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  • 2021-05-13 发布

07 广东高考试题分类汇编理数

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‎ 广东高考理科数学近6年试题分类汇编 ‎1.集合与简易逻辑 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5分 ‎10分 ‎5‎ ‎5‎ ‎(2007年高考广东卷第1小题) 已知函数的定义域为,的定义域为,则 ‎ A.{x |x>-1} B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D.‎ ‎1. 故选(C)‎ ‎(2008年高考广东卷第6小题) ‎ 已知命题所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】不难判断命题为真命题,命题为假命题,从而上述叙述中只有 为真命题 ‎ (2009年高考广东卷第1小题). 1. 已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 ‎【解析】由得,则,有2个,选B.‎ ‎ (2010年高考广东卷第1小题) 若集合A={-2<<1},B={0<<2}则集合A ∩  B=( )‎ A. {-1<<1} B. {-2<<1}‎ C. {-2<<2} D. {0<<1}‎ ‎1. D. .‎ ‎ (2010年高考广东卷第5小题) ‎ ‎“”是“一元二次方程”有实数解的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件 ‎5.A.由知,.‎ ‎(2011年高考广东卷第2小题)‎ ‎2.已知集合 ∣为实数,且,为实数,且,则的元素个数为C A.0    B.1    C.2     D.3‎ ‎(2012年高考广东卷第2小题)‎ ‎2.设集合,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 解:选C ‎2.复数 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎(2007年高考广东卷第2小题)若复数是纯虚数(是虚数单位,是实数),则( D )‎ A. B. C. D.2‎ ‎(2008年高考广东卷第1小题)‎ 已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】,而,即,‎ ‎ (2009年高考广东卷第2小题)‎ 设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,‎ A. 8 B. ‎6 ‎‎ ‎‎ C. 4 D. 2‎ ‎【解析】,则最小正整数为4,选C.‎ ‎(2010年高考广东卷第2小题)‎ ‎.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=( )‎ A.4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3‎ ‎2. A.‎ ‎ (2011年高考广东卷第1小题) 设复数满足,其中为虚数单位,则= B A. B. C. D.‎ ‎(2012年高考广东卷第1小题)‎ ‎1.设i为虚数单位,则复数 A. B. C. D.‎ 解:分子分母同乘以-i,得D选项为正确答案。‎ ‎3.向量 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎(2007年高考广东卷第10小题)‎ ‎10. 若向量、满足||=||=1,与的夹角为,则 .‎ ‎10.‎ ‎ (2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量=(1,2),=(-2,m),且∥,则2 + 3 =(B )‎ A. (-5,-10) B. (-4,-8) C. (-3,-6) D. (-2,-4)‎ ‎(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a= ,b=, 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 ‎ C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,由及向量的性质可知,C正确.‎ ‎(2010年高考广东卷第5小题)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件 (8-)·=30,则= (C)‎ ‎ A.6 B.‎5 C.4 D.3‎ ‎(2011年高考广东卷第3小题)已知向量.若为实数, (B)‎ ‎ A. B. C.1 D. 2‎ ‎(2012年高考广东卷第3、8小题)‎ ‎3.若向量,,则 ‎ A. B. C. D.‎ 解:BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),选A ‎8.对任意两个非零的平面向量,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则 A. B. C. D.‎ 解:a﹒b/b﹒b=|a||b|cosθ/|b|^2=|a|cosθ/|b|‎ ‎ 。=|b|cosθ/|a|<|b|/|a|<1属于集合,则|b|/|a|=1/2,即|a|=2|b|代入上式,得:‎ ‎2 cosθ,因为√2/2< cosθ<1,所以√2< 2cosθ<2,因此3/2‎ ‎4.框图 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎(2007年高考广东卷第6小题)图l是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图,从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为、、…、(如 表示身高(单位:)在[150,‎ ‎155)内的学生人数).图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图.现要统计 身高在160~180(含 ‎160,不含180)的学生人 数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A. B. C. D.‎ ‎6.计算,由算法框图知, 故选(B)‎ 开始 n整除a?‎ 是 输入 结束 输出 图3‎ 否 ‎(2008年高考广东卷第9小题) ‎ ‎9.阅读图3的程序框图,若输入,,则输出 , ‎ ‎(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”) ‎ ‎【解析】要结束程序的运算,就必须通过整除的条件运算,‎ 而同时也整除,那么的最小值应为和的最小公倍 数12,即此时有。‎ ‎ (2009年高考广东卷第9小题)‎ ‎9. 随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的 ,表示的样本的数字特征是 .