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- 2021-05-13 发布
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
(1)【2017年浙江,1,4分】已知,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】取所有元素,得,故选A.
【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.
(2)【2017年浙江,2,4分】椭圆的离心率是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】,故选B.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
(3)【2017年浙江,3,4分】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1,
三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体
的体积为,故选A.
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目.
(4)【2017年浙江,4,4分】若,满足约束条件,则的取值范围是
( )
(A) (B)(C) (D)
【答案】D
【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点时取最小值4,无最大值,故选D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.
(5)【2017年浙江,5,4分】若函数在区间上的最大值是,最小值是,则( )
(A)与a有关,且与b有关 (B)与a有关,但与b无关
(C)与a无关,且与b无关 (D)与a无关,但与b有关
【答案】B
【解析】解法一:因为最值在中取,所以最值之差一定与b无关,故选B.
解法二:函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线,①当或
,即,或时,函数在区间上单调,此时,故的值与有关,与无关;②当,即时,函数在区间上递减,在上递增,且,此时,故的值与有关,与无关;③当,即时,函数在区间上递减,在上递增,且,此时,故的值与有关,与无关.综上可得:的值与有关,与无关,故选B.
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.
(6)【2017年浙江,6,4分】已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由,可知当时,有,即,反之,若,则,所以“”是“”的充要条件,故选C.
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题.
(7)【2017年浙江,7,4分】函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】解法一:由当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,则由导函数 的图象可知:先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,,故选D.
解法二:原函数先减再增,再减再增,且位于增区间内,故选D.
【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题.
(8)【2017年浙江,8,4分】已知随机变量满足,,.若,则( )
(A), (B),
(C), (D),
【答案】A
【解析】,
,故选A.
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.
(9)【2017年浙江,9,4分】如图,已知正四面体(所有棱长均相等的三棱锥),
分别为,,上的点,,,分别记二面角,
,的平面较为,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面的中心为.不妨设.则
,,,,,,
,,,,
.设平面的法向量为,则,可得
,可得,取平面的法向量.
则,取.同理可得:.
.∵.∴.
解法二:如图所示,连接,过点发布作垂线:,,
,垂足分别为,连接.设.则
.同理可得:c,.
由已知可得:.∴,为锐角.∴α<γ<β,故选B.
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
(10)【2017年浙江,10,4分】如图,已知平面四边形,,,,
与交于点O,记,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】∵,,,∴,∴,
由图象知,,∴,,即,故选C.
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
(11)【2017年浙江,11,4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积, .
【答案】
【解析】如图所示,单位圆的半径为1,则其内接正六边形中,是边长为1的正三角形,
所以正六边形ABCDEF的面积为.
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题.
(12)【2017年浙江,12,6分】已知,(是虚数单位)则 , .
【答案】5;2
【解析】由题意可得,则,解得,则.
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
(13)【2017年浙江,13,6分】已知多项式,则 , .
【答案】16;4
【解析】由二项式展开式可得通项公式为:,分别取和可得,令可得.
【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.
(14)【2017年浙江,14,6分】已知,,. 点为延长线上一点,,连结,则的面积是 ; .
【答案】;
【解析】取中点,中点,由题意:,中,,,.
又,,
综上可得,面积为,.
【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题.
(15)【2017年浙江,15,6分】已知向量a,b满足则的最小值是 __;最大
值是 __.
【答案】4;
【解析】解法一:设向量和的夹角为,由余弦定理有,
,则,
令,则,据此可得:
,,即的最小值为4,最大值为.
解法二记,则,如图,由余弦定理可得:,
,令,,则,
其图象为一段圆弧,如图,令,则,则直线过、
时最小为,当直线与圆弧相切时最大,由平面几
何知识易知即为原点到切线的距离的倍,也就是圆弧所在圆的半径的倍,
所以.综上所述,的最小值为4,最大值为.
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.
(16)【2017年浙江,16,4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 中不同的选法.(用数字作答)
【答案】660
【解析】解法一:由题意可得:“从8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为:种方法,其中“服务队中没有女生”的选法有种方法,则满足题意的选法有:种.
解法二:第一类,先选1女3男,有种,这4人选2人作为队长和副队有种,故有
种,第二类,先选2女2男,有种,这4人选2人作为队长和副队有
种,
故有种,根据分类计数原理共有种,故答案为:660.
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题.
(17)【2017年浙江,17,4分】已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值
范围是 .
【答案】
【解析】,分类讨论:①当时,,函数的最大值,,舍去;②当时,,此时命题成立;③当时,,则:或:,
解得:或,综上可得,实数的取值范围是.
【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
三、解答题:本大题共5题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(18)【2017年浙江,18,14分】已知函数.
(1)求的值;
(2)求的最小正周期及单调递增区间.
解:(1),.
(2)由,的最小正周期为.令,,得
,,函数的单调递增区间为.
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档.
(19)【2017年浙江,19,15分】如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
解:解法一:
(1)取的中点,连接,,∵为的重点,∴,在四边形中,
,,为中点易得,∴平面平面,
平面,平面.
(2)连结,过作与,连结,因为,所以,
易知四边形为矩形,所以,所以平面,又,
所以平面,所以,设,则,所以,
,所以,又平面,所以,所以平面
,即点到平面的距离为,也即点到平面的距离为,因为为
的中点,所以点到平面的距离为,在中,,,,由余弦定
理可得,设直线与平面所成的角为,则.
解法二:
(1)略;构造平行四边形.
(2)过作,交的延长线于点在中,设,则易知
(),解得,过作的平行线,取
,由题易得,,,,
,则 ,,,
设平面的法向量为 ,则 ,令,则,故,
设直线与平面所成的角为,则
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.
(20)【2017年浙江,20,15分】已知函数.
(1)求的导函数;
(2)求在区间上的取值范围.
解:(1).
(2)令,则,当时,,当时,,则
在处取得最小值,既最小值为0,又,则在区间上的最小值为0.
当变化时,,的变化如下表:
x
1
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
又,,,则在区间上的最大值为.
综上,在区间上的取值范围是..
【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.
(21)【2017年浙江,21,15分】如图,已知抛物线,点,,抛物线上的
点.过点作直线的垂线,垂足为.
(1)求直线斜率的取值范围;
(2)求的最大值.
解:(1)由题易得,,故,故直线斜率的取值范围为.
(2)由(1)知,,所以,设直线的斜率为,则,
,联立直线、方程可知,
故,又因为,
故,
所以,令,,
则,由于当时,
当时,故,即的最大值为.
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
(22)【2017年浙江,22,15分】已知数列满足:,.证明:当时,
(1);
(2);
(3).
解:(1)令函数,则易得在上为增函数.又,若
恒成立,又由可知,
由.所以.
(2)令,,
则,
令,则,
所以单调递增.所以,即,单调递增.
所以,
所以,.
(3),即递推得
.
由知,又由可知.
即.综上可知,.
【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运算能力,放缩能力,运算能力,属于难题.