2018年高考全国3卷理科数学试题及答案解析 13页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）‎ 理科数学 ‎（试题及答案解析）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则中元素的个数为（）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，‎ 故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2，故选B.‎ ‎2．设复数z满足，则（）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，，则，故选C.‎ ‎3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.‎ ‎4．的展开式中的系数为（）‎ A． B． C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为 ‎，则的系数为40，故选C.‎ ‎5．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①‎ 又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②‎ ‎ 由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.‎ ‎6．设函数，则下列结论错误的是（）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，‎ 如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.‎ ‎7．执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）‎ A．5‎ B．4 ‎ C．3‎ D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】程序运行过程如下表所示：‎ ‎ ‎ 初始状态 0 100 1‎ 第1次循环结束 100 2‎ 第2次循环结束 90 1 3‎ 此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D.‎ ‎8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，‎ 则圆柱体体积，故选B.‎ ‎9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.‎ ‎ 则，即 ‎ 又∵，代入上式可得 ‎ 又∵，则 ‎ ∴，故选A.‎ ‎10．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，‎ ‎∴‎ 又∵，则上式可化简为 ‎∵，可得，即 ‎∴，故选A ‎11．已知函数有唯一零点，则（）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件，，得：‎ ‎∴，即为的对称轴，‎ 由题意，有唯一零点，‎ ‎∴的零点只能为，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，画出右图．‎ 设与切于点，连接．‎ 以为原点，为轴正半轴，‎ 为轴正半轴建立直角坐标系，‎ 则点坐标为．‎ ‎∵，．‎ ‎∴．‎ ‎∵切于点．‎ ‎∴⊥．‎ ‎∴是中斜边上的高．‎ 即的半径为．‎ ‎∵在上．‎ ‎∴点的轨迹方程为．‎ 设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：‎ 而，，．‎ ‎∵‎ ‎∴，．‎ 两式相加得：‎ ‎ (其中，)‎ 当且仅当，时，取得最大值3．‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若x，y满足约束条件则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，画出可行域如图：‎ 目标函数为，则直线纵截距越大，值越小．‎ 由图可知：在处取最小值，故．‎ ‎14．设等比数列满足，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等比数列，设公比为．‎ ‎，即，‎ 显然，，‎ 得，即，代入式可得，‎ ‎．‎ ‎15．设函数则满足的x的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，即 由图象变换可画出与的图象如下：‎ 由图可知，满足的解为.‎ ‎16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与 ‎，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线与成角时，与成角；‎ ‎②当直线与成角时，与成角；‎ ‎③直线与所成角的最小值为；‎ ‎④直线与所成角的最大值为．‎ 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．‎ 不妨设图中所示正方体边长为1，‎ 故，，‎ 斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，‎ 点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．‎ 以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，‎ 为轴正方向建立空间直角坐标系．‎ 则，，‎ 直线的方向单位向量，．‎ 点起始坐标为，‎ 直线的方向单位向量，．‎ 设点在运动过程中的坐标，‎ 其中为与的夹角，．‎ 那么在运动过程中的向量，．‎ 设与所成夹角为，‎ 则．‎ 故，所以③正确，④错误．‎ 设与所成夹角为，‎ ‎.‎ 当与夹角为时，即，‎ ‎．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵．‎ ‎∴，此时与夹角为．‎ ‎∴②正确，①错误．‎ 三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 即，又，‎ ‎∴，得.‎ 由余弦定理.又∵代入并整理得，故.‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理.‎ ‎∵，即为直角三角形，‎ 则，得.‎ 由勾股定理.‎ 又，则，‎ ‎.‎ ‎18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？‎ ‎【解析】⑴易知需求量可取 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 则分布列为：‎ ‎ ⑵①当时：，此时，当时取到.‎ ‎ ②当时：‎ ‎ 此时，当时取到.‎ ‎ ③当时，‎ ‎ ‎ ‎ 此时.‎ ‎ ④当时，易知一定小于③的情况.‎ ‎ 综上所述：当时，取到最大值为. ‎ ‎19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】⑴取中点为，连接，；‎ 为等边三角形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴,即为等腰直角三角形，‎ 为直角又为底边中点 ‎∴‎ 令，则 易得：，‎ ‎∴‎ 由勾股定理的逆定理可得 即 又∵‎ 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由题意可知 即,到平面的距离相等 即为中点 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 易得：，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 则，解得 ‎，解得 若二面角为，易知为锐角，‎ 则 ‎20．（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点在圆上；‎ ‎（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．‎ ‎【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．‎ 设，，，‎ 联立：得，‎ 恒大于，，．‎ ‎∴，即在圆上．‎ ‎⑵若圆过点，则 化简得解得或 ‎①当时，圆心为，‎ ‎，，‎ 半径 则圆 ‎②当时，圆心为，‎ ‎，，‎ 半径 则圆 ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．‎ ‎【解析】⑴ ，‎ 则，且 当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；‎ 当时，‎ 当时，，则在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增．‎ ‎①若，在上单调递增∴当时矛盾 ‎②若，在上单调递减∴当时矛盾 ‎③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意 综上所述．‎ ‎⑵ 当时即 则有当且仅当时等号成立 ‎∴，‎ 一方面：，‎ 即．‎ 另一方面：‎ 当时，‎ ‎∵，，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的 参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程：‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为与C的交点，求M的极径．‎ ‎【解析】⑴将参数方程转化为一般方程 ‎ ……①‎ ‎ ……②‎ ①②消可得：‎ 即的轨迹方程为；‎ ⑵将参数方程转化为一般方程 ‎ ……③‎ 联立曲线和 解得 由解得 即的极半径是．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎【解析】⑴可等价为.由可得：‎ ‎①当时显然不满足题意；‎ ‎②当时，，解得；‎ ‎③当时，恒成立.综上，的解集为.‎ ⑵不等式等价为，‎ 令，则解集非空只需要.‎ 而.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，；‎ ‎③当时，.‎ 综上，，故.‎