‎ ‎(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)‎ ‎【解析】;平均数 ‎ (2010年高考广东卷第13小题)‎ ‎13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位:吨),根据图2所示的程序框图,若n=2,且x1,x2 分别为1,2,则输出地结果s为 .‎ ‎13.填..‎ ‎(2012年高考广东卷第13小题)‎ ‎13.执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为8,则输出s的值为_______.‎ ‎ 解:8‎ 分析:这五道填空题型设置与2011年高考完全一样,难度系 数也相近,都是考察基础知识。‎ ‎5.函数 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎24分 ‎19分 ‎5分 ‎24分 ‎15分 ‎5‎ ‎(2007年高考广东卷第3小题)若函数,则函数在其定义域上是( B )‎ A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 ‎(2007年高考广东卷第5小题)客车从甲地以‎60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以‎80km/h的速度匀速行驶1上时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中,正确的是( C )‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ t(h)‎ s(km)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ t(h)‎ s(km)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ t(h)‎ s(km)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ t(h)‎ s(km)‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎4.,故选(C)‎ ‎(2007年高考广东卷第20小题)已知是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围.‎ ‎21解: 若,则,令,不符合题意, 故 当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或 解得或 当在[-1,1]上有两个零点时,则 解得即 综上,实数的取值范围为 ‎(别解:,题意转化为求的值域,令得转化为勾函数问题)‎ ‎(2008年高考广东卷第7小题) 设,若函数,有大于零的极值点,则( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为.‎ ‎(2008年高考广东卷第19小题) 19.(本小题满分14分)‎ 设,函数,,,试讨论函数的单调性.‎ ‎【解析】 ‎ 对于,‎ 当时,函数在上是增函数;‎ 当时,函数在上是减函数,在上是增函数;‎ 对于,‎ 当时,函数在上是减函数;‎ 当时,函数在上是减函数,在上是增函数。‎ ‎ (2009年高考广东卷第4小题)若函数是函数的反函数,且,则 ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎(2010年高考广东卷第2小题)函数的定义域是 B ‎ A.(2,) B.(1,) C.[1,) D.[2,)‎ ‎(2010年高考广东卷第3小题)若函数与的定义域均为,则D ‎ A.与均为偶函数 B.为奇函数,为偶函数 ‎ C.与均为奇函数 D.为偶函数,为奇函数 ‎(2010年高考广东卷第20小题)已知函数对任意实数均有,其中常数为负数,且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)写出在上的表达式,并讨论函数在上的单调性;‎ ‎(3)求出在上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m20.解:(1)∵,且在区间[0,2]时 ‎∴‎ 由得 ‎∴‎ ‎(2)若,则 ‎ ∴当时,‎ 若,则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 若,则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时,‎ ‎∵,∴当时,,由二次函数的图象可知,为增函数;‎ ‎ 当时,,由二次函数的图象可知,当时,为增函数,当时,为减函数;‎ 当时,,由二次函数的图象可知,当时,为减函数;当时,为增函数;‎ 当时,,由二次函数的图象可知,为增函数。‎ ‎(3)由(2)可知,当时,最大值和最小值必在或处取得。(可画图分析)‎ ‎∵,,,‎ ‎∴当时,;‎ 当时,‎ 当时,.‎ ‎(2011年高考广东卷第4小题)函数的定义域是C ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(2011年高考广东卷第10小题)设是上的任意实值函数,如下定义两个函数对任意则下列等式恒成立的是B ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎(2011年高考广东卷第12小题)设函数 -9 .‎ ‎(2012年高考广东卷第4小题)‎ ‎4.下列函数中,在区间上为增函数的是 ‎ A. B C. D. ‎ 解:B、C为减函数,D为双钩函数,双钩函数在上先减后增,选A 分析:前4题难度都不大,掌握概念和基本方法就可以拿到分。‎ ‎6.导数 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5分 ‎17分 ‎19分 ‎14分 ‎14‎ ‎14分 ‎(2007年高考广东卷第12小题)函数的单调递增区间是 .‎ ‎(2008年高考广东卷第9小题)设a∈R,若函数,x∈R有大于零的极值点,则( )‎ ‎【解析】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.‎ A. a < -1 B. a > -‎1 ‎ C. a < -1/e D. a > -1/e ‎(2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积)。‎ ‎【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则 ‎ ‎ ‎ , 令 得 ‎ ‎ 当 时, ;当 时,‎ 因此 当时,f(x)取最小值;‎ 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。‎ ‎(2009年高考广东卷第3小题) 若函数是函数的反函数,其图像经过点,则 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】,代入,解得,所以,选B.‎ ‎(2009年高考广东卷第8小题)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是 A. 在时刻,甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ B. 