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- 2021-05-13 发布
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2019 高考数学二轮练习精品教学案专项 03 数列(教师版)
【2018 考纲解读】
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,
并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答
简单的问题.
3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决
简单的问题.
【知识络构建】
【重点知识整合】
一、等差数列与等比数列
1.Sn 与 an 的关系
在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an,从而 an=Error!
2.等差数列性质
如果数列{an}是公差为 d 的等差数列,则
(1)an=a1+(n-1)d,Sn=na1+nn-1
2 d=na1+an
2 .
(2)对正整数 m,n,p,q,am+an=ap+aq⇔m+n=p+q,am+an=2ap⇔m+n=2p.
3.等比数列性质
如果数列{an}是公比为 q 的等比数列,则
(1)an=a1qn-1,Sn=Error!
(2)对正整数 m,n,p,q,aman=apaq⇔m+n=p+q,aman=a2p⇔m+n=2p.
4.等差、等比数列 Sn 的性质
若等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列;等比数列的
前 n 项和为 Sn,则在公比不等于-1 时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.
5.等差、等比数列单调性
等差数列的单调性由公差 d 的范围确定,等比数列的单调性由首项和公比的范围确定.
二、数列求和及数列应用
1.常用公式
等差数列的前 n 项和,等比数列的前 n 项和,
1+2+3+…+n=nn+1
2
,
12+22+32+…+n2=nn+12n+1
6
,
13+23+…+n3=[nn+1
2 ]2.
3.数学求和的基本方法
公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.
4.数列的应用
等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型.
【高频考点突破】
考点一 等差数列和等比数列的基本运算
等差数列 等比数列
通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0)
前 n 项和
Sn=na1+an
2
=na1+nn-1
2 d
(1)q≠1,Sn=a11-qn
1-q
=a1-anq
1-q
(2)q=1,Sn=na1
例 1、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn·已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn·
解:设{an}的公比为 q,
由题设得Error!
解得Error!或Error!
当 a1=3 时,q=2 时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);
当 a1=2,q=3 时,an=2×3n-1,Sn=3n-1.
【变式探究】Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6, a4=1,则 a5=________.
考点二 等差、等比数列的判定和证明
数列{an}是等差或等比数列的证明方法:
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:
①利用定义,证明 an+1-an(n∈N)为常数;
②利用中项性质,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法:
①利用定义,证明an+1
an (n∈N)为一常数;
②利用等比中项,即证明 a2n=an-1an+1(n≥2).
例 2、已知数列{an}和{bn}满足 a1=m,an+1=λan+n,bn=an-2n
3
+4
9.
(1)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 λ,数列{an}一定不是等差数列;
(2)当 λ=-1
2
时,试判断数列{bn}是否为等比数列.
(2)
当 λ=-1
2
时,an+1=-1
2an+n,bn=an-2n
3
+4
9.
bn+1=an+1-2n+1
3
+4
9
考点三 等差、等比数列的性质
等差数列 等比数列
性质
(1)若 m、n、p、q∈N,且
m+n=p+q,
则 a
m
+a
n
=a
p
+a
q
(2)a
n
=a
m
+(n-m)d
(3)S
m
,S-S
m
,S-S,…仍成等差数列
(1)若 m、n、p、q∈N,且 m+n=p+q,
则 a
m
·a
n
=a
p
·a
q
(2)a
n
=a
m
q
n-m
(3)S
m
,S-S
m
,S-S,…仍成等比数列(S
n
≠0)
例 3、等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>|a1|”是“Sn 的最小值
为 S1,且 Sn 无最大值”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点四 数列求和
数列求和的方法技巧:
(1)转化法:
有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几
个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.
(2)错位相减法:
这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的
前 n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法:
利用通项变形,将通项分裂成两项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限
项的和.
例 4、等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,
a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n·
【变式探究】等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a23=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ 1
bn}的前 n 项和.
解:(1)设数列{an}的公比为 q.
由 a23=9a2a6 得 a23=9a24,所以 q2=1
9.
