化为一般方程是x^2+y^2=2,联解方程得到交点坐标为(1,1),(第一个方程对x有开方,所以x不能为负数)
15.几何证明选讲
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5分
5分
5分
5分
5
5分
(2007年高考广东卷第15小题) (几何证明选讲选做题)如图4所示,圆的直径,为
圆周上一点, 过作圆的切线,过作的垂线,垂
图4
足为,则 ,线段的长为
15.
(2008年高考广东卷第15小题)(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线,切点为,.是圆的直径,与圆交于点,,则圆的半径 .
【解析】依题意,我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
(2009年高考广东卷第15小题)(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点, 且, 则圆的面积等于 .
【解析】解法一:连结、,则,∵,,∴
,则;解法二:,则.
(2010年高考广东卷第14小题)
(几何证明选讲选做题)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP=______.
14..因为点P是AB的中点,由垂径定理知,.
在中,.由相交线定理知,
,即,所以.
(2011年高考广东卷第15小题)(几何证明选讲选做题)
如图4,过圆外一点分别作圆的切线
和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,
∠=∠, 则= 。
15. ;
(2011年高考广东卷第15小题)A
B
C
P
O
15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆的半径为1,A,B,C是圆上三点,且满足,过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P,则PA= .
解:利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知,
角AOP为60度,又切线与半径OA垂直,所以PA=√3