新课标备战高考数学文专题复习72直线平面简单几何体——空间直线 4页

第72课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间直线 课题：空间直线 一．复习目标：‎ ‎1．了解空间两条直线的位置关系．‎ ‎2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．‎ 二．课前预习：‎ ‎1．下列四个命题：‎ ‎（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ‎（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 ‎（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面 ‎（4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面 其中真命题个数为 （ D ）‎ ‎3 2 1 0‎ ‎2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ）‎ ‎300 450 600 ‎ ‎3．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）‎ ‎4．两条异面直线、间的距离是‎1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是‎10cm，则A、B两点间的距离为_______．‎ 答案：‎ P A B C D b c a 三．例题分析：‎ 例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．‎ 证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。‎ 证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。‎ A C E G F D B α β 例2． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角 解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，‎ ‎∠BAD=450 ，Rt△ACB中，BC=AB·cos300= ，‎ 在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=‎ 在Rt△BCD中，可求出CD=‎1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2‎-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。‎ 说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=。‎ 四．课后作业：‎ ‎1．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（ C ）‎ ‎25厘米 39厘米 25或39厘米 15厘米 ‎2．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b 间的距离为定值，则这样的直线b有（ D ）‎ ‎1条 2条 4条 无数条 ‎3．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ B ）‎ ‎1条 2条 3条 4条 ‎4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小 ． ‎ 答案：．‎ A1‎ A B B1‎ D D1‎ C C1‎ O ‎5．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．‎ 证明：如图1，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ 连结B1D1，A‎1C1，BD，AC．‎ 设B1D‎1A1C1＝M，BDAC＝N．‎ ‎∴ M，N分别是B1D1，AC的中点．‎ 连结BM，D1N．‎ ‎∵ BB1∥DD1，且BB1＝DD1，‎ ‎∴ 四边形BDD1B1是平行四边形．‎ 在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，‎ A1‎ A B B1‎ D D1‎ C C1‎ 图1‎ M O N O1‎ 在平行四边形BDD1B1中，‎ ‎∵ D‎1M∥NB，且D‎1M＝NB，‎ ‎∴ 四边形BND‎1M是平行四边形．‎ ‎∴ BM∥ND1，即 OM∥O1D1，‎ ‎∴ O是BO1的中点，即 O1O＝OB1．‎ 同理，OO1＝O1D．‎ ‎∴ O1O＝OB1＝O1D．‎ 综上，OB1∶OD1＝1∶2．‎ ‎6．如图，已知平面α、β交于直线，AB、CD分别在平面α，β内，且与分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．‎ 证明：直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．‎ B C D A ‎ α ‎ β l ‎∴ AB，CDγ．‎ ‎∴ ABα，D∈γ．‎ 由题知，ABα，D∈α，且DÏAB，‎ 根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．‎ 同理，β与γ重合．‎ ‎∴ α与β重合，这与题设矛盾．‎ ‎∴ AB，CD不能平行．‎ ‎7．平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．‎ A A1‎ D1‎ D C C1‎ B1‎ B 证明：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．‎ 设直线CD1与BC1共面α．‎ ‎∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α．‎ ‎∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB‎1C1C，‎ ‎∴C，B，C1∈平面BB‎1C1C．‎ ‎∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，‎ ‎∴平面α与平面BB‎1C1C重合．‎ ‎∴D1∈平面BB‎1C1C，矛盾．‎ 因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．‎