由条件可知 q>0,故 q=1
3.
考点五 数列与函数、不等式
例 5、设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an= nban-1
an-1+n-1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数 n,2an≤bn+1+1.
②当 b≠1 时,cn+ 1
1-b
=1
b(cn-1+ 1
1-b),且 c1+ 1
1-b
=1
b
+ 1
1-b
= 1
b1-b
,
{cn+ 1
1-b}是首项为 1
b1-b
,公比为1
b
的等比数列,
∴cn+ 1
1-b
= 1
b1-b·(1
b)n-1,由 n
an
+ 1
1-b
= 1
1-bbn
得 an=n1-bbn
1-bn
,
∴an=Error!.
【难点探究】
难点一 等差数列的通项、求和的性质
例 1、(1)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的
前 n 项和,n∈N,则 S10 的值为( )
A.-110 B.-90 C.90 D.110
(2)设数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a5,a13 成等比数列,则数列{an}
的前 n 项和 Sn=( )
A.n2
4
+7n
4 B.n2
3
+5n
3
C.n2
2
+3n
4 D.n2+n
【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差,在解题时根据已知条件求出这
两个量,其他的问题也就随之解决了,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方
程思想的运用.
难点二 等比数列的通项、求和的性质
例 2 (1)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N)且 a2+a4+a6=9,则 log1
3(a5+a7+
a9)的值是( )
A.-5 B.-1
5
C.5 D.1
5
(2)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3 =5,a7a8a9 =10,则 a1·a2·…·a 9 =
________.
【点评】 等比数列中有关系式an
am
=qn-m(m,n∈N),其中 q 为公比,这个关系式可以看做
推广的等比数列的通项公式,即 an=amqn-m(m,n∈N),当 m=1 时就是等比数列的通项公
式.
难点三 等差、等比数列的综合问题
例 3 、成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等
比数列{bn}中的 b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+5
4}是等比数列.
【分析】 (1)由条件可以先求得数列{bn}的第三项,进而借助等比数列的通项公式求出 bn,
(2)充分结合等比数列的定义不难证明.
【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d.
依题意,得 a-d+a+a+d=15.解得 a=5.
所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d.
依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去).
故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2.
由 b3=b1·22,即 5=b1·22,解得 b1=5
4.
所以{bn}是以5
4
为首项,2 为公比的等比数列,
其通项公式为 bn=5
4·2n-1=5·2n-3.
(2)证明:由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn=
5
41-2n
1-2
=5·2n-2-5
4
,即 Sn+5
4
=5·2n-2.
所以 S1+5
4
=5
2
,
Sn+1+5
4
Sn+5
4
=5·2n-1
5·2n-2
=2.
因此{Sn+5
4}是以5
2
为首项,公比为 2 的等比数列.
难点四 数列求和及其应用
例 4、在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n
+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn=tanan·tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
【点评】 此题考查等比数列的性质、三角函数等知识.此题两问中的方法都是值得注意的,
在第一问中采用的是倒序相乘法,这类似数列求和中的倒序相加法;第二问采用的裂项相消
法和两角差的正切公式结合在一起,这在近年来的高考试题中是不多见的,这与我们平时见
到的裂项相消法有较大的不同,但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐
项相消的问题,基本思想就是裂项.
难点五 数列应用题的解法
例 5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在 2017 年 1 月的产值都为 a 万元,甲企业
每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等,乙企业每个月的产值比前一个月的产值增
加的百分数相等,到 2017 年 1 月两个企业的产值又相等.
(1)到 2017 年 7 月,试比较甲、乙两个企业的产值的大小,并说明理由;
(2)甲企业为了提高产能,决定用 3.2 万元买一台仪器.从 2017 年 2 月 1 日投放使用,
日平均耗资(含仪器的购置费),并求日平均耗资最小时使用了多少天?
