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- 2021-05-13 发布
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定积分在高考中的常见题型解法
贵州省印江一中(555200) 王代鸿
定积分作为导数的后续课程,与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一,同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看,定积分是高考命题的一种新方向,在高考复习中要求学生了解定积分的定义,几何意义,掌握解决问题的方法。
一、利用微积分基本定理求定积分
1、微积分基本定理:一般地,如果是区间上的连续函数,并且,那么.这个结论叫做微积分基本定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。
2、例题讲义
例1、计算
解:因为
所以=
【解题关键】:计算的关键是找到满足的函数。
跟踪训练:1计算
二、利用定积分的几何意义求定积分。
1、定积分的几何意义 :设函数y=f(x)在
上y=f(x)非负、连续,由直线x=a,x=b,
y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积
S=
2、例题讲义:
例2、求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积S等于=___________
解: 联立方程组 (如图所示)
解得
S =
=
=
=
【解题关键】:将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形,再求面积和
例3、求的值
解:令
则有
及
右图所以
【解题关键】:将被积函数转化为熟悉的曲线方程,利用曲线图形的特点求其定积分。
练习:由直线,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为( )
A. B. C. D.
三、利用变换被积函数求定积分
1、从积分变量x分割的几何图形较多,不容易求其定积分时,就变换被积函数求其定积分。
2、例题讲义
例4、求抛物线与直线所围成的图形的面积。
解:方法1分割如右图
如图所示联立方程组
解得
=18
方法2:由得,
由得
所以S=
【解题关键】:改变被积函数求面积比分割求面积简单
四、定积分与几何概型知识的交叉应用
例5、如图,四边形OACB是AB=1,AD=
的矩形,阴影部分是由直线x=1与抛物线围成的区域,在矩形ABCD内(含边界)任意取点,则这点取自阴影部分(含边界)的概率是多少?
解:如图所示本题是古典概型
【解题关键】:求曲边梯形OACBD 面积
练习:设区区域,在区域D内任取一点,则此点落在区域内的概率是多少?
参考文献
1、《人教版数学选修2-2》
2、《新教材完全解读2-2》
3、《历年高考试题》