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- 2021-05-13 发布
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2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2﹣x)>1},则A∩B=( )
A.(2,4] B.[2,4] C.(﹣∞,0)∪[0,4] D.(﹣∞,﹣1)∪[0,4]
2.(5分)已知复数z=1﹣i(i为虚数单位),复数为z的共轭复数,则=( )
A.﹣2i B.2i C.4﹣2i D.4+2i
3.(5分)已知函数,执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )
A. B. C. D.
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,M是PF1的中点,且OM⊥PF1,2|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
5.(5分)设,,,则a,b,c三个数从大到小的排列顺序为( )
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b
6.(5分)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在上为减函数,则θ的一个值为( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
7.(5分)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )
A. B. C. D.
8.(5分)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究,如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是( )
A.81π B.33π C.56π D.41π
9.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位,所得到的函数g(x)的解析式为( )
A. B.g(x)=2sin2x
C. D.
10.(5分)已知函数
,g(x)=﹣f(﹣x),则方程f(x)=g(x)的解的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.(5分)已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x﹣2)2+y2=4,直线l:y=k(x﹣2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是( )
A.|M1M3|•|M2M4| B.|FM1|•|FM4| C.|M1M2|•|M3M4| D.|FM1|•|M1M2|
12.(5分)已知l1,l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1,P2处的切线,l1,l2分别与y轴交于点A,B,且l1与l2垂直相交于点P,则△ABP的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.(5分)已知向量满足,,且,则向量与向量的夹角为 .
14.(5分)(x﹣2y+y2)6的展开式中,x2y5的系数为 .
15.(5分)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于1,则a的值为 .
16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=c,sinB+sin(A﹣C)=sin2A,若O为△ABC所在平面内一点,且O,C在直线AB的异侧,OA=2OB=2,则四边形OACB面积的取值范围是 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(12分)在数列{an}中,a1=1,.
(Ⅰ)设,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
18.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∠PDC=90°,E为棱AP的中点,且AD⊥CE.
(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)当直线PB与底面ABCD成30°角时,求二面角B﹣CE﹣P的余弦值.
19.(12分)为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期、月度滚动使用,第一阶梯电量:年用电量2160度以下(含2160度),执行第一档电价0.5653元/度;第二阶梯电量:年用电量2161至4200度(含4200度),执行第二档电价0.6153元/度;第三阶梯电量:年用电量4200度以上,执行第三档电价0.8653元/度.
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,列表如表:
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量(度)
1000
1260
1400
1824
2180
2423
2815
3325
4411
4600
(Ⅰ)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元?
(Ⅱ)现要在这10户家庭中任意选取4户,对其用电情况作进一步分析,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
(Ⅲ)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况,现从全市居民用电户中随机地抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.
20.(12分)已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,离心率,O为坐标原点,圆与直线AB相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1•k2是否为定值?证明你的结论.
21.(12分)已知函数,函数g(x)=﹣2x+3.
(Ⅰ)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若﹣2≤a≤﹣1时,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤t|g(x1)﹣g(x2)|恒成立,求实数t的最小值.
选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,且直线l与曲线C交于P,Q两点.
(Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)把直线l与x轴的交点记为A,求|AP|•|AQ|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数.
(Ⅰ)当m=0时,求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函数f(x)≤5在x∈[1,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2﹣x)>1},则A∩B=( )
A.(2,4] B.[2,4] C.(﹣∞,0)∪[0,4] D.(﹣∞,﹣1)∪[0,4]
【解答】解:A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4},
B={x|log2(x2﹣x)>1}={x|x2﹣x>2}={x|x>2或x<﹣1},
则A∩B={x|2<x≤4},
故选:A.
2.(5分)已知复数z=1﹣i(i为虚数单位),复数为z的共轭复数,则=( )
A.﹣2i B.2i C.4﹣2i D.4+2i
【解答】解:由z=1﹣i,得,
则==.
故选:C.
3.(5分)已知函数,执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )
A. B. C. D.
【解答】解:模拟程序的运行,可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S=++…+的值,
可得:S=++…+
=(1﹣)+()+…+(﹣)=1﹣=.
故选:B.