(2)设一共用了 n 天,则 n 天的平均耗资为 P(n),
则 P(n)=3.2 × 104+
(5+n+49
10 )n
2
n
=3.2 × 104
n
+ n
20
+9.9
2
,
当且仅当3.2 × 104
n
= n
20
时 P(n)取得最小值,此时 n=800,
故日平均耗资最小时使用了 800 天.
【点评】 此题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用,并与基本不等式进行交
汇.数列在实际问题中有着极为广泛的应用,数列的应用问题在高考中虽然不是主流,但并
不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。
【历届高考真题】
【2018 高考试题】
一、选择题
1.【2018 高考真题重庆理 1】在等差数列 中, , 则 的前 5 项和
=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
2.【2018 高考真题浙江理 7】设 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,
A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项
B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0[学&科&]
C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 ,均有
D. 若对任意 ,均有 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
【答案】C
【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n}是递增数
列,但是 S n>0 不成立.应选 C。
3.【2018 高考真题新课标理 5】已知 为等比数列, , ,则
( )
【答案】D
【 解 析 】 因 为 为 等 比 数 列 , 所 以 , 又 , 所 以
或 . 若 , 解 得 ,
;若 ,解得 ,仍有 ,综上
选 D.
{ }na 5 6 8a a = −
1 10a a+ =
}{ na 12 =a 54 =a }{ na
5S
nS
*Nn∈ 0>nS
*Nn∈ 0>nS
4 7 2a a+ =
( )A 7 ( )B 5 ( )C −5 ( )D −7
}{ na 87465 −== aaaa 274 =+ aa
24 74 −== aa , 42 74 =−= aa , 24 74 −== aa , 18 101 =−= aa ,
7101 −=+ aa 42 74 =−= aa , 18 110 =−= aa , 7101 −=+ aa
4. 【 2018 高 考 真 题 上 海 理 18 】 设 , , 在
中,正数的个数是( )
A.25 B.50 C.75 D.100
5.【2018 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
【答案】B
【解析】在等差数列中, 。
6.【2018 高考真题四川理 12】设函数 , 是公差为 的等差数列,
,则 ( )
A、 B、 C、 D、
25sin1 πn
nan = nn aaaS +++= 21
10021 ,,, SSS
1 11
1 11 4 8 11
11 ( )16, 882
a aa a a a s
× ++ = + = ∴ = =
( ) 2 cosf x x x= − { }na
8
π
1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a π+ +⋅⋅⋅+ = =− 51
2
3 )]([ aaaf
0 21
16
π 21
8
π 213
16
π
.
,应选 D.
7.【2018 高考真题湖北理 7】定义在 上的函数 ,如果对于任意给定
的等比数列 , 仍是等比数列,则称 为“保等比数列函数”. 现有定义在
上的如下函数:
① ; ② ; ③ ; ④ .
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为
① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
8.【2018 高考真题福建理 2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
【解析】由等差中项的性质知 ,又
9.【2018 高考真题安徽理 4】公比为 等比数列 的各项都是正数,且 ,
则 =( )
( ,0) (0, )−∞ +∞ ( )f x
{ }na { ( )}nf a ( )f x
( ,0) (0, )−∞ +∞
2( )f x x= ( ) 2xf x = ( ) | |f x x= ( ) ln | |f x x=
( )f x
2,510 33
ππ =∴=∴ aa 2 2
3 1 5[ ( )] (2 0) ( )( )2 2 4 2 4f a a a
π π π π π∴ − = × − − − +
16
13π=
52
51
3 =+= aaa 2,7 344 =−=∴= aada
3 2 { }na 3 11 16a a =
162log a
( )A 4 ( )B 5 ( )C 6 ( )D 7
10.【2018 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列
的前 100 项和为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由 ,得 ,所以 ,所以
,又
,选 A.
