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  • 2021-05-13 发布

北京2014高考数学压轴卷理含解析

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‎2014北京市高考压轴卷 理科数学 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知,其中是实数,是虚数单位,则的共轭复数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知函数,,且,,,则的值为 A.正 B.负 C.零 D.可正可负 ‎3.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为( )‎ ‎ ‎ A.4+ B.4+ C.4+ D.4+‎ ‎4.如图所示为函数的部分图像,其中A,B两点之间的距离为5,那么( )‎ A.-1 B. ‎ C. D.1‎ ‎5.(5分)已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β,有下列命题:‎ ‎①若m⊥n,m⊥α,则n∥α; ‎ ‎②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β; ‎ ‎③若m、n是两条异面直线,mα,nβ,m∥β,n∥α,则α∥β; ‎ ‎④若α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,则n⊥α.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ ‎3‎ D.‎ ‎4‎ ‎6.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为 A.     B.      C.      D.‎ ‎7.已知F1(﹣c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点且,则此椭圆离心率的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1﹣x),且x∈[0,1]时,,则方程在区间[﹣3,3]上的根的个数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ ‎4‎ C.‎ ‎3‎ D.‎ ‎2‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎9.已知集合,若,则实数的值为________________.‎ ‎10.已知如图所示的流程图(未完成),设当箭头a指向①时输出的结果S=m,当箭头a指向②时,输出的结果S=n,求m+n的值.‎ ‎11.若是等差数列的前项和,且,则的值为 . ‎ ‎12.展开式中有理项共有    项.‎ ‎13.在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是_______‎ ‎14.设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a=  .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎15.已知向量.记 ‎ (I)求的周期;‎ ‎(Ⅱ)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(‎2a—c)B=b, 若,试判断ABC的形状. ‎ ‎16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中,经统计得到如下2×2列联表:(单位:人)‎ 篮球 排球 总计 男同学 ‎16‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ ‎(Ⅰ)据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关?‎ ‎(Ⅱ)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”.‎ ‎①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率;‎ ‎②设乙、丙两人中被抽中的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).‎ 下面临界值表供参考:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式:‎ 命题意图:考查分类变量的独立性检验,条件概率,随机变量的分布列、数学期望等,中等题.‎ ‎17.已知正四棱柱中,. ‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得平面平面,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.已知椭圆的左右焦点分别为,点为短轴的一个端点,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为.‎ 求证: 为定值.‎ ‎19.已知数列的各项均为正数,记,,‎ ‎ .‎ ‎(Ⅰ)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.‎ ‎(Ⅱ)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎20.已知函数().(Ⅰ)当时,求的图象在处的切线方程;(Ⅱ)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,‎ 求证:(其中是的导函数).‎ ‎2014北京市高考压轴卷数学理word版参考答案 ‎1. 【答案】D ‎【解析】故选D.‎ ‎2. 【答案】B ‎【解析】∵,∴函数在R上是减函数且是奇函数,‎ ‎∵,∴,∴,∴,∴,‎ 同理:,,∴.‎ ‎3. 【答案】A ‎【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分,所以该几何体的体积为.故选A.‎ ‎4. 【答案】A. ‎ ‎【解析】‎ ‎5. 【答案】C ‎【解析】①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误 ‎②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确 ‎③过直线m作平面γ交平面β与直线c,‎ ‎∵m、n是两条异面直线,∴设n∩c=O,‎ ‎∵m∥β,mγ,γ∩β=c∴m∥c,‎ ‎∵mα,cα,∴c∥α,‎ ‎∵nβ,cβ,n∩c=O,c∥α,n∥α ‎∴α∥β;故③正确 ‎④由面面垂直的性质定理:∵α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,∴n⊥α.故④正确 故正确命题有三个,‎ 故选C ‎6. 【答案】C.‎ ‎【解析】由,得:,即,令,则当时,,即在 是减函数,  ,,,‎ 在是减函数,所以由得,,即,故选 ‎7. 【答案】C.