4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,M是PF1的中点,且OM⊥PF1,2|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【解答】解:P为双曲线左支上的一点,
则由双曲线的定义可得,|PF2|﹣|PF1|=2a,
由|PF2|=2|PF1|,则|PF2|=4a,|PF1|=2a,
∵M是PF1的中点,且OM⊥PF1
∴由△PF1F2为直角三角形,则|PF2|2+|=|PF2|2,=|F1F2|2.
∴5a2=c2
即有e=.
故选:B.
5.(5分)设,,,则a,b,c三个数从大到小的排列顺序为( )
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b
【解答】解:b===>ln=ln=a,
a=>=c.
∴b>a>c.
故选:B.
6.(5分)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在上为减函数,则θ的一个值为( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【解答】解:∵f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+)为奇函数,
故有θ+=kπ,
即:θ=kπ﹣(k∈Z),可淘汰A、C选项,
然后分别将B和C选项代入检验,
易知当θ=时,
f(x)=﹣2sin2x其在区间[﹣,0]上递减,
故选:C.
7.(5分)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,
基本事件总数n==90,
每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36,
∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===.
故选:B.
8.(5分)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究,如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是( )
A.81π B.33π C.56π D.41π
【解答】解:由三视图还原原几何体如图:
该几何体为四棱锥,下底面ABCD是边长为4的正方形,侧面PAD为等腰三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.
棱锥的高为1,设三角形PAD的外心为G,则=2PG,
∴PG=.再设该四棱锥外接球的半径为R,则
则该几何体的外接球的表面积为.
故选:D.
9.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位,所得到的函数g(x)的解析式为( )
A. B.g(x)=2sin2x
C. D.
【解答】解:由题设图象知,A=2,周期T=4(x0+π﹣x0)=4π,
∴ω==.
∵点(0,1)在函数图象上,
∴2sin(φ)=1,即sin(φ)=.
又∵0<φ<,
∴φ=.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+),将图象横坐标缩短到原来的,可得2sin(2x+),
再向右平移个单位,可得2sin[2(x﹣)+]=2sin(2x),
即 g(x)=2sin(2x),
故选:D.
10.(5分)已知函数,g(x)=﹣f(﹣x),则方程f(x)=g(x)的解的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解答】解:函数的图象如图所示,
由g(x)=﹣f(﹣x),可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称,
作出y=g(x)的图象,
可得y=f(x)和y=g(x)的图象有4个交点,
则方程f(x)=g(x)的解的个数为4.
故选:A.
11.(5分)已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x﹣2)2+y2=4,直线l:y=k(x﹣2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是( )
A.|M1M3|•|M2M4| B.|FM1|•|FM4| C.|M1M2|•|M3M4| D.|FM1|•|M1M2|
【解答】解:分别设M1,M2,M3,M4四点横坐标为x1,x2,x3,x4,
由y2=8x可得焦点F(2,0),准线 l0:x=﹣2.
由定义得:|M1F|=x1+2,
又∵|M1F|=|M1M2|+2,
∴|M1M2|=x1,
同理:|M3M4|=x4,
将y=k(x﹣2)时,代入抛物线方程,得:k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,
∴x1x2=4,
∴|M1M2|•|M3M4|=4
故选:C.
12.(5分)已知l1,l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1,P2处的切线,l1,l2分别与y轴交于点A,B,且l1与l2垂直相交于点P,则△ABP的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解答】解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0<x1<1<x2),
当0<x<1时,f′(x)=﹣,当x>1时,f′(x)=,
∴l1的斜率k1=﹣,l2的斜率k2=,
∵l1与l2垂直,且x2>x1>0,
∴k1•k2=﹣•=﹣1,即x1x2=1.
直线l1:y=﹣(x﹣x1)﹣lnx1,l2:y=(x﹣x2)+lnx2.
取x=0分别得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),
|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2.
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=,
∴S△PAB=|AB|•|xP|=×2×=,
∵函数y=x+在(0,1)上为减函数,且0<x1<1,
∴x1+>1+1=2,则0<<,
∴0<<1.
∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).
故选:A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.(5分)已知向量满足,,且,则向量与向量的夹角为 .