二、填空题
11.【2018 高考真题浙江理 13】设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。
若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=______________。
12.【2018 高考真题四川理 16】记 为不超过实数 的最大整数,例如, ,
, 。 设 为 正 整 数 , 数 列 满 足 ,
,现有下
①当 时,数列 的前 3 项依次为 5,3,2;
②对数列 都存在正整数 ,当 时总有 ;
③当 时, ;
100
101
99
101
99
100
101
100
15,5 55 == Sa 1,11 == da nnan =−+= )1(1
1
11
)1(
11
1 +−=+=
+ nnnnaa nn
101
100
101
11101
1
100
1
3
1
2
1
2
1
1
111
10110021
=−=−++−+−=+ aaaa
[ ]x x [2] 2=
[1.5] 1= [ 0.3] 1− = − a { }nx 1x a=
1
[ ]
[ ]( )2
n
n
n
ax xx n N ∗
+
+
= ∈
5a = { }nx
{ }nx k n k≥
n kx x=
1n ≥ 1nx a> −
④对某个正整数 ,若 ,则 。
【答案】①③④
【解析】当 时, , ,故①正确;同
样验证可得③④正确,②错误.
13.【2018 高考真题新课标理 16】数列 满足 ,则 的前
项和为
14. 【 2018 高 考 真 题 辽 宁 理 14 】 已 知 等 比 数 列 { an } 为 递 增 数 列 , 且
,则数列{an}的通项公式 an =______________。
15.【2018 高 考 真 题 江 西 理 12】 设 数 列{an},{bn}都 是 等 差 数 列 , 若 ,
,则 __________。
【答案】35
k 1k kx x+ ≥ [ ]nx a=
5a =
1 5x a= =
2
55 5 32x
+
= = 3
53 [ ]3[ ] 22x
+
= =
{ }na 1 ( 1) 2 1n
n na a n+ + − = − { }na
60
2
5 10 2 1,2( ) 5n n na a a a a+ += + =
711 =+ ba
2133 =+ ba =+ 55 ba
【 解 析 】 设 数 列 的 公 差 分 别 为 , 则 由 , 得
,即 ,所以 ,
所以 。
16.【2018 高考真题北京理 10】已知 等差数列 为其前 n 项和。若 ,
,则 =_______。
17.【2018 高考真题广东理 11】已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, ,则
an=____.
【答案】
【解析】由 得到 ,即 ,应为{an}是递增的等差
数列,所以 ,故 。
18.【2018 高考真题重庆理 12】 .
19.【2018 高考真题上海理 6】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比
数列,体积分别记为 ,则 。
}{},{ nn ba bd, 2133 =+ ba
21)(211 =+++ dbba 14721)(2 =−=+ db 7=+ db
35747)(41155 =×+=+++=+ dbbaba
}{ na nS
2
1
1 =a
32 aS = 2a
42
23 −= aa
12 −n
42
23 −= aa 4)1(21 2 −+=+ dd 42 =d
2=d 12 −= nan
=
−+∞→ nnnn 5
1lim
2
2
1
,,,, nVVV 21 =+++
∞→ )(lim 21 nn
VVV
【答案】 。
【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项, 为公比的等比数列,
∴ + +…+ = = ,∴ 。
20.【2018 高考真题福建理 14】数列{an}的通项公式 ,前 n 项和为 Sn,
则 S2018=___________.
三、解答题
21【2018 高考江苏 20】(16 分)已知各项均为正数的两个数列 和 满足:
, ,
(1)设 , ,求证:数列 是等差数列;
(2)设 , ,且 是等比数列,求 和 的值.