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在时刻,两车的位置相同 D. 时刻后,乙车在甲车前面 ‎【解析】由图像可知,曲线比在0~、0~与轴所围成图形面积大,则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (2009年高考广东卷第20小题) ‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.W.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:(1)依题可设 (),则;‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ , , ‎ 设,则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值 当时, 解得 ‎ 当时, 解得 ‎ (2)由(),得 ‎ 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ 当时,方程有二解,‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 若,,‎ 函数有两个零点,即;‎ 当时,方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上,当时, 函数有一零点;‎ 当(),或()时,‎ 函数有两个零点;‎ 当时,函数有一零点.‎ ‎(2010年高考广东卷第3小题)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 A.f(x)与g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 ‎3.D..‎ ‎(2010年高考广东卷第9小题) 函数=lg(-2)的定义域是 .‎ ‎9. (1,+∞) .∵,∴.‎ ‎ (2010年高考广东卷第21小题) ‎ 设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.‎ 当且仅当时等号成立,即三点共线时等号成立.‎ ‎(2)当点C(x, y) 同时满足①P+P= P,②P= P时,点是线段的中点. ,即存在点满足条件。‎ www.zxsx.com ‎ (2011年高考广东卷第19小题)‎ ‎ 设讨论函数 ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ 当的判别式 ‎ ‎ ‎ ①当有两个零点,‎ ‎ ‎ ‎ 且当内为增函数;‎ ‎ 当内为减函数;‎ ‎ ②当内为增函数;‎ ‎ ③当内为增函数;‎ ‎ ④当 ‎ 在定义域内有唯一零点,‎ ‎ 且当内为增函数;当时,内为减函数。 的单调区间如下表:‎ ‎ (其中)‎ ‎(2012年高考广东卷第21小题)‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设,集合,.‎ 11. 求集合D(用区间表示);‎ 12. 求函数在D内的极值点.‎ 解:(1)记 ‎ ‎ ① 当,即,‎ ② 当,‎ ③ 当,‎ ‎(2)由得 ‎① 当, f(x)在D内有极大值点a,有极小值点1‎ ② 当,∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴f(x)在D内有极大值点a ③ 当,则 又∵‎ ‎∴f(x)在D内无极值点 分析:本题必须用到分类讨论,这是显而易见的,但对于基础较弱的学生,这题不容易得分,本题具有很强的区分考生分析归纳能力和综合运用能力的意图。‎ ‎7.三角函数与解三角形 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎17分 ‎17分 ‎22分 ‎19分 ‎12分 ‎12‎ ‎(2007年高考广东卷第3小题) 若函数(),则是 ‎ A.最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 ‎ C.最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎3. 故选(D)‎ ‎ (2007年高考广东卷第16小题) 16.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0).‎ ‎ (1) 若,求sin∠A的值;‎ ‎ (2)若∠A是钝角, 求的取值范围.‎ ‎ 16.(1)当时,‎ ‎(2),为钝角 ‎ (2008年高考广东卷第8小题)‎ ‎8.在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.‎ ‎ (2008年高考广东卷第12小题)‎ 已知函数,,则的最小正周期是 .‎ ‎【解析】,此时可得函数的最小正周期。‎ ‎ (2008年高考广东卷第16小题) 16.(本小题满分13分)‎ 已知函数,的最大值是1,其图像经过点.‎ ‎(1)求的解析式;(2)已知,且,,求的值.‎ ‎【解析】(1)依题意有,则,将点代入得,而,,,故;‎ ‎(2)依题意有,而,,‎ ‎。‎ ‎ (2009年高考广东卷第6小题) 一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 6 B. ‎2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】,所以,选D.‎ ‎ (2009年高考广东卷第10小题) ‎ ‎ 若平面向量,满足,平行于轴,,则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】或,则或.‎ ‎ (2009年高考广东卷第16小题)‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知向量与互相垂直,其中.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)若,求的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.‎ ‎(2)∵,,∴,则,∴.‎ ‎ (2010年高考广东卷第13小题)‎ ‎10.若向量=(1,1,x), =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .‎ ‎10.C.,,解得.‎ ‎11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .‎ ‎11.1.解:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,,即.由知,,则,‎ ‎,.‎ w_w w. k#s5_u.c o*m.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2010年高考广东卷第16小题) 16、(本小题满分14分)‎ 已知函数在时取得最大值4. ‎ ‎(1) 求的最小正周期;‎ ‎(2) 求的解析式;‎ ‎(3) 若(α +)=,求sinα.   ‎ ‎,,,,.