高三数学文湘教版一轮复习5年高考真题备考题库函数模型及其应用 6页

2009~2013 年高考真题备选题库 第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用 考点一 函数模型的实际应用 1．（2013 陕西，5 分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一 个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________(m)． 解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问 题的能力．如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 DE 于 F，易知DE BC ＝ x 40 ＝AD AB ＝AF AH ⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则 S＝x(40－x)≤ 40 2 2，当且仅当 40－x＝x， 即 x＝20 时取等号．所以满足题意的边长 x 为 20(m)． 答案：20 2．（2013 重庆，12 分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水 池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的 建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π元(π为圆周率)． (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考 查转化思想及分类讨论思想． (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为 160πr2 元，所以 蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以 h＝ 1 5r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π 5(300r－4r3)． 由 h>0，且 r>0 可得 00，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8，即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体 积最大． 3．(2009·浙江，4 分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该 地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 200 的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时， 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)． 解析：高峰时段电费 a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)． 低谷时段电费 b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月用电量为 a＋ b＝148.4(元)． 4.(2011 山东，12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容 器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π 3 立方米，且 l≥2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解：(1)设容器的容积为 V， 由题意知 V＝πr2l＋4 3πr3，又 V＝80π 3 ， 故 l＝ V－4 3πr3 πr2 ＝80 3r2 －4 3r＝4 3(20 r2 －r)． 由于 l≥2r，因此 03，所以 c－2>0， 当 r3－ 20 c－2 ＝0 时，r＝3 20 c－2. 令 3 20 c－2 ＝m，则 m>0. 所以 y′＝8πc－2 r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当 09 2 时， 当 r＝m 时，y′＝0； 当 r∈(0，m)时，y′<0； 当 r∈(m,2)时，y′>0， 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2 即 39 2 时，建造费用最小时 r＝ 3 20 c－2 . 考点二 函数与其他知识的交汇 1．（2013 安徽，12 分）设函数 f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中 a>0，区间 I＝{x|f(x)>0}． (1)求 I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数 k∈(0,1)，当 1－k≤a≤1＋k 时，求 I 长度的最小值． 解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形 能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力． (1)因为方程 ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根 x1＝0，x2＝ a 1＋a2 ， 故 f(x)>0 的解集为{x|x10，d(a)单调递增； 当 10， ∴f(x)在(1 2 ，1)上是单调递增的，∴f(x)在(1 2 ，1)内存在唯一零点． (2)法一：由题意知 －1≤f－1≤1， －1≤f1≤1， 即 0≤b－c≤2， －2≤b＋c≤0. 由图象知，b＋3c 在点(0，－2)处取到最小值－6， 在点(0,0)处取到最大值 0， ∴b＋3c 的最小值为－6，最大值为 0. 法二：由题意知 －1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，① －1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，② ①×2＋②得 －6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0， 当 b＝0，c＝－2 时，b＋3c＝－6； 当 b＝c＝0 时，b＋3c＝0， 所以 b＋3c 的最小值为－6，最大值为 0. 法三 由题意知 f－1＝1－b＋c， f1＝1＋b＋c， 解得 b＝f1－f－1 2 ，c＝f1＋f－1－2 2 ， ∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3. 又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1， ∴－6≤b＋3c≤0， 当 b＝0，c＝－2 时，b＋3c＝－6； 当 b＝c＝0 时，b＋3c＝0， 所以 b＋3c 的最小值为－6，最大值为 0. (3)当 n＝2 时，f(x)＝x2＋bx＋c. 对任意 x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4 等价于 f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4.据此分类讨论如下： (ⅰ)当|b 2|>1，即|b|>2 时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾． (ⅱ)当－1≤－b 2<0，即 0