7
8
8
1
1V 2V nV
8
11
8
11
−
−
n )8
11(7
8
n
− =+++
∞→ )(lim 21 nn
VVV
7
8
{ }na { }nb
221
nn
nn
n
ba
baa
+
+=+
*Nn ∈
n
n
n a
bb +=+ 11
*Nn ∈ 2
n
n
b
a
n
n
n a
bb •=+ 21
*Nn ∈ { }na 1a 1b
(2)∵ ,∴ 。
∴ 。(﹡)
设等比数列 的公比为 ,由 知 ,下面用反证法证明
若 则 ,∴当 时, ,与(﹡)矛盾。
若 则 ,∴当 时, ,与(﹡)矛盾。
∴综上所述, 。∴ ,∴ 。
又∵ ,∴ 是公比是 的等比数列。
若 ,则 ,于是 。
又由 即 ,得 。
∴ 中至少有两项相同,与 矛盾。∴ 。
0 0n na > b >, ( ) ( )
2
22 2
2
n n
n n n n
a b a b < a b
+ ≤ + +
1 2 2
1 2n n
n
n n
a b< a
a b
+
+= ≤
+
{ }na q 0na > 0q > =1q
1,q > 2
1 2= 2aa < aq
≤
1
2logqn > a
1 1 2n
na a q >+ =
0 1,< q < 2
1 2= 1aa > a >q 1
1logqn > a
1 1 1n
na a q <+ =
=1q ( )1 *na a n N= ∈ 11 2< a ≤
1
1
22 =n
n n
n
bb ba a+ = • • ( )*n N∈ { }nb
1
2
a
1 2a ≠
1
2 1>a
1 2 3b 2
2 1 3 2, 2 0 1x c x x c c x c c= > = − + > = ⇔ < <
2 2
1 10 1 0n n n n nx x c x x c x x c+ − = − > ⇔ < < ⇔ = ≤ <
。
33.【2018 高考真题湖南理 19】(本小题满分 12 分)
已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)
=a3+a4+……+an+2,n=1,2,……
若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数
列{ an }的通项公式.
证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 ,三个数 A
(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列.
(Ⅱ)(1)必要性:若数列 是公比为q的等比数列,则对任意 ,有
由 知, 均大于0,于是
2 2
2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1)n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x+ + + + + +− = − − + − = − − + −
Nn ∗∈
{ }na Nn ∗∈
1 .n nqa a− = 0na > ( ), ( ), ( )A n B n C n
1 2 )2 3 1
1 2 1 2
( ......( ) ,( ) ... ...
nn
n n
q a a aa a aB n qA n a a a a a a
+ + + ++ + += = =+ + + + + +
2 3 1)3 4 2
2 3 1 2 3 1
( ......( ) ,( ) ... ...
nn
n n
q a a aa a aC n qB n a a a a a a
++
+ +
+ + ++ + += = =+ + + + + +
即 = = ,所以三个数 组成公比为 的等比数列.
【2017 年高考试题】
1. (2017 年 高 考 四 川 卷 理 科 8) 数 列 的 首 项 为 , 为 等 差 数 列 且
.若则 , ,则 ( )
(A)0 (B)3 (C)8 (D)11
2.(2017 年高考全国卷理科 4)设 为等差数列 的前 项和,若 ,公差 ,
,则
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
【答案】D
【解析】
应选 D。
{ }na 3 { }nb
1 ( *)n n nb a a n N+= − ∈ 3 2b = − 10 12b = 8a =
( )
( )
B n
A n
( )
( )
C n
B n
q ( ), ( ), ( )A n B n C n q
nS { }na n 1 1a = 2d =
2 24A nS S+ − = k =
2 2 1 1 1( 2 1) ( 1 1)k k k kS S a a a k d a k d+ + +− = + = + + − + + + −
12 (2 1)a k d= + + 2 1 (2 1) 2 4 4 24 5k k k= × + + × = + = ⇒ =
3. (2017 年 高 考 广 东 卷 理 科 11) 等 差 数 列 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和. 若
,则 .
5. (2017 年高考湖北卷理科 13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自下而下
各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积
为 升
5.(2017 年高考陕西卷理科 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,
相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑
出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。
【答案】2000
【解析】设树苗集中放置在第 号坑旁边,则 20 名同学返所走的路程总和为
= 即 时 .
7.(2017 年高考江苏卷 13)设 ,其中 成公比为 q 的等
比数列, 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________
{ }na
1 41, 0ka a a= + = k =
i
2[( 1) ( 2)l i i= − + − + 2 1+ + 1 2 (19 ) (20 )] 10i i+ + + + − + − ×
2( 21 210) 20i i− + × 221 399[( ) ] 202 4i= − + × 10 11i = 或 min 2000l =
7211 aaa ≤≤≤≤ 7531 ,,, aaaa
642 ,, aaa
9. (2017 年高考山东卷理科 20)(本小题满分 12 分)
等比数列 中, 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 中
的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 满足: ,求数列 的前 项和 .
