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- 2021-05-13 发布
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题型五:共线向量问题
解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题,再通过未达定理------同类坐标变换,将问题解决。此类问题不难解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:于P、Q两点,且,求实数的取值范围。
分析:由可以得到,将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程,解出点的坐标,用表示出来。
解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
(x1,y1-3)=(x2,y2-3)
即
方法一:方程组消元法
又P、Q是椭圆+=1上的点
消去x2,
可得
即y2=
又-2y22,
-22
解之得:
则实数的取值范围是。
方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ的方程为:,
由消y整理后,得
P、Q是曲线M上的两点
=
即 ①
由韦达定理得:
即 ②
由①得,代入②,整理得
,
解之得
当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或。
总之实数的取值范围是。
方法总结:通过比较本题的第二步的两种解法,可知第一种解法,比较简单,第二种方法是通性通法,但计算量较大,纵观高考中的解析几何题,若放在后两题,很多情况下能用通性通法解,但计算量较大,计算繁琐,考生必须有较强的意志力和极强的计算能力;不用通性通法,要求考生必须深入思考,有较强的思维能力,在命题人设计的框架中,找出破解的蛛丝马迹,通过自己的思维将问题解决。
例题8:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,,求的值.
分析:
(07福建理科)如图,已知点(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过作直线l的垂线,垂足为点,且
(Ⅰ)求动点的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知,求的值。
小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一:
(Ⅰ)设点,则,由得:
,化简得.
(Ⅱ)设直线的方程为:
.
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,
解法二:
(Ⅰ)由得:,
,
,
所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.
(Ⅱ)由已知,,得.
则:.…………①
过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,
则有:.…………②
由①②得:,即.
练习:设椭圆的左、右焦点分别为、,A是椭圆C上的一点,且,坐标原点O到直线的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点,较y轴于点M,若,求直线l的方程.
山东2006理
双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=为C的一条渐近线。
(I) 求双曲线C的方程;
(II)过点P(0,4)的直线,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)。当,且时,求Q点的坐标。
解:
(Ⅱ)解法一:
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程:,
则
在双曲线上,
同理有:
若则直线过顶点,不合题意.
是二次方程的两根.
,
此时.
所求的坐标为.
解法二:
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程,,则.
,
分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三:
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程:,则.
,
.
,
,,
又,
即
将代入得
,否则与渐近线平行。
。
解法四:
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零,设的方程:,
则
,
。
同理
.
即 (*)
又
消去y得.
当时,则直线l与双曲线得渐近线平行,不合题意,。
由韦达定理有:
代入(*)式得
所求Q点的坐标为。
练习:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,离心率等于。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点P为椭圆上一点,弦PA、PB分别过焦点F1、F2,(PA、PB都不与x轴垂直,其点P的纵坐标不为0),若,求的值。
解:(1)设椭圆C的方程为:,则b=1,由,得,则椭圆的方程为:
(2)由得:,设,
有得:
解得:,
根据PA、PB都不与x轴垂直,且,设直线PA的方程为:,代人,整理后,得:
根据韦达定理,得:,则,
从而,
同理可求
则
由为椭圆上一点得:,
则,
故的值为18.
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