• 492.50 KB
  • 2021-05-13 发布

安徽省宿州市高考数学一模试卷理科

  • 24页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2﹣x)>1},则A∩B=(  )‎ A.(2,4] B.[2,4] C.(﹣∞,0)∪[0,4] D.(﹣∞,﹣1)∪[0,4]‎ ‎2.(5分)已知复数z=1﹣i(i为虚数单位),复数为z的共轭复数,则=(  )‎ A.﹣2i B.2i C.4﹣2i D.4+2i ‎3.(5分)已知函数,执行如图所示的程序框图,输出的结果是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,M是PF1的中点,且OM⊥PF1,2|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎5.(5分)设,,,则a,b,c三个数从大到小的排列顺序为(  )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b ‎6.(5分)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在上为减函数,则θ的一个值为(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎7.(5分)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究,如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是(  )‎ A.81π B.33π C.56π D.41π ‎9.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位,所得到的函数g(x)的解析式为(  )‎ A. B.g(x)=2sin2x C. D.‎ ‎10.(5分)已知函数 ‎,g(x)=﹣f(﹣x),则方程f(x)=g(x)的解的个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x﹣2)2+y2=4,直线l:y=k(x﹣2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是(  )‎ A.|M1M3|•|M2M4| B.|FM1|•|FM4| C.|M1M2|•|M3M4| D.|FM1|•|M1M2|‎ ‎12.(5分)已知l1,l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1,P2处的切线,l1,l2分别与y轴交于点A,B,且l1与l2垂直相交于点P,则△ABP的面积的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.(5分)已知向量满足,,且,则向量与向量的夹角为   .‎ ‎14.(5分)(x﹣2y+y2)6的展开式中,x2y5的系数为   .‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于1,则a的值为   .‎ ‎16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=c,sinB+sin(A﹣C)=sin2A,若O为△ABC所在平面内一点,且O,C在直线AB的异侧,OA=2OB=2,则四边形OACB面积的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.(12分)在数列{an}中,a1=1,.‎ ‎(Ⅰ)设,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎18.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∠PDC=90°,E为棱AP的中点,且AD⊥CE.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)当直线PB与底面ABCD成30°角时,求二面角B﹣CE﹣P的余弦值.‎ ‎19.(12分)为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期、月度滚动使用,第一阶梯电量:年用电量2160度以下(含2160度),执行第一档电价0.5653元/度;第二阶梯电量:年用电量2161至4200度(含4200度),执行第二档电价0.6153元/度;第三阶梯电量:年用电量4200度以上,执行第三档电价0.8653元/度.‎ 某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,列表如表:‎ 用户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年用电量(度)‎ ‎1000‎ ‎1260‎ ‎1400‎ ‎1824‎ ‎2180‎ ‎2423‎ ‎2815‎ ‎3325‎ ‎4411‎ ‎4600‎ ‎(Ⅰ)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元?‎ ‎(Ⅱ)现要在这10户家庭中任意选取4户,对其用电情况作进一步分析,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;‎ ‎(Ⅲ)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况,现从全市居民用电户中随机地抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,离心率,O为坐标原点,圆与直线AB相切.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1•k2是否为定值?证明你的结论.‎ ‎21.(12分)已知函数,函数g(x)=﹣2x+3.‎ ‎(Ⅰ)判断函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若﹣2≤a≤﹣1时,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤t|g(x1)﹣g(x2)|恒成立,求实数t的最小值.‎ ‎ ‎ 选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,且直线l与曲线C交于P,Q两点.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)把直线l与x轴的交点记为A,求|AP|•|AQ|的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当m=0时,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)≤5在x∈[1,4]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2﹣x)>1},则A∩B=(  )‎ A.