【解析】(I)当 时,不合题意;
当 时,当且仅当 时,符合题意;
当 时,不合题意。
因此
所以公式 q=3,
故
(II)因为
所以
{ }na 1 2 3, ,a a a 1 2 3, ,a a a
{ }na
{ }nb ( 1)lnn n nb a a= + − { }nb 2n 2nS
1 3a =
1 2a = 2 36, 18a a= =
1 10a =
1 2 32, 6, 18,a a a= = =
12 3 .n
na −= ⋅
( 1) lnn
n n nb a a= + −
1 1
1
1
2 3 ( 1) (2 3 )
2 3 ( 1) [ln 2 ( 1)ln3]
2 3 ( 1) (ln 2 ln3) ( 1) ln3,
n n n
n n
n n n
n
n
− −
−
−
= ⋅ + − ⋅
= ⋅ + − + −
= ⋅ + − − + −
所以
16. (2017 年高考广东卷理科 20)设 数列 满足
,
求数列 的通项公式;
证明:对于一切正整数 n,
【解析】(1)由
令 ,
当
2 1 2
2 2(1 3 3 ) [ 1 1 1 ( 1) ](ln 2 ln3) [ 1 2 5 ( 1) ]ln3,n n n
nS n−= + + + + − + − + + − − + − + − + + −
0,b > { }na
1
1
1
= , ( 2)2 2
n
n
n
nbaa b a na n
−
−
= ≥+ −
{ }na
1
1 12
n
n n
ba
+
+≤ +
1
1
1 1
1 2 10, 0, .2 2
n
n
n n n
nba n na b a a n a b b a
−
− −
−= > = > = ++ −知
1
1,n
n
nA Aa b
= =
1
1 22 , n nn A Ab b −≥ = +时
2 1
12 1 1
1 2 2 2n n
n n Ab b b b
− −
− −= + + + +
2 1
2 1
1 2 2 2 .
n n
n nb b b b
− −
−= + + + +
(2)当 时,(欲证
)
,
当
综上所述
17. (2017 年高考湖北卷理科 19)(本小题满分 13 分)
已知数列 的前 n 项和为 ,且满足:
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若存在 ,使得 成等差数列,试判断:对于任意的 ,且
2b ≠
1 1
1 1
( 2) 21, ( 1) 22 2 2
n n n n n
n
n n n n n
nb b b b ba nb bb
+ +
+ +
− −= ≤ + ≤ + −− 只需证
1 1 1 1 1 2 12(2 ) (2 )( 2 2 )2
n n
n n n n n n nbb b b bb
+ + + + − − −−+ = + + + +−
1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b+ − + − − − += + + + + + + +
2 1
2 1
2 2 22 ( )22 2
n n n
n n
n n n
b b bb b b b
−
−= + + + + + + +
12 (2 2 2) 2 2 2n n n n n nb n b n b+> + + + = ⋅ = ⋅
1
1
( 2) 1.2 2
n n
n n n n
nb b ba b
+
+
−∴ = < +−
1
12 , 2 1.2
n
n n
bb a
+
+= = = +时
1
1 1.2
n
n n
ba
+
+≤ +
{ }na nS 1 1( 0), ( , , 1)n na a a a rS n N r R r+
+= ≠ = ∈ ∈ ≠ −
{ }na
k N +∈ 1 2, ,k k kS S S+ + m N +∈
,
是否成等差数列,并证明你的结论.
解析:
(Ⅱ)对于任意的 ,且 成等差数列,证明如下:
当 r=0 时,由(Ⅰ)知,
∴对于任意的 ,且 成等差数列;
当 时,
若存在 ,使得 成等差数列,则
,
即 ,
由 ( Ⅰ ) 知 , 的 公 比 r+1=—2, 于 是 对 于 任 意 的 , 且 ,
从而 , ,
即 成等差数列.