‎ ‎ (2011年高考广东卷第3小题)‎ ‎ 3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 D A.4    B.3     C.2      D.0‎ ‎ (2011年高考广东卷第16小题)‎ 已知函数 (1) 求的值;‎ (2) 设求的值.‎ ‎16.解:(1);‎ ‎(2),,又,,‎ ‎,,‎ 又,,‎ ‎.‎ ‎(2012年高考广东卷第16小题)16.(本小题满分12分)‎ 已知函数(其中)的最小正周期为.‎ (1) 求的值;‎ (2) 设,求的值.‎ 解:(1)=2Pi/T,得 ‎(2)将已知条件代入f(x)解析式中得 ‎ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎8.不等式 ‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎22分 ‎12分 ‎10分 ‎10‎ ‎(2008年高考广东卷第4小题)‎ ‎ 4.若变量满足则的最大值是( C )‎ A.90 B.‎80 ‎ C.70 D.40‎ ‎【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.‎ ‎ (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积)。‎ ‎【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则 ‎ ‎ ‎ , 令 得 ‎ ‎ 当 时, ;当 时,‎ 因此 当时,f(x)取最小值;‎ 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。‎ ‎(2010年高考广东卷第19小题) 19.(本小题满分12分)‎ ‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.‎ ‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?‎ 解:设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则。‎ ‎ 可行域为 ‎ 即 ‎ 作出可行域如图所示:‎ ‎ 经试验发现,当时,花费最少,为元.‎ w(2011年高考广东卷第9小题) ‎ ‎9. 不等式的解集是 . 9. ;‎ ‎(2011年高考广东卷第5小题) 5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点,点的坐标为,则的最大值为C A.     B.       C.4      D.3‎ ‎(2012年高考广东卷第5、9小题) ‎ ‎5.已知变量满足约束条件,则的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1‎ 解:可行域如图:‎ 所的最大值为3*3+2=11,选B ‎9.不等式的解集为___________. ‎ 解:不等式的零点是-2和0,分情况讨论解得不等式的解集为:{x|x<-1/2}‎ ‎9.概率统计 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎17分 ‎18分 ‎18分 ‎22分 ‎18分 ‎18‎ ‎(2007年高考广东卷第9小题)‎ 甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 .(答案用分数表示) 9.‎ ‎ (2007年高考广东卷第17小题)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生 产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (1)请画出上表数据的散点图;‎ ‎ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;‎ ‎ (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性 回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?‎ ‎(参考数值:‎ ‎17.(1)(略)‎ ‎(2),,,‎ ‎,故现线性回归方程为 ‎(3)当时,,,故预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨标准煤。‎ ‎(2008年高考广东卷第3小题) 3.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已知在全校 学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C ) ‎ 一年级 二年级 三年级 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ A.24 B.‎18 ‎ C.16 D.12 ‎ 表1 ‎ ‎【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是,即总体中各个年级的人数比例为,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 ‎(2008年高考广东卷第10小题) 10.已知(是正整数)的展开式中,的系数小于120,‎ 则 .‎ ‎【解析】按二项式定理展开的通项为,‎ 我们知道的系数为,即,也即,‎ 而是正整数,故只能取1。‎ ‎(2008年高考广东卷第17小题) 17.(本小题满分13分)‎ 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.‎ ‎(1)求的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);‎ ‎(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?‎ ‎【解析】的所有可能取值有6,2,1,-2;,‎ ‎,‎ 故的分布列为:‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎0.63‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ ‎(2)‎ ‎(3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为 依题意,,即,解得 所以三等品率最多为 ‎(2009年高考广东卷第7小题) 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 ‎【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2009年高考广东卷第12小题)‎ 已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .‎ ‎【解析】由题知,,,解得,.