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  • 2021-05-13 发布

全国统一高考数学模拟试卷理科

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‎2016年全国统一高考数学模拟试卷(理科)(新课标I)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合A={x|x≤2},,则A∩B=(  )‎ A.[1,2] B.[0,2] C.(1,2] D.[﹣1,0)‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可.‎ ‎【解答】解:由B中y=,得到,即x>1,‎ ‎∴B=(1,+∞),‎ ‎∵A=(﹣∞,2],‎ ‎∴A∩B=(1,2],‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的(  )‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】复数z=m2+mi﹣1为纯虚数,m为实数⇔,解得m即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:复数z=m2+mi﹣1为纯虚数,m为实数⇔,解得m=±1.‎ ‎∴“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.已知函数f(x)=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g(x)的图象,h(x)=cos(x+),g(x)与h(x)图象的零点重合,则m不可能的值为(  )‎ A. B. C. D.﹣‎ ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式,求得m,可得结论.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=sinx的图象向右平移m个单位后得到g(x)=sin(x﹣m)‎ ‎=cos(﹣x+m)=cos(x﹣m﹣)的图象.‎ 又h(x)=cos(x+)的图象,g(x)与h(x)图象的零点重合,‎ 故g(x)=cos(x﹣m﹣)和h(x)=cos(x+)的图象相差半个周期,‎ ‎∴=kπ﹣﹣m,即 m=kπ﹣,k∈Z,故m的值不会是,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为(  )‎ A.150 B.180 C.200 D.280‎ ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3,分别计算两种情况下的情况数目,相加可得答案.‎ ‎【解答】解:人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.‎ 若是1,1,3,则有C53×A33=60种,‎ 若是1,2,2,则有×A33=90种 所以共有150种不同的方法.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数g(x)是定义在区间[﹣3﹣m,m2﹣m]上的偶函数(m>0),且f(x)=,则f A.1 B.2 C.9 D.10‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质.‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的定义域的对称性求出m,利用函数的周期性进行转化求解即可.‎ ‎【解答】解:∵函数g(x)是定义在区间[﹣3﹣m,m2﹣m]上的偶函数(m>0),‎ ‎∴﹣3﹣m+m2﹣m=0,‎ 即m2﹣2m﹣3=0,‎ 得m=3或m=﹣1,‎ ‎∵m>0,‎ ‎∴m=3,‎ 则当x≥0时,f(x)=f(x﹣3),‎ 则f=f(0)=f(﹣3)=(﹣3)2+1=9+1=10,‎ 故选:D.‎ ‎6.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为(  )‎ A. B.3π C.4π D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径,求出棱锥的各面面积,使用体积法求出内切球半径.‎ ‎【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:‎ 其中SA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为3的正方形,SA=4.‎ ‎∴SB=SD==5,‎ ‎∴S△SAB=S△SAD=,S△SBC=S△SCD=.S底面=32=9.‎ V棱锥==12.S表面积=6×2+7.5×2+9=36.‎ 设内切球半径为r,则球心到棱锥各面的距离均为r.‎ ‎∴S表面积•r=V棱锥.∴r=1.‎ ‎∴内切球的表面积为4πr2=4π.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎7.若不等式组表示的区域Ω,不等式(x﹣)2+y2表示的区域为Γ,向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域Γ中芝麻数约为(  )‎ A.114 B.10 C.150 D.50‎ ‎【考点】几何概型;简单线性规划.‎ ‎【分析】作出两平面区域,计算两区域的公共面积,得出芝麻落在区域Γ内的概率.‎ ‎【解答】解:作出平面区域Ω如图:则区域Ω的面积为S△ABC==.‎ 区域Γ表示以D()为圆心,以为半径的圆,‎ 则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=.‎ ‎∴芝麻落入区域Γ的概率为=.‎ ‎∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,若输出的S值为﹣4,则条件框内应填写(  )‎ A.i>3? B.i<5? C.i>4? D.i<4?‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出S的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 i=1,S=10‎ 满足判断框内的条件,第1次执行循环体,s=10﹣21=8,i=2,‎ 满足判断框内的条件,第2次执行循环体,s=8﹣22=4,i=3,‎ 满足判断框内的条件,第3次执行循环体,s=4﹣23=﹣4,i=4,‎ 此时,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出的S值为﹣4,‎ 则条件框内应填写:i<4,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.已知直线:y=kx﹣k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,则m的取值范围是(  )‎ A.m≥3 B.m≤3 C.m>3 D.m<3‎ ‎【考点】曲线与方程.‎ ‎【分析】直线:y=kx﹣k+1恒过定点(1,1),利用直线:y=kx﹣k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,定点在圆内或圆上,即可得出m的取值范围.‎ ‎【解答】解:直线:y=kx﹣k+1恒过定点(1,1),‎ ‎∵直线:y=kx﹣k+1与曲线C:x2+2y2=m有公共点,‎ ‎∴12+2×12≤m,‎ ‎∴m≥3.