(2,4] B.[2,4] C.(﹣∞,0)∪[0,4] D.(﹣∞,﹣1)∪[0,4]‎ ‎【解答】解:A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4},‎ B={x|log2(x2﹣x)>1}={x|x2﹣x>2}={x|x>2或x<﹣1},‎ 则A∩B={x|2<x≤4},‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知复数z=1﹣i(i为虚数单位),复数为z的共轭复数,则=(  )‎ A.﹣2i B.2i C.4﹣2i D.4+2i ‎【解答】解:由z=1﹣i,得,‎ 则==.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知函数,执行如图所示的程序框图,输出的结果是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S=++…+的值,‎ 可得:S=++…+‎ ‎=(1﹣)+()+…+(﹣)=1﹣=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,M是PF1的中点,且OM⊥PF1,2|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【解答】解:P为双曲线左支上的一点,‎ 则由双曲线的定义可得,|PF2|﹣|PF1|=2a,‎ 由|PF2|=2|PF1|,则|PF2|=4a,|PF1|=2a,‎ ‎∵M是PF1的中点,且OM⊥PF1‎ ‎∴由△PF1F2为直角三角形,则|PF2|2+|=|PF2|2,=|F1F2|2.‎ ‎∴5a2=c2‎ 即有e=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)设,,,则a,b,c三个数从大到小的排列顺序为(  )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b ‎【解答】解:b===>ln=ln=a,‎ a=>=c.‎ ‎∴b>a>c.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在上为减函数,则θ的一个值为(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+)为奇函数,‎ 故有θ+=kπ,‎ 即:θ=kπ﹣(k∈Z),可淘汰A、C选项,‎ 然后分别将B和C选项代入检验,‎ 易知当θ=时,‎ f(x)=﹣2sin2x其在区间[﹣,0]上递减,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,‎ 基本事件总数n==90,‎ 每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36,‎ ‎∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究,如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积是(  )‎ A.81π B.33π C.56π D.41π ‎【解答】解:由三视图还原原几何体如图:‎ 该几何体为四棱锥,下底面ABCD是边长为4的正方形,侧面PAD为等腰三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.‎ 棱锥的高为1,设三角形PAD的外心为G,则=2PG,‎ ‎∴PG=.再设该四棱锥外接球的半径为R,则 则该几何体的外接球的表面积为.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位,所得到的函数g(x)的解析式为(  )‎ A. B.g(x)=2sin2x C. D.‎ ‎【解答】解:由题设图象知,A=2,周期T=4(x0+π﹣x0)=4π,‎ ‎∴ω==.‎ ‎∵点(0,1)在函数图象上,‎ ‎∴2sin(φ)=1,即sin(φ)=.‎ 又∵0<φ<,‎ ‎∴φ=.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+),将图象横坐标缩短到原来的,可得2sin(2x+),‎ 再向右平移个单位,可得2sin[2(x﹣)+]=2sin(2x),‎ 即 g(x)=2sin(2x),‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知函数,g(x)=﹣f(﹣x),则方程f(x)=g(x)的解的个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【解答】解:函数的图象如图所示,‎ 由g(x)=﹣f(﹣x),可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称,‎ 作出y=g(x)的图象,‎ 可得y=f(x)和y=g(x)的图象有4个交点,‎ 则方程f(x)=g(x)的解的个数为4.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x﹣2)2+y2=4,直线l:y=k(x﹣2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是(  )‎ A.|M1M3|•|M2M4| B.|FM1|•|FM4| C.|M1M2|•|M3M4| D.|FM1|•|M1M2|‎ ‎【解答】解:分别设M1,M2,M3,M4四点横坐标为x1,x2,x3,x4,‎ 由y2=8x可得焦点F(2,0),准线 l0:x=﹣2.‎ 由定义得:|M1F|=x1+2,‎ 又∵|M1F|=|M1M2|+2,‎ ‎∴|M1M2|=x1,‎ 同理:|M3M4|=x4,‎ 将y=k(x﹣2)时,代入抛物线方程,得:k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,‎ ‎∴x1x2=4,‎ ‎∴|M1M2|•|M3M4|=4‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知l1,l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1,P2处的切线,l1,l2分别与y轴交于点A,B,且l1与l2垂直相交于点P,则△ABP的面积的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ ‎【解答】解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0<x1<1<x2),‎ 当0<x<1时,f′(x)=﹣,当x>1时,f′(x)=,‎ ‎∴l1的斜率k1=﹣,l2的斜率k2=,‎ ‎∵l1与l2垂直,且x2>x1>0,‎ ‎∴k1•k2=﹣•=﹣1,即x1x2=1.