【解答】解:∵,
∴,=2
又∵
∴
即
设向量与的夹角为θ
则cosθ==
∵θ∈[0,π]
∴θ=
故答案为:
14.(5分)(x﹣2y+y2)6的展开式中,x2y5的系数为 ﹣480 .
【解答】解:通项公式Tr+1=,
令6﹣r=2,解得r=4.
∴T5=.
又(y2﹣2y)4=(y2)4﹣•2y+﹣+,
∴x2y5的系数为×(﹣•23)=﹣480.
故答案为:﹣480.
15.(5分)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于1,则a的值为 1 .
【解答】解:当a<0时,不等式组所表示的平面区域,
如图中的M,一个无限的角形区域,面积不可能为2,
故只能a≥0,
此时不等式组所表示的平面区域如图中的N,区域为三角形区域,
若这个三角形的面积为1,
则AB=2,即点B的坐标为(1,2),
代入y=ax+1得a=1.
故答案为:1;
16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=c,sinB+sin(A﹣C)=sin2A,若O为△ABC所在平面内一点,且O,C在直线AB的异侧,OA=2OB=2,则四边形OACB面积的取值范围是 .
【解答】解:根据sinB+sin(A﹣C)=sin2A,可得sin(A+C)+sin(A﹣C)=sin2A,
可得2sinAcosC=2sinAcosA,即cosC=cosA,那么b=c=a,三角形△ABC时等边三角.
由OA=2OB=2,四边形OACB面积S=AO•OB•sin∠AOB+bcsinA,
则四边形OACB面积S=+sin∠AOB=(5﹣4cos∠AOB)+sin∠AOB=sin∠AOB﹣cos∠AOB
=2sin(∠AOB﹣)
∵0<∠AOB<π
∴<∠AOB﹣
那么:<2sin(∠AOB﹣)≤2
∴OACB面积的取值范围是
故答案为:
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~
21题为必考题,每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(12分)在数列{an}中,a1=1,.
(Ⅰ)设,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
【解答】解:(I)由已知有
∴,又b1=a1=1,
利用累差叠加即可求出数列{bn}的通项公式:
∴(n∈N*);
(II)由(I)知,
∴
而,
令①
①×2得②
①﹣②得=
=﹣2+(1﹣n)•2n+1
∴.
18.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∠PDC=90°,E为棱AP的中点,且AD⊥CE.
(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)当直线PB与底面ABCD成30°角时,求二面角B﹣CE﹣P的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:取AD的中点O,连OE,OC,CA,
∵∠ABC=60°,∴△ACD为等边三角形,得AD⊥OC,
又AD⊥CE,∴AD⊥平面COE,得AD⊥OE,
又OE∥PD,∴AD⊥PD,
又∠PDC=90°,∴PD⊥平面ABCD,
又PD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ) 知OE⊥平面ABCD,AD⊥OC,
以OC,OD,OE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
设菱形ABCD的边长为2,则,,
∵直线PB与底面ABCD成30°角,即∠PBD=30°,
∴,
∴,
∴,
设为平面BCE的一个法向量,
则,令x1=1,则,
∴;
设为平面PCE的一个法向量,
则,令x2=1,则,
∴.
∴,
由题可知二面角B﹣CE﹣P的平面角为钝角,
二面角B﹣CE﹣P的余弦值为.
19.(12分)为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期、月度滚动使用,第一阶梯电量:年用电量2160度以下(含2160度),执行第一档电价0.5653元/度;第二阶梯电量:年用电量2161至4200度(含4200度),执行第二档电价0.6153元/度;第三阶梯电量:年用电量4200度以上,执行第三档电价0.8653元/度.
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,列表如表:
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量(度)
1000
1260
1400
1824
2180
2423
2815
3325
4411
4600
(Ⅰ)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元?
(Ⅱ)现要在这10户家庭中任意选取4户,对其用电情况作进一步分析,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
(Ⅲ)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况,现从全市居民用电户中随机地抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.
【解答】解:(I)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度,
第三档电价比第一档电价多0.3元/度,
编号为10的用电户一年的用电量是4600度,
则该户本年度应交电费为:
4600×0.5653+(4200﹣2160)×0.05+(4600﹣4200)×0.3=2822.38元.
(II)设取到第二阶梯电量的用户数为X,
可知第二阶梯电量的用户有4户,则X可取0,1,2,3,4.
