高考数学复习讲练19直线平面简单几何体二 6页

个性化教学辅导教案 学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 ‎ 姓名 年级 性别 ‎ ‎ 教学课题 ‎ 直线、平面、简单几何体（二）‎ 教学 目标 立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.‎ 重点 难点 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________‎ 第 次课 ‎ 第 讲 直线、平面、简单几何体（二）‎ 知识点一：直线和平面垂直 ‎1.直线和平面垂直 ‎(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么就说直线和平面互相垂直.记作:‎ ‎ ‎ ‎(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.‎ 即 ‎ ‎(3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即 ‎ ‎2. 三垂线定理 ‎(1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．注：垂线段比任何一条斜线段短． ‎ ‎⑵三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 即 ‎ 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.即 ‎ ‎ ‎ ‎3.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．‎ 注：①最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．即（为最小角，如图）其中q1为斜线OA与平面a所成角，即为∠OAB，q2为OA射影AB与a内直线AC所成的角，q为∠OAC.显然，q>q1，q>q2．‎ ‎②一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是的角，可见，直线和平面所成的角的范围是．‎ ‎③直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.‎ ‎④三垂线定理及其逆定理在证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线等非常有用.‎ ‎⑤垂直转化:‎ ‎【例1】等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为( ) ‎ ‎(A) (B) (C)1 (D)‎ ‎【例2】命题:（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线;（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线;（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角.以上命题正确的有（ ）‎ ‎(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 ‎【例3】如图，平面a内有一四边形ABCD，P为a外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（ ）‎ ‎(A)必有外接圆 (B)必有内切圆 (C)既有内切圆又有外接圆 (D)必是正方形 ‎【例4】如图，PA⊥⊙O所在平面，AB为底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，∠CAB=a，∠PBA=θ，∠CPB=b，则（ ）‎ ‎（A)cosθ·sina=sinb (B)sinθ·sinb=sina (C)cosθ·cosa=cosb (D)cosθ·sina=cosb ‎【例5】如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，∠ACB=90o.则图中Rt△的个数为（ ）‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎【例6】下列四个命题：① l∥m,m∥n,n⊥l⊥； ② l∥m,m⊥,n⊥l∥n；‎ ‎③l∥m,l⊥,m⊥； ④ l∥,m⊥l⊥m，其中错误命题的个数是（ ）‎ ‎(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 ‎【例7】下列命题中正确的是（ ）‎ (A) 过平面外一点作此平面的垂面是唯一的 ‎ (B) 过直线外一点作此直线的垂线是唯一的 ‎(C)过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的 ‎ ‎(D)过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的 ‎【例8】将正方形ABCD沿着对角线BD折成一个四面体ABCD,在下列给出的四个角度中，①30° ②60° ③90° ④120°，不可能是AC与平面BCD所成的角是 ．（把你认为正确的序号都填上）‎ ‎【例9】 如图，的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为______. ‎ ‎【例10】如图，空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直,∠PBA＝45°,∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.‎ 知识点二：二面角及平面与平面垂直 ‎1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.如图二面角 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点O为端点，在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，这两条射线OA、OB所成的角∠AOB叫做二面角的平面角．‎ 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．‎ ‎ ‎ ‎2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．即Þ。‎ ‎⑴两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．‎ 即 ‎⑵‎ 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即 注:找二面角的平面角的方法主要有：‎ ‎①定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性．‎ ‎②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．‎ ‎③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．‎ ‎④射影法：利用面积射影公式:，其中为平面角的大小，是射影的面积.此方法不必在图中画出平面角来．.‎ ‎【例11】若平面a、b互相垂直，则( )‎ ‎(A)a中的任意一条直线垂直于bb (B)a中有且只有一条直线垂直于bb ‎(C)平行于a的直线垂直于bb (D)a内垂直于交线的直线必垂直于bb ‎【例12】如图，平面a⊥平面b，a∩b=l，A∈b，B∈a，且AB与l所成的角为，A、B到l的距离分别为1、，则线段AB的长是( )‎ ‎(A)4 (B) (C) (D)‎ ‎【例13】 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，连结D1E，则二面角的正切值等于( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【例14】如图所示，四边形BCDE是正方形，AB⊥平面BCDE,则图中互相垂直的平面有( )‎ ‎(A)4对 (B)5对 (C)7对 (D) 8对 ‎【例15】一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是a，则( )‎ ‎(A)P3＞P2＞P1 (B)P3＞P2=P1 ‎ ‎(C)P3=P2＞P1 (D)P3=P2=P1‎ ‎【例16】已知平面a、b、γ，直线l、m，且，给出下列四个结论：①；②；③；④.则其中正确的个数是( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎【例17】将边长为a的正六边形ABCDEF沿AD折成二面角E—AD—C，使CE=a,则二面角E—AD—C的大小为_________.‎ ‎【例18】将椭圆所在平面沿折成60的二面角，则椭圆两个焦点F1，F2的距离=______.‎ ‎【例19】如图，矩形ABEF和正方形ABCD有公共边AB，它们所在平面成600的二面角，AB=CB=2a，BE=a，则FC= 。 ‎ ‎【例20】如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，求证：‎ ‎（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；‎ ‎（3）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A—ED—B的大小；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 课堂检测 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.‎ 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；‎ 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□‎ 课后巩固 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________‎ 签字 教学组长签字： 学习管理师:‎ 老师 课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方：‎ 老师想知道的事情：‎ 老师的建议：‎ 教案《直线、平面、简单几何体（二）》参考答案 例1.B 例2.A 例3.B 例4.A 例5.A 例6.A 例7.C 例8.③④ 例9. ‎ 例10. 分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.‎ 解 ∵ PA⊥AB,∴∠APB＝90°在RtΔAPB中,∵∠ABP＝45°,设PA＝a,则PB＝a,AB＝a,‎ ‎∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝a.∵AP⊥PC,‎ ‎∴在RtΔAPC中，AC＝＝＝2a ‎(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP.‎ ‎∠CBP是CB与平面PAB所成的角∵∠PBC＝60°,∴BC与平面PBA的角为60°.‎ ‎(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝AB＝2a.∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面PCM.‎ 说明:要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.‎ 例11.D 例12. C 例13.B 例14.C 例15.D 例16.C 例17. 例18. 例19. ‎ 例20. (1)∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD为正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，∴AC⊥平面PBD， ‎ 又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD .‎ ‎（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC⊥平面PBD，‎ ‎∴PC在平面PBD内的射影是PO，∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角， ‎ ‎∵PD=AD,∴在Rt△PDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，‎ OC=AC= CD，∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.即PC与平面PBD所成的角为30°. ‎ ‎（3）在平面PBD内作DE⊥PO交PB于点E，连AE，则PC⊥平面ADE.以下证明：‎ 由（1）知，AC⊥平面PBD，∴AC⊥DE，又PO、AC交于点O，∴DE⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥PC，（或用三垂线定理证明）而PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥CD，‎ ‎∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，∴PC⊥平面ADE，由AC⊥平面PBD，‎ ‎∴过点O作OF⊥DE于F，连AF，由三垂线定理可得，AF⊥DE，∴∠OFA是二面角A—ED—B的平面角， 设PD=AD=a，在Rt△PDC中，求OF=a,而AO=a,∴在Rt△AOF中，∠OFA=60°，即所求的二面角A—ED—B为60°.‎