‎ 直线l1:y=﹣(x﹣x1)﹣lnx1,l2:y=(x﹣x2)+lnx2.‎ 取x=0分别得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),‎ ‎|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2.‎ 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=,‎ ‎∴S△PAB=|AB|•|xP|=×2×=,‎ ‎∵函数y=x+在(0,1)上为减函数,且0<x1<1,‎ ‎∴x1+>1+1=2,则0<<,‎ ‎∴0<<1.‎ ‎∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.(5分)已知向量满足,,且,则向量与向量的夹角为  .‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴,=2‎ 又∵‎ ‎∴‎ 即 设向量与的夹角为θ 则cosθ==‎ ‎∵θ∈[0,π]‎ ‎∴θ=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(x﹣2y+y2)6的展开式中,x2y5的系数为 ﹣480 .‎ ‎【解答】解:通项公式Tr+1=,‎ 令6﹣r=2,解得r=4.‎ ‎∴T5=.‎ 又(y2﹣2y)4=(y2)4﹣•2y+﹣+,‎ ‎∴x2y5的系数为×(﹣•23)=﹣480.‎ 故答案为:﹣480.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于1,则a的值为 1 .‎ ‎【解答】解:当a<0时,不等式组所表示的平面区域,‎ 如图中的M,一个无限的角形区域,面积不可能为2,‎ 故只能a≥0,‎ 此时不等式组所表示的平面区域如图中的N,区域为三角形区域,‎ 若这个三角形的面积为1,‎ 则AB=2,即点B的坐标为(1,2),‎ 代入y=ax+1得a=1.‎ 故答案为:1;‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=c,sinB+sin(A﹣C)=sin2A,若O为△ABC所在平面内一点,且O,C在直线AB的异侧,OA=2OB=2,则四边形OACB面积的取值范围是  .‎ ‎【解答】解:根据sinB+sin(A﹣C)=sin2A,可得sin(A+C)+sin(A﹣C)=sin2A,‎ 可得2sinAcosC=2sinAcosA,即cosC=cosA,那么b=c=a,三角形△ABC时等边三角.‎ 由OA=2OB=2,四边形OACB面积S=AO•OB•sin∠AOB+bcsinA,‎ 则四边形OACB面积S=+sin∠AOB=(5﹣4cos∠AOB)+sin∠AOB=sin∠AOB﹣cos∠AOB ‎=2sin(∠AOB﹣)‎ ‎∵0<∠AOB<π ‎∴<∠AOB﹣‎ 那么:<2sin(∠AOB﹣)≤2‎ ‎∴OACB面积的取值范围是 故答案为:‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~‎ ‎21题为必考题,每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.(12分)在数列{an}中,a1=1,.‎ ‎(Ⅰ)设,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(I)由已知有 ‎∴,又b1=a1=1,‎ 利用累差叠加即可求出数列{bn}的通项公式:‎ ‎∴(n∈N*);‎ ‎(II)由(I)知,‎ ‎∴‎ 而,‎ 令①‎ ‎①×2得②‎ ‎①﹣②得=‎ ‎=﹣2+(1﹣n)•2n+1‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∠PDC=90°,E为棱AP的中点,且AD⊥CE.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)当直线PB与底面ABCD成30°角时,求二面角B﹣CE﹣P的余弦值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:取AD的中点O,连OE,OC,CA,‎ ‎∵∠ABC=60°,∴△ACD为等边三角形,得AD⊥OC,‎ 又AD⊥CE,∴AD⊥平面COE,得AD⊥OE,‎ 又OE∥PD,∴AD⊥PD,‎ 又∠PDC=90°,∴PD⊥平面ABCD,‎ 又PD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ) 知OE⊥平面ABCD,AD⊥OC,‎ 以OC,OD,OE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 设菱形ABCD的边长为2,则,,‎ ‎∵直线PB与底面ABCD成30°角,即∠PBD=30°,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 设为平面BCE的一个法向量,‎ 则,令x1=1,则,‎ ‎∴;‎ 设为平面PCE的一个法向量,‎ 则,令x2=1,则,‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ 由题可知二面角B﹣CE﹣P的平面角为钝角,‎ 二面角B﹣CE﹣P的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期、月度滚动使用,第一阶梯电量:年用电量2160度以下(含2160度),执行第一档电价0.5653元/度;第二阶梯电量:年用电量2161至4200度(含4200度),执行第二档电价0.6153元/度;第三阶梯电量:年用电量4200度以上,执行第三档电价0.8653元/度.‎ 某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,列表如表:‎ 用户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年用电量(度)‎ ‎1000‎ ‎1260‎ ‎1400‎ ‎1824‎ ‎2180‎ ‎2423‎ ‎2815‎ ‎3325‎ ‎4411‎ ‎4600‎ ‎(Ⅰ)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元?‎ ‎(Ⅱ)现要在这10户家庭中任意选取4户,对其用电情况作进一步分析,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;‎ ‎(Ⅲ)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况,现从全市居民用电户中随机地抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.