‎ ‎(2009年高考广东卷第17小题) ‎ 根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:‎ 对某城市一年(365‎ 天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间,,,,,进行分组,得到频率分布直方图如图5. ‎ ‎(1)求直方图中的值; ‎ ‎(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;‎ ‎(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎(结果用分数表示.已知,, ,)‎ 解:(1)由图可知,解得;‎ ‎(2);‎ ‎(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.‎ ‎ (2010年高考广东卷第11小题) 7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1),且=0.6826,则p(X>4)=( )‎ A、0.1588 B、‎0.1587 C、0.1586 D0.1585‎ ‎7.B.=0.3413,‎ ‎=0.5-0.3413=0.1587.‎ ‎8.为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )‎ A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 ‎8.C.每次闪烁时间5秒,共5×120=600s,每两次闪烁之间的间隔为5s,共5×(120-1)‎ ‎=595s.总共就有600+595=1195s.‎ ‎ (2010年高考广东卷第12小题)‎ ‎ (2010年高考广东卷第17小题) ‎ 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490,,(495,,……(510,,由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.‎ ‎ (1)根据频率分布直方图,求重量超过‎505克的产品数量.‎ ‎ (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过‎505克的产品数量,求Y的分布列.‎ ‎ (3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过‎505克的概率.‎ ‎(2011年高考广东卷第6小题) ‎ ‎6.‎ ‎ 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为D A.     B.       C.      D.‎ ‎(2011年高考广东卷第6小题) ‎ ‎10. 的展开式中,的系数是 (用数字作答)10. 84; ‎ ‎(2011年高考广东卷第13小题) ‎ ‎ 13. 某数学老师身高‎176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm. 13. 185;‎ ‎(2011年高考广东卷第17小题) ‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ (1) 已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;‎ (2) 当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;‎ (3) 从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。‎ ‎17.解:(1)乙厂生产的产品总数为;‎ ‎(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为;‎ ‎(3), ,的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 均值.‎ ‎(2012年高考广东卷第7、17小题) ‎ ‎7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 A. B. C. D.‎ 解:个位数为0且“个位+十位=奇数”的两位数是10 30 50 70 90 共5个 ‎ 若十位数为奇数,则个位数为偶数,共有C(5,1)*C(5,1)=25‎ ‎ 若十位数为偶数,则个位数为奇数,共有C(4,1)*C(5,1)=20‎ ‎ 5/(25+20)=1/9选D ‎17.(本小题满分13分)‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:‎ ‎[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.‎ 解:(1)由 得 ‎ (1) 由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以 上的学生有3人 ‎ 随机变量的可能取值有0,1,2‎ ‎∴ ‎ ‎10.立体几何 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎17分 ‎17分 ‎18分 ‎19分 ‎24分 ‎19‎ ‎(2007年高考广东卷第12小题) ‎ 如果一个凸多面体是棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的 直线共有 条.这些直线中共有对异面直线,则 ‎ ‎ (答案用数字或的解析式表示)‎ ‎12.;12;‎ ‎(2007年高考广东卷第19小题) ‎ 如图6所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、的 动点.点在边上,且.现沿将 折起到的位置,使。记,‎ 表示四棱锥的体积 ‎(1)求的表达式;‎ ‎(2)当为何值时,取得最大值?‎ ‎(3) 当取得最大值时,求异面直线与 所成角的余弦值.‎ ‎19.(1)又, 平面且,,四棱锥的底面积为 ‎ ‎,‎ ‎(2),时,时,在上增,在上减,故在时,取最大值为 ‎(3)过作交于,则是直线与所成角且是等腰三角形,由(2)知 在,所以异面直线与所成角的余弦值为 ‎ (2008年高考广东卷第5小题)‎ 将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )‎ E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A.‎ B E B.‎ B E C.‎ B E D.‎ ‎【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.‎ ‎ (2008年高考广东卷第20小题)‎ F C P G E A B 图5‎ D 如图5所示,四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形,其中是圆的直径,,,垂直底面,,分别是上的点,且,过点作的平行线交于.‎ ‎(1)求与平面所成角的正弦值;(2)证明:是直角三角形;‎ ‎(3)当时,求的面积.‎ ‎【解析】(1)在中,,‎ 而PD垂直底面ABCD,‎ ‎,‎ 在中,,即为以为直角的直角三角形。‎ 设点到面的距离为,由有,即 ‎ ;‎ ‎(2),而,即,,‎ ‎,是直角三角形;‎ ‎(3)时,,‎ 即,‎ 的面积 ‎ (2009年高考广东卷第5小题) ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎ (2009年高考广东卷第18小题)‎ 如图6,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点、分别是棱的中点.