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是正三角形,三棱往的高为,若P是△A1B1C1中心,且三棱柱的体积为,则PA与平面ABC所成的角大小是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a,过P作PO⊥平面ABC,垂足为O,则点O为底面△ABC的中心,故∠PAO即为PA与平面ABC所成角,由此能求出PA与平面ABC所成的角.‎ ‎【解答】解:由题意设底面正△ABC的边长为a,过P作PO⊥平面ABC,垂足为O,‎ 则点O为底面△ABC的中心,故∠PAO即为PA与平面ABC所成角,‎ ‎∵|OA|==,|OP|=,‎ 又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为,‎ ‎∴由直棱柱体积公式得V==,解得a=,‎ ‎∴tan∠PAO==,‎ ‎∴,‎ ‎∴PA与平面ABC所成的角为.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,已知F1、F2为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在第一象限,且满足=,()•=0,线段PF2与双曲线C交于点Q,若=5,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.y=± B.y=± C.y=± D.y=±‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】由题意,|PF1|=|F1F2|2c,|QF1|=a,|QF2|=a,由余弦定理可得=,确定a,b的关系,即可求出双曲线C的渐近线方程.‎ ‎【解答】解:由题意,()•=0,∴|PF1|=|F1F2|=2c,|QF1|=a,|QF2|=a,‎ ‎∴由余弦定理可得=,‎ ‎∴c=a,‎ ‎∴b=a,‎ ‎∴双曲线C的渐近线方程为y=x.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R),g(x)=﹣x3+x2+2x﹣6,g(x)在[1,4]上的最大值为b,当x∈[1,+∞)时,f(x)≥b恒成立,则a的取值范围(  )‎ A.a≤2 B.a≤1 C.a≤﹣1 D.a≤0‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g(x)的单调性求出g(x)在[1,4]上的最大值b,对a进行讨论判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,令fmin(x)≥b解出a的范围.‎ ‎【解答】解:g′(x)=﹣3x2+5x+2,令g′(x)=0得x=2或x=﹣.‎ 当1≤x<2时,g′(x)>0,当2<x<4时,g′(x)<0,‎ ‎∴g(x)在[1,2)上单调递增,在(2,4]上单调递减,‎ ‎∴b=g(2)=0.‎ ‎∴f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,‎ f′(x)=2x﹣a﹣=,‎ 令h(x)=2x2﹣ax﹣a,△=a2+8a.‎ ‎(1)若△=a2+8a≤0,即﹣8≤a≤0,则h(x)≥0恒成立,‎ ‎∴f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,‎ ‎∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,‎ ‎∴﹣8≤a≤0.‎ ‎(2)若△=a2+8a>0,即a<﹣8或a>0.‎ 令f′(x)=0得h(x)=0,解得x=(舍)或x=.‎ 若a<﹣8,则<0,则h(x)>0在[1,+∞)上恒成立,‎ ‎∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,‎ ‎∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,‎ ‎∴a<﹣8.‎ 若0<≤1,即0<a≤1,则h(x)>0在[1,+∞)上恒成立,‎ ‎∴f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,‎ ‎∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,‎ ‎∴0<a≤1.‎ 若>1,即a>1时,则1≤x<时,h(x)<0,当x>时,h(x)>0.‎ ‎∴1≤x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0.‎ ‎∴f(x)在[1,]上单调递减,在(,+∞)上单调递增.‎ 此时fmin(x)<f(1)=1﹣a<0,不符合题意.‎ 综上,a的取值范围是(﹣∞,1].‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号是 10 .‎ ‎【考点】简单随机抽样.‎ ‎【分析】根据随机数表,依次进行选择即可得到结论.‎ ‎【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,10,.其中第二个和第四个都是02,重复.‎ 可知对应的数值为08,02,14,07,10,‎ 则第5个个体的编号为10.‎ 故答案为:10‎ ‎ ‎ ‎14.在四边形ABCD中,AB∥CD, =0,AB=2BC=2CD=2,则在上的投影为 ﹣ .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】先建立坐标系,根据坐标的运算和向量的投影即可求出.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD, =0,AB=2BC=2CD=2,‎ 以B为坐标原点,以BA为x轴,BC为y轴,建立如图所示的坐标系,‎ ‎∴A(2,0),C(0,1),D(1,1),‎ ‎∴=(﹣1,1),=(﹣2,1),‎ ‎∴•=﹣1×(﹣2)+1×1=3,||=,‎ ‎∴在上的投影为=﹣=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎15.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,n∈N*,则b2016=  .‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,n∈N*,可得b1=1﹣a1=,bn+1==.求出b2,b3,b4,…,猜想:bn=,即可得出.‎ ‎【解答】解:∵数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,n∈N*,‎ ‎∴b1=1﹣a1=,bn+1==.‎ ‎∴b2=,b3=,b4=,…,‎ 猜想:bn=,‎ 经过验证:bn+1=成立.‎ 则b2016=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为原点,若,则双曲线的离心率为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题设知|EF|=b,|PF|=2b,|PF′|=2a,过F点作x轴的垂线l,过P点作PD⊥l,则l为抛物线的准线,‎ 据此可求出P点的横坐标,后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式,由此能求出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:∵|OF|=c,|OE|=a,OE⊥EF ‎∴|EF|=b,‎ ‎∵,‎ ‎∴E为PF的中点,|PF|=2b,‎ 又∵O为FF′的中点,‎ ‎∴PF′∥EO,‎ ‎∴|PF′|=2a,‎ ‎∵抛