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  • 2021-05-13 发布

高考浙江数学试题及答案word解析

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‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎(1)【2017年浙江,1,4分】已知,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】取所有元素,得,故选A.‎ ‎【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.‎ ‎(2)【2017年浙江,2,4分】椭圆的离心率是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.‎ ‎(3)【2017年浙江,3,4分】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位: ‎ cm3)是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1, ‎ 三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体 的体积为,故选A.‎ ‎【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目.‎ ‎(4)【2017年浙江,4,4分】若,满足约束条件,则的取值范围是 ‎( )‎ ‎(A) (B)(C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过点时取最小值4,无最大值,故选D.‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.‎ ‎(5)【2017年浙江,5,4分】若函数在区间上的最大值是,最小值是,则( )‎ ‎ (A)与a有关,且与b有关 (B)与a有关,但与b无关 ‎(C)与a无关,且与b无关 (D)与a无关,但与b有关 ‎【答案】B ‎【解析】解法一:因为最值在中取,所以最值之差一定与b无关,故选B.‎ 解法二:函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线,①当或 ‎,即,或时,函数在区间上单调,此时,故的值与有关,与无关;②当,即时,函数在区间上递减,在上递增,且,此时,故的值与有关,与无关;③当,即时,函数在区间上递减,在上递增,且,此时,故的值与有关,与无关.综上可得:的值与有关,与无关,故选B.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.‎ ‎(6)【2017年浙江,6,4分】已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的( )‎ ‎ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由,可知当时,有,即,反之,若,则,所以“”是“”的充要条件,故选C.‎ ‎【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题.‎ ‎(7)【2017年浙江,7,4分】函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( )‎ ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一:由当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,则由导函数 的图象可知:先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,,故选D.‎ 解法二:原函数先减再增,再减再增,且位于增区间内,故选D.‎ ‎【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎(8)【2017年浙江,8,4分】已知随机变量满足,,.若,则( )‎ ‎(A), (B),‎ ‎(C), (D),‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,故选A.‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.‎ ‎(9)【2017年浙江,9,4分】如图,已知正四面体(所有棱长均相等的三棱锥), ‎ 分别为,,上的点,,,分别记二面角, ‎ ‎,的平面较为,,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面的中心为.不妨设.则 ‎ ‎,,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎.设平面的法向量为,则,可得 ‎,可得,取平面的法向量.‎ 则,取.同理可得:.‎ ‎.∵.∴.‎ 解法二:如图所示,连接,过点发布作垂线:,,‎ ‎,垂足分别为,连接.设.则 ‎ ‎.同理可得:c,.‎ 由已知可得:.∴,为锐角.∴α<γ<β,故选B.‎ ‎【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎(10)【2017年浙江,10,4分】如图,已知平面四边形,,,,‎ 与交于点O,记,,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵,,,∴,∴,‎ 由图象知,,∴,,即,故选C.‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. ‎ ‎(11)【2017年浙江,11,4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积, .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示,单位圆的半径为1,则其内接正六边形中,是边长为1的正三角形,‎ 所以正六边形ABCDEF的面积为.‎ ‎【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题.‎ ‎(12)【2017年浙江,12,6分】已知,(是虚数单位)则 , .‎ ‎【答案】5;2‎ ‎【解析】由题意可得,则,解得,则.‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎(13)【2017年浙江,13,6分】已知多项式,则 , .‎ ‎【答案】16;4‎ ‎【解析】由二项式展开式可得通项公式为:,分别取和可得,令可得.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.‎ ‎(14)【2017年浙江,14,6分】已知,,. 点为延长线上一点,,连结,则的面积是 ; .‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】取中点,中点,由题意:,中,,,.‎ 又,,‎ 综上可得,面积为,.‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题.‎ ‎(15)【2017年浙江,15,6分】已知向量a,b满足则的最小值是 __;最大 值是 __.‎ ‎【答案】4;‎ ‎【解析】解法一:设向量和的夹角为,由余弦定理有,‎ ‎ ,则,‎ ‎ 令,则,据此可得:‎ ‎ ,,即的最小值为4,最大值为.‎ 解法二记,则,如图,由余弦定理可得:,‎ ‎,令,,则,‎ 其图象为一段圆弧,如图,令,则,则直线过、‎ 时最小为,当直线与圆弧相切时最大,由平面几 何知识易知即为原点到切线的距离的倍,也就是圆弧所在圆的半径的倍, ‎ 所以.综上所述,的最小值为4,最大值为.‎ ‎【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎(16)【2017年浙江,16,4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 中不同的选法.(用数字作答)‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】解法一:由题意可得:“从8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为:种方法,其中“服务队中没有女生”的选法有种方法,则满足题意的选法有:种.‎ 解法二:第一类,先选1女3男,有种,这4人选2人作为队长和副队有种,故有 种,第二类,先选2女2男,有种,这4人选2人作为队长和副队有 种,‎ 故有种,根据分类计数原理共有种,故答案为:660.‎ ‎【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题.‎ ‎(17)【2017年浙江,17,4分】已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值 范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,分类讨论:①当时,,函数的最大值,,舍去;②当时,,此时命题成立;③当时,,则:或:,‎ 解得:或,综上可得,实数的取值范围是.‎ ‎【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共5题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ‎ ‎(18)【2017年浙江,18,14分】已知函数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的最小正周期及单调递增区间.‎ 解:(1),.‎ ‎(2)由,的最小正周期为.令,,得 ‎,,函数的单调递增区间为.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档.‎ ‎(19)【2017年浙江,19,15分】如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,,,,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解:解法一:‎ ‎(1)取的中点,连接,,∵为的重点,∴,在四边形中,‎ ‎,,为中点易得,∴平面平面,‎ 平面,平面.‎ ‎(2)连结,过作与,连结,因为,所以,‎ 易知四边形为矩形,所以,所以平面,又,‎ 所以平面,所以,设,则,所以,‎ ‎,所以,又平面,所以,所以平面 ‎,即点到平面的距离为,也即点到平面的距离为,因为为 的中点,所以点到平面的距离为,在中,,,,由余弦定 理可得,设直线与平面所成的角为,则.‎ 解法二:‎ ‎(1)略;构造平行四边形.‎ ‎(2)过作,交的延长线于点在中,设,则易知 ‎ ‎(),解得,过作的平行线,取 ‎ ‎,由题易得,,,, ‎ ‎,则 ,,,‎ 设平面的法向量为 ,则 ,令,则,故,‎ 设直线与平面所成的角为,则 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.‎ ‎(20)【2017年浙江,20,15分】已知函数.‎ ‎(1)求的导函数;‎ ‎(2)求在区间上的取值范围.‎ 解:(1). ‎ ‎(2)令,则,当时,,当时,,则 在处取得最小值,既最小值为0,又,则在区间上的最小值为0.‎ 当变化时,,的变化如下表:‎ x ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 又,,,则在区间上的最大值为.‎ 综上,在区间上的取值范围是.. ‎ ‎【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.‎ ‎(21)【2017年浙江,21,15分】如图,已知抛物线,点,,抛物线上的 点.过点作直线的垂线,垂足为.‎ ‎(1)求直线斜率的取值范围;‎ ‎(2)求的最大值.‎ 解:(1)由题易得,,故,故直线斜率的取值范围为. ‎ ‎(2)由(1)知,,所以,设直线的斜率为,则,‎ ‎,联立直线、方程可知,‎ 故,又因为,‎ 故,‎ 所以,令,,‎ 则,由于当时,‎ 当时,故,即的最大值为.‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎(22)【2017年浙江,22,15分】已知数列满足:,.证明:当时,‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ 解:(1)令函数,则易得在上为增函数.又,若 恒成立,又由可知,‎ 由.所以.‎ ‎(2)令,,‎ 则,‎ 令,则,‎ 所以单调递增.所以,即,单调递增.‎ 所以,‎ 所以,.‎ ‎(3),即递推得 ‎.‎ 由知,又由可知.‎ 即.综上可知,.‎ ‎【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运算能力,放缩能力,运算能力,属于难题.‎