‎ ‎【解析】设P(m,n ),=(﹣c﹣m,﹣n)•(c﹣m,﹣n)=m2﹣c2+n2,‎ ‎∴m2+n2=‎2c2,n2=‎2c2﹣m2 ①.‎ 把P(m,n )代入椭圆得 b‎2m2‎+a2n2=a2b2 ②,‎ 把①代入②得 m2=≥0,∴a2b2≤‎2a2c2,‎ ‎ b2≤‎2c2,a2﹣c2≤‎2c2,∴≥. ‎ 又 m2≤a2,∴≤a2,∴≤0,‎ a2﹣‎2c2≥0,∴≤.‎ 综上,≤≤,‎ 故选 C.‎ ‎8. 【答案】A.‎ ‎【解析】由f(1+x)=f(1﹣x)可得函数f(x)的图象关于x=1对称,‎ 方程在区间[﹣3,3]根的个数等价于f(x)与y=图象的交点的个数,‎ 而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到,‎ 作出它们的图象如图:‎ 可得两函数的图象有5个交点,‎ 故选A ‎9. 【答案】a=-1.‎ ‎【解析】若a-3=-3,则a=0,此时:‎ ‎ ,,与题意不符,舍 ‎ ‚若‎2a-1=-3,则a=-1,此时:‎ ‎ ,,a=-1‎ ‎ ƒ若a2+1=-3,则a不存在 ‎ 综上可知:a=-1‎ ‎10. 【答案】20.‎ ‎【解析】当箭头指向①时,计算S和i如下.‎ i=1,S=0,S=1;‎ i=2,S=0,S=2;‎ i=3,S=0,S=3;‎ i=4,S=0,S=4;‎ i=5,S=0,S=5;‎ i=6结束.‎ ‎∴S=m=5.‎ 当箭头指向②时,计算S和i如下.‎ i=1,S=0, S=1;‎ i=2,S=3;‎ i=3,S=6;‎ i=4,S=10;‎ i=5,S=15;‎ i=6结束.‎ ‎∴S=n=15.‎ ‎∴m+n=20.‎ ‎11. 【答案】44 ‎ ‎【解析】由,解得,又由 ‎12. 【答案】3.‎ ‎【解析】展开式通项公式为Tr+1==‎ 若为有理项时,则为整数,‎ ‎∴r=0、6、12,故展开式中有理项共有3项,‎ 故答案为:3‎ ‎13.【答案】4.‎ ‎【解析】设过坐标原点的一条直线方程为,因为与函数的图象交于P、Q 两点,所以,且联列解得,所以 ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】(1)a=1时,代入题中不等式明显不成立.‎ ‎(2)a≠1,构造函数y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x 2﹣ax﹣1,它们都过定点P(0,﹣1).‎ 考查函数y1=(a﹣1)x﹣1:令y=0,得M(,0),‎ ‎∴a>1;‎ 考查函数y2=x 2﹣ax﹣1,显然过点M(,0),代入得:,‎ 解之得:a=,或a=0(舍去).‎ 故答案为:‎ ‎15. 【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎(I) ‎ ‎(Ⅱ 根据正弦定理知: ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ∴ 或或 ‎ 而,所以,因此ABC为等边三角形.……………12分 ‎16. 【解析】‎ ‎(Ⅰ)由表中数据得K2的观测值 k≈4.582>3.841. ……2分 所以,据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.……4分 ‎(Ⅱ)①由题可知在“排球小组”的18位同学中,要选取3位同学.‎ 方法一:令事件A为“甲被抽到”;事件B为“乙丙被抽到”,则 P(A∩B),P(A).‎ 所以P(B|A) . ……7分 方法二:令事件C为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”,‎ 则P(C).‎ ‎②由题知X的可能值为0,1,2.‎ 依题意P(X0);P(X1);P(X2). ‎ 从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ……10分 于是E(X)0×+1×+2×. ……12分 ‎17. 【解析】证明:(Ⅰ)因为为正四棱柱,‎ 所以平面,且为正方形. ………1分 因为平面,‎ ‎ 所以. ………2分 ‎ 因为,‎ ‎ 所以平面. ………3分 因为平面,‎ 所以. ………4分 ‎(Ⅱ) 如图,以为原点建立空间直角坐标系.则 ‎ ………5分 ‎ 所以. ‎ ‎ 设平面的法向量.‎ ‎ 所以 .即……6分 ‎ 令,则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 由(Ⅰ)可知平面的法向量为 . ……7分 ‎ 所以. ……8分 ‎ 因为二面角为钝二面角,‎ 所以二面角的余弦值为. ………9分 ‎(Ⅲ)设为线段上一点,且.‎ ‎ 因为.‎ 所以. ………10分 即.‎ 所以. ………11分 设平面的法向量.‎ 因为,‎ ‎ ‎ ‎ 所以 .即. ………12分 ‎ 令,则.‎ ‎ 所以. ………13分 若平面平面,则.‎ 即,解得.‎ 所以当时,平面平面. ………14分 ‎18. 【解析】(Ⅰ)由条件…………2分 故所求椭圆方程为. …………4分 ‎(Ⅱ)设过点的直线方程为:. …………5分 由可得: …………6分 因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,即恒成立.‎ 设点,则 ‎. …………8分 因为直线的方程为:,‎ 直线的方程为:, ………9分 令,可得,,‎ 所以点的坐标. ………10分 直线的斜率为 ‎ …………12分 ‎ ‎ 所以为定值. …………13分 ‎19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意,三个数是等差数列,‎ 所以. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分 所以数列是首项为1,公差为4的等差数列. ………4分 所以. ………5分 ‎(Ⅱ)(1)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则 ‎    . ………6分 所以得 ‎ 即. ………7分 ‎   因为当时,由可得, ………8分 所以.‎ 因为,‎ 所以. ‎ 即数列是首项为,公比为的等比数列, ………9分 ‎(2)必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有 ‎. ………10分 因为,‎ 所以均大于.于是 ‎     ………11分 ‎     ………12分 即==,所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎………13分 综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列. ………14分 ‎20. 【解析】(Ⅰ)当时,,,切点坐标为,‎ 切线的斜率,则切线方程为,即. 2分 ‎(Ⅱ),则,‎ ‎∵,故时,.当时,;当时,.‎ 故在处取得极大值. 4分 又,,,则,‎ ‎∴在上的最小值是. 6分 在上有两个零点的条件是解得,‎ ‎∴实数的取值范围是. 8分 ‎(Ⅲ)∵的图象与轴交于两个不同的点,‎ ‎∴方程的两个根为,则两式相减得.又,,则.‎ 下证(*),即证明,,‎ ‎∵,∴,即证明在上恒成立. 10分 ‎∵,又,∴,‎ ‎∴在上是增函数,则,从而知,‎ 故(*)式<0,即成立………….12分