‎ ‎【解答】解:(I)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度,‎ 第三档电价比第一档电价多0.3元/度,‎ 编号为10的用电户一年的用电量是4600度,‎ 则该户本年度应交电费为:‎ ‎4600×0.5653+(4200﹣2160)×0.05+(4600﹣4200)×0.3=2822.38元.‎ ‎(II)设取到第二阶梯电量的用户数为X,‎ 可知第二阶梯电量的用户有4户,则X可取0,1,2,3,4.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故X的分布列是:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以.‎ ‎(III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,‎ 满足X~B(10,),可知(k=0,1.2.3.…10),‎ ‎∵抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,‎ ‎∴,解得,∵k∈N*‎ 所以当k=4时,概率最大,所以k=4.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,离心率,O为坐标原点,圆与直线AB相切.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1•k2是否为定值?证明你的结论.‎ ‎【解答】解:(I)直线AB的方程为+=1,即bx+ay﹣ab=0,‎ 由圆O与直线AB相切,得=,‎ 即=,①‎ 设椭圆的半焦距为c,则e==,‎ ‎∴=1﹣e2=,②‎ 由①②得a2=4,b2=1.‎ 故椭圆的标准方程为;‎ ‎( II)k1•k2=为定值,证明过程如下:‎ 由(I)得直线AB的方程为y=﹣x+1,‎ 故可设直线DC的方程为y=﹣x+m,显然m≠±1.‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2).‎ 联立消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0,‎ 则△=8﹣4m2>0,解得﹣<m<,且m≠±1,‎ ‎∴x1+x2=2m,x1x2=2m2﹣2.‎ 由,,‎ 则=,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎==.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数,函数g(x)=﹣2x+3.‎ ‎(Ⅰ)判断函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若﹣2≤a≤﹣1时,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)﹣f(x2)|≤t|g(x1)﹣g(x2)|恒成立,求实数t的最小值.‎ ‎【解答】解:(I),其定义域为为(0,+∞),‎ ‎=.‎ ‎(1)当a≤0时,F'(x)≥0,函数y=F(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ ‎(2)当a>0时,令F'(x)>0,解得;令F'(x)<0,解得.‎ 故函数y=F(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(II)由题意知t≥0.,‎ 当﹣2≤a≤﹣1时,函数y=f(x)单调递增,不妨设1≤x1≤x2≤2,‎ 又函数y=g(x)单调递减,所以原问题等价于:当﹣2≤a≤﹣1时,‎ 对任意1≤x1≤x2≤2,不等式f(x2)﹣f(x1)≤t[g(x1)﹣g(x2)]恒成立,‎ 即f(x2)+tg(x2)≤f(x1)+tg(x1)对任意﹣2≤a≤﹣1,1≤x1≤x2≤2恒成立.‎ 记h(x)=f(x)+tg(x)=lnx﹣+(1﹣2t)x+3t,‎ 则h(x)在[1,2]上单调递减.得对任意a∈[﹣2,﹣1],x∈[1,2]恒成立.‎ 令,a∈[﹣2,﹣1],则2t≤0在x∈(0,+∞)上恒成立.‎ 则2t﹣1≥(2x+)max,而y=2x+在[1,2]上单调递增,‎ 所以函数y=2x+在[1,2]上的最大值为.‎ 由2t﹣1,解得t.‎ 故实数t的最小值为.‎ ‎ ‎ 选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,且直线l与曲线C交于P,Q两点.‎ ‎(Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)把直线l与x轴的交点记为A,求|AP|•|AQ|的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵直线l的参数方程是(t为参数),‎ ‎∴直线l消去参数t,得直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0,‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12.‎ ‎(II)解法一:在x﹣y﹣1=0中,令y=0,得x=1,则A(1,0),‎ 联立,消去y,得7x2﹣8x﹣8=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),其中x1<x2,则有x1+x2=,x1x2=﹣.‎ ‎|AP|=|x1﹣1|=﹣(x1﹣1),‎ ‎|AQ|=|x2﹣1|=(x2﹣1),‎ 故|AP|•|AQ|=﹣2(x1﹣1)(x2﹣1)=﹣2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=.‎ 解法二:把,‎ 代入3x2+4y2=12,得14t2+6﹣9=0,‎ 则t1t2=﹣,则|AP|•|AQ|=(﹣2t1)•(2t2)=﹣4t1t2=.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当m=0时,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)≤5在x∈[1,4]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当m=0时,,‎ 当且仅当,即x=±2时等式成立,‎ 所以,当x=±2时,f(x)min=4.‎ ‎(Ⅱ)当x∈[1,4]时,函数f(x)的最大值为5⇔在x∈[1,4]上恒成立,‎ ‎⇔在x∈[1,4]上恒成立,‎ ‎⇔在x∈[1,4]上恒成立,‎ ‎⇔,且在x∈[1,4]上恒成立,‎ 函数在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增.‎ ‎∵,当且仅当x=2时等式成立,而在x∈[1,4]上是恒成立的.‎ ‎∴2m﹣5≤4∴,即实数m的取值范围是.‎ ‎ ‎