设点分别是点,在平面内的正投影.‎ ‎(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;‎ ‎(2)证明:直线平面;‎ ‎(3)求异面直线所成角的正弦值.‎ 解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为 ‎ ,‎ 又面,,∴.‎ ‎(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,‎ ‎∴,,即,,‎ 又,∴平面.‎ ‎(3),,则,设异面直线所成角为,则.‎ ‎ (2010年高考广东卷第6小题)‎ 如图1,△ ABC为三角形,// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图(也称主视图)是 ‎6.D.‎ ‎(2010年高考广东卷第18小题)‎ 如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .‎ ‎ ‎ ‎ 图5‎ ‎ (1)证明:EB⊥FD;‎ ‎(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎(2)设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面,∴平面,‎ 而平面平面= ,‎ ‎∴.‎ 由(1)知,平面,∴平面,‎ 而平面,平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中,,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是.‎ ‎(2011年高考广东卷第7小题)‎ 正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱的对角线条数共有D ‎ A.20 B.15 C.12 D. 10‎ ‎(2011年高考广东卷第7小题)‎ ‎ 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ P AS BS CS DS F G P AS BS CS DS F E ‎(2011年高考广东卷第18小题) ‎ ‎ 如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,‎ 且∠DAB=60,,PB=2, ‎ E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎ (1) 证明:AD 平面DEF;‎ ‎ (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.‎ P AS BS CS DS F G P AS BS CS DS F E ‎18.解:(1) 取AD的中点G,又PA=PD,,‎ 由题意知ΔABC是等边三角形,, ‎ 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线,‎ ‎, ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(2) 由(1)知为二面角的平面角,‎ 在中,;在中,;‎ 在中,.‎ ‎(2012年高考广东卷第6、18小题) ‎ ‎6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 A. B. C. D.‎ 解:根据三视图可知,该几何体上部分为圆锥,下部分为圆柱,选C ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,,求二面角的正切值.‎ ‎ 解:(1)∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)设AC与BD交点为O,连结OE ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 为二面角的平面角 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形ABCD是正方形 ‎∴ ‎ 在,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 二面角的平面角的正切值为3‎ ‎ ‎ ‎11.平面几何与圆锥曲线 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎19分 ‎19分 ‎19分 ‎19分 ‎19分 ‎19‎ ‎(2007年高考广东卷第11小题) 在平面直角坐标系中,有一定点(2,1),若线段的垂直平分线过抛物线的焦点,则该抛物线的准线方程是 .‎ ‎11.线段的垂直平分线方程为准线方程 ‎(2007年高考广东卷第18小题)在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为 的圆与直线相切于坐标原点,椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎18解:(1) 设圆C的圆心为 (m, n)(m<0,n>0)‎ 依题意可得 解得 ‎ 所求的圆的方程为 ‎ ‎(2) 由已知可得 ‎ ‎ 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0);‎ ‎ 设,依题意 解得或(舍去)‎ 存在点 ‎(2008年高考广东卷第11小题)‎ 经过圆的圆心,且与直线垂直的直线方程是 .‎ ‎【解析】易知点C为,而直线与垂直,我们设待求的 直线的方程为,将点C的坐标代入马上就能求出参数的 值为,故待求的直线的方程为。‎ ‎(2008年高考广东卷第18小题)(本小题满分14分)‎ 设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;‎ ‎(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).‎ ‎【解析】(1)由得,‎ 当得,G点的坐标为,,,‎ 过点G的切线方程为即,‎ 令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,‎ 即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;‎ ‎(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解,有两解,即以为直角的有两个,‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎(2009年高考广东卷第11小题) ‎ 巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为 .‎ ‎【解析】,,,,则所求椭圆方程为.‎ ‎ ‎ ‎(2009年高考广东卷第19小题) ‎ 已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.