综上,对于任意的 ,且 成等差数列.
18.(2017 年高考重庆卷理科 21)(本小题满分 12 分。(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)
2m ≥
1 2, ,m m ma a a+ +
m N +∈ 1 22, , ,m m mm a a a+ +≥
{ , 1,
0, 2.n
a na n
== ≥
m N +∈ 1 22, , ,m m mm a a a+ +≥
0, 1r r≠ ≠ −
1 1 1.k k k kS S S a+ + += = + 2 1 2,k k k kS S a a+ + += + +
k N +∈ 1 2, ,k k kS S S+ +
1 2 2 ,k k kS S S+ ++ = 1 22 2 2k k k kS a a S+ +∴ + + =
2 12k ka a+ += −
2 3, , , ,na a a… … m N +∈ 2m ≥
1 2m ma a+ = − 2 4m ma a+ = 1 2 2m m ma a a+ +∴ + =
1 2, ,m m ma a a+ +
m N +∈ 1 22, , ,m m mm a a a+ +≥
设实数数列 的前 n 项和 满足
(Ⅰ)若 成等比数列,求 和
(Ⅱ)求证:对 有 。
因 ,且 ,
要证 ,由①,只要证
即证 ,即 ,此式明显成立,
因此 。
最后证, ,若不然, ,
又因 ,故 ,即 。矛盾,
24.(2017 年高考福建卷理科 16)(本小题满分 13 分)
{ }na nS ( )*
1 1n n nS a S n N+ += ∈
1 2 2, , 2a S a− 2S 3a
3k ≥
1
40 3n na a+≤ ≤ ≤
2
2
1 1 1
1 31 02 4k k ka a a− − −
− + = − + >
2
1 0ka − ≥
4
3ka ≤ 2
1
2
1 1
4
1 3
k
k k
a
a a
−
− −
≤− +
( )2 2
1 1 13 4 1k k ka a a− − −≤ − + ( )2
1 2 0ka − − ≥
( )4 33ka k≤ ≥
1k ka a+ ≤ 2
1 2 1
k
k k
k k
aa aa a+ = >− +
0ka ≥ 2
2 11
k
k k
a
a a
>− +
( )21 0ka − <
已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= 。
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若函数 在 处取得最大值,且最
大值为 a3,求函数 f(x)的解析式。
25.(2017 年高考上海卷理科 22)(18 分)已知数列 和 的通项公式分别为
, ( ),将集合 中
的元素从小到大依次排列,构成数列 。
(1)求 ;
(2)求证:在数列 中.但不在数列 中的项恰为 ;
(3)求数列 的通项公式。
解:⑴ ;
⑵ ① 任意 ,设 ,则 ,即
13
3
( ) sin(2 )( 0,0 )f x A x A pϕ ϕ π= + > < < <
6x
π=
{ }na { }nb
3 6na n= + 2 7nb n= + *n N∈ * *{ | , } { | , }n nx x a n N x x b n N= ∈ = ∈
1 2 3, , , , ,nc c c c
1 2 3 4, , ,c c c c
{ }nc { }nb 2 4 2, , , ,na a a
{ }nc
1 2 3 49, 11, 12, 13c c c c= = = =
*n N∈
2 1 3(2 1) 6 6 3 2 7n ka n n b k− = − + = + = = + 3 2k n= −
② 假设 (矛盾),∴
∴ 在数列 中.但不在数列 中的项恰为 。
⑶ ,
, ,
∵
2 1 3 2n na b− −=
2 6 6 2 7n ka n b k= + = = + ⇔
*13 2k n N= − ∈ 2 { }n na b∉
{ }nc { }nb 2 4 2, , , ,na a a
3 2 2 12(3 2) 7 6 3k kb k k a− −= − + = + =
3 1 6 5kb k− = + 2 6 6ka k= + 3 6 7kb k= +
6 3 6 5 6 6 6 7k k k k+ < + < + < +