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  • 2021-05-13 发布

高三数学文湘教版一轮复习5年高考真题备考题库函数模型及其应用

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2009~2013 年高考真题备选题库 第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用 考点一 函数模型的实际应用 1.(2013 陕西,5 分)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一 个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________(m). 解析:本题主要考查构建函数模型,利用基本不等式求解应用问 题的能力.如图,过 A 作 AH⊥BC 于 H,交 DE 于 F,易知DE BC = x 40 =AD AB =AF AH ⇒AF=x⇒FH=40-x.则 S=x(40-x)≤ 40 2 2,当且仅当 40-x=x, 即 x=20 时取等号.所以满足题意的边长 x 为 20(m). 答案:20 2.(2013 重庆,12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水 池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的 建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π元(π为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解:本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识,考 查转化思想及分类讨论思想. (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh=200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元,所以 蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 所以 h= 1 5r(300-4r2), 从而 V(r)=πr2h=π 5(300r-4r3). 由 h>0,且 r>0 可得 00,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8,即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体 积最大. 3.(2009·浙江,4 分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该 地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位:千瓦时) 高峰电价(单位:元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 200 的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位:千瓦时) 低谷电价(单位:元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答). 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元).故该家庭本月用电量为 a+ b=148.4(元). 4.(2011 山东,12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容 器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π 3 立方米,且 l≥2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解:(1)设容器的容积为 V, 由题意知 V=πr2l+4 3πr3,又 V=80π 3 , 故 l= V-4 3πr3 πr2 =80 3r2 -4 3r=4 3(20 r2 -r). 由于 l≥2r,因此 03,所以 c-2>0, 当 r3- 20 c-2 =0 时,r=3 20 c-2. 令 3 20 c-2 =m,则 m>0. 所以 y′=8πc-2 r2 (r-m)(r2+rm+m2). ①当 09 2 时, 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. ②当 m≥2 即 39 2 时,建造费用最小时 r= 3 20 c-2 . 考点二 函数与其他知识的交汇 1.(2013 安徽,12 分)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 解:本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等,意在考查考生恒等变形 能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力. (1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1=0,x2= a 1+a2 , 故 f(x)>0 的解集为{x|x10,d(a)单调递增; 当 10, ∴f(x)在(1 2 ,1)上是单调递增的,∴f(x)在(1 2 ,1)内存在唯一零点. (2)法一:由题意知 -1≤f-1≤1, -1≤f1≤1, 即 0≤b-c≤2, -2≤b+c≤0. 由图象知,b+3c 在点(0,-2)处取到最小值-6, 在点(0,0)处取到最大值 0, ∴b+3c 的最小值为-6,最大值为 0. 法二:由题意知 -1≤f(1)=1+b+c≤1,即-2≤b+c≤0,① -1≤f(-1)=1-b+c≤1,即-2≤-b+c≤0,② ①×2+②得 -6≤2(b+c)+(-b+c)=b+3c≤0, 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6; 当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0. 法三 由题意知 f-1=1-b+c, f1=1+b+c, 解得 b=f1-f-1 2 ,c=f1+f-1-2 2 , ∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3. 又∵-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1, ∴-6≤b+3c≤0, 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6; 当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0. (3)当 n=2 时,f(x)=x2+bx+c. 对任意 x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4 等价于 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4.据此分类讨论如下: (ⅰ)当|b 2|>1,即|b|>2 时,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾. (ⅱ)当-1≤-b 2<0,即 0