‎ ‎(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.‎ 解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,‎ ‎∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().‎ xA xB D ‎(2)曲线,‎ 即圆:,其圆心坐标为,半径 由图可知,当时,曲线与点有公共点;‎ 当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.‎ ‎ (2010年高考广东卷第12小题) ‎ 已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是 ‎ ‎12. .设圆心为,则,解得.‎ ‎ (2010年高考广东卷第20题)(本小题满分为14分)‎ ‎ 一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点,是双曲线上不同的两个动点。‎ ‎ (1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;‎ ‎ (2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且 ,求h的值。‎ ‎ [来源:学,科,网]故,即。‎ ‎(2)设,则由知,。‎ 将代入得 ‎,即,‎ 由与E只有一个交点知,,即[来源:学.科.网][来。‎ 同理,由与E只有一个交点知,,消去得,即,从而 ‎,即。‎ ‎ (2011年高考广东卷第8小题)‎ 设圆 A ‎ A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆 ‎(2011年高考广东卷第19题) (本小题满分14分)‎ 设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。‎ ‎(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;‎ ‎(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,‎ 由题意得或,‎ ‎,‎ 可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则 ‎,所以轨迹L的方程为.‎ ‎(2)∵,仅当时,取"=",‎ 由知直线,联立并整理得解得 或,此时 所以最大值等于2,此时.‎ ‎(2012年高考广东卷第20题) 20.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ (1) 求椭圆C的方程 (2) 在椭圆C上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点A、B,且的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由得,椭圆方程为 椭圆上的点到点Q的距离 当①即,得 当②即,得(舍)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 椭圆方程为 ‎(2)‎ 当,取最大值,‎ 点O到直线距离 ‎∴‎ 又∵‎ 解得:‎ ‎∴点M的坐标为 的面积为 ‎12.数列 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎19分 ‎19分 ‎19分 ‎5分 ‎19‎ ‎19‎ ‎(2007年高考广东卷第5小题)‎ 已知数列{}的前项和,第项满足,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.,k=8,(或5<2k-10<8)故选(B)‎ ‎ (2007年高考广东卷第21小题) 已知函数,是方程的两个根,是的导数.设,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)已知对任意的正整数有,记.求数列的前项和.‎ ‎21解:(1) 由 得 ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;‎ ‎ ‎ ‎(2008年高考广东卷第2小题) ‎ 记等差数列的前项和为,若,,则( D )‎ A.16 B.‎24 ‎ C.36 D.48‎ ‎【解析】,,故 ‎ (2008年高考广东卷第21题)‎ 设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)若,,求的前项和.‎ ‎【解析】(1)由求根公式,不妨设,得 ‎,‎ ‎(2)设,则,由得,‎ 消去,得,是方程的根,由题意可知,‎ ‎①当时,此时方程组的解记为 即、分别是公比为、的等比数列,‎ 由等比数列性质可得,,‎ 两式相减,得 ‎,,‎ ‎,‎ ‎,即,‎ ‎②当时,即方程有重根,,‎ 即,得,不妨设,由①可知 ‎,,‎ 即,等式两边同时除以,得,即 数列是以1为公差的等差数列,,‎ 综上所述,‎ ‎(3)把,代入,得,解得 ‎(2009年高考广东卷第4小题) 已知等比数列满足,且,则当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由得,,则, ,选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (2009年高考广东卷第21题) ‎ 已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:.‎ 解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)‎ ‎,即,∴‎ ‎(2)证明:∵‎ ‎∴‎ 由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,‎ 则有,即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com ‎(2010年高考广东卷第4小题) 已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若, 且与2的等差中项为,则=w_w w.k*s_5 u.c o_m A.35 B‎.33 C.31 D.29‎ ‎4.C.设{}的公比为,则由等比数列的性质知,,即。由与2的等差中项为知,,即.‎ ‎ ∴,即.,即.‎ ‎ (2011年高考广东卷第11小题) ‎ 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,则k=____________.‎ ‎11. 10;‎ ‎ (2011年高考广东卷第20小题) 20.(本小题共14分)‎ 设b>0,数列满足a1=b,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:对于一切正整数n,‎ ‎20.解(1)法一:,得,‎ 设,则,‎ ‎(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,‎ 即,∴‎ ‎(ⅱ)当时,设,则,‎ 令,得,,‎ 知是等比数列,,又,‎ ‎,.