,
,
,
,
,
故X的分布列是:
X
0
1
2
3
4
P
所以.
(III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,
满足X~B(10,),可知(k=0,1.2.3.…10),
∵抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,
∴,解得,∵k∈N*
所以当k=4时,概率最大,所以k=4.
20.(12分)已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,离心率,O为坐标原点,圆与直线AB相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1•k2是否为定值?证明你的结论.
【解答】解:(I)直线AB的方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0,
由圆O与直线AB相切,得=,
即=,①
设椭圆的半焦距为c,则e==,
∴=1﹣e2=,②
由①②得a2=4,b2=1.
故椭圆的标准方程为;
( II)k1•k2=为定值,证明过程如下:
由(I)得直线AB的方程为y=﹣x+1,
故可设直线DC的方程为y=﹣x+m,显然m≠±1.
设C(x1,y1),D(x2,y2).
联立消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0,
则△=8﹣4m2>0,解得﹣<m<,且m≠±1,
∴x1+x2=2m,x1x2=2m2﹣2.
由,,
则=,
=,
=,
==.
21.(12分)已知函数,函数g(x)=﹣2x+3.
(Ⅰ)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若﹣2≤a≤﹣1时,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤t|g(x1)﹣g(x2)|恒成立,求实数t的最小值.
【解答】解:(I),其定义域为为(0,+∞),
=.
(1)当a≤0时,F'(x)≥0,函数y=F(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)当a>0时,令F'(x)>0,解得;令F'(x)<0,解得.
故函数y=F(x)在上单调递增,在上单调递减.
(II)由题意知t≥0.,
当﹣2≤a≤﹣1时,函数y=f(x)单调递增,不妨设1≤x1≤x2≤2,
又函数y=g(x)单调递减,所以原问题等价于:当﹣2≤a≤﹣1时,
对任意1≤x1≤x2≤2,不等式f(x2)﹣f(x1)≤t[g(x1)﹣g(x2)]恒成立,
即f(x2)+tg(x2)≤f(x1)+tg(x1)对任意﹣2≤a≤﹣1,1≤x1≤x2≤2恒成立.
记h(x)=f(x)+tg(x)=lnx﹣+(1﹣2t)x+3t,
则h(x)在[1,2]上单调递减.得对任意a∈[﹣2,﹣1],x∈[1,2]恒成立.
令,a∈[﹣2,﹣1],则2t≤0在x∈(0,+∞)上恒成立.
则2t﹣1≥(2x+)max,而y=2x+在[1,2]上单调递增,
所以函数y=2x+在[1,2]上的最大值为.
由2t﹣1,解得t.
故实数t的最小值为.
选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,且直线l与曲线C交于P,Q两点.
(Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)把直线l与x轴的交点记为A,求|AP|•|AQ|的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵直线l的参数方程是(t为参数),
∴直线l消去参数t,得直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0,
∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,
∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12.
(II)解法一:在x﹣y﹣1=0中,令y=0,得x=1,则A(1,0),
联立,消去y,得7x2﹣8x﹣8=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),其中x1<x2,则有x1+x2=,x1x2=﹣.
|AP|=|x1﹣1|=﹣(x1﹣1),
|AQ|=|x2﹣1|=(x2﹣1),
故|AP|•|AQ|=﹣2(x1﹣1)(x2﹣1)=﹣2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=.
解法二:把,
代入3x2+4y2=12,得14t2+6﹣9=0,
则t1t2=﹣,则|AP|•|AQ|=(﹣2t1)•(2t2)=﹣4t1t2=.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数.
(Ⅰ)当m=0时,求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函数f(x)≤5在x∈[1,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当m=0时,,
当且仅当,即x=±2时等式成立,
所以,当x=±2时,f(x)min=4.
(Ⅱ)当x∈[1,4]时,函数f(x)的最大值为5⇔在x∈[1,4]上恒成立,
⇔在x∈[1,4]上恒成立,
⇔在x∈[1,4]上恒成立,
⇔,且在x∈[1,4]上恒成立,
函数在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增.
∵,当且仅当x=2时等式成立,而在x∈[1,4]上是恒成立的.
∴2m﹣5≤4∴,即实数m的取值范围是.