‎ 法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,‎ 即,∴‎ ‎(ⅱ)当时,,,,‎ 猜想,下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,猜想显然成立;‎ ‎②假设当时,,则 ‎,‎ 所以当时,猜想成立,‎ 由①②知,,.‎ ‎(2)(ⅰ)当时, ,故时,命题成立;‎ ‎(ⅱ)当时,,‎ ‎,‎ ‎,以上n个式子相加得 ‎,‎ ‎.故当时,命题成立;‎ 综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.‎ ‎(2012年高考广东卷第11、19小题)‎ ‎11.已知递增的等差数列满足,,则________.‎ 解:由等差数列可设公差为d(d>0),则:1+2d=(1+d)^2-4,解得d=-2(舍),d=2‎ 所以1+2(n-1)=2n-1‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为,满足,,且成等差数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数,有.‎ 解:(1)在中 ‎ 令得:‎ ‎ 令得:‎ 解得:,‎ 又 解得 ‎(2)由 得 又也满足 所以成立 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎(3)∵‎ ‎∴ ‎ 当时,‎ ‎………‎ 累乘得: ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎13.新题型 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎5分 ‎5分 ‎5分 图3‎ ‎(2007年高考广东卷第10小题)‎ 图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为,,,件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎(2009年高考广东卷第10小题)‎ 广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见下表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是 ‎ A. B‎.21 C.22 D.23 ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,所有可能路线有6种:‎ ‎①,②,③,④,⑤,⑥, ‎ 其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,‎ 故选B.‎ ‎(2010年高考广东卷第10小题)‎ 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:w_w w. k#s5_u.c o*m 那么d A A.a B.b C.c D.d ‎14.极坐标系与参数方程 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5分 ‎5分 ‎5分 ‎5分 ‎5分 ‎5‎ ‎(2007年高考广东卷第13小题) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(参数).圆的参数方程为(参数),则圆的圆心坐标为 ‎ 圆心到直线的距离为 ‎ ‎ (2008年高考广东卷第13小题)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为,,则曲线与交点的极坐标为 .‎ ‎【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。‎ ‎ (2009年高考广东卷第14小题)13.(坐标系与参数方程选做题)若直线(为参数)与直线(为参数)垂直,则 .‎ ‎【解析】,得.‎ ‎ (2010年高考广东卷第15小题)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______.‎ ‎   15..由极坐标方程与普通方程的互化式知,这两条曲线的普通方程分别为.解得由得点(-1,1)的极坐标为._w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎(2011年高考广东卷第14小题)‎ ‎(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和 ‎,它们的交点坐标为 .‎ ‎(2012年高考广东卷第14小题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中中,曲线和曲线的 参数方程分别为(为参数)和(为参数),则曲线和曲线的交点坐标为 .‎ 解:化为一般方程是y=√x,化为一般方程是x^2+y^2=2,联解方程得到交点坐标为(1,1),(第一个方程对x有开方,所以x不能为负数)‎ ‎15.几何证明选讲 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎5分 ‎5分 ‎5分 ‎5分 ‎5‎ ‎5分 ‎(2007年高考广东卷第15小题) (几何证明选讲选做题)如图4所示,圆的直径,为 圆周上一点, 过作圆的切线,过作的垂线,垂 图4‎ 足为,则 ,线段的长为 ‎ ‎15. ‎ ‎ ‎ ‎(2008年高考广东卷第15小题)(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线,切点为,.是圆的直径,与圆交于点,,则圆的半径 .‎ ‎【解析】依题意,我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。‎ ‎(2009年高考广东卷第15小题)(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点, 且, 则圆的面积等于 .‎ ‎【解析】解法一:连结、,则,∵,,∴‎ ‎,则;解法二:,则.‎ ‎(2010年高考广东卷第14小题) (几何证明选讲选做题)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP=______.‎ ‎ 14..因为点P是AB的中点,由垂径定理知,.‎ 在中,.由相交线定理知,‎ ‎,即,所以.‎ ‎ (2011年高考广东卷第15小题)(几何证明选讲选做题)‎ 如图4,过圆外一点分别作圆的切线 和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,‎ ‎∠=∠, 则= 。‎ ‎15. ;‎ ‎(2011年高考广东卷第15小题)A B C P O 15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆的半径为1,A,B,C是圆上三点,且满足,过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P,则PA= .‎ 解:利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知,‎ 角AOP为60度,又切线与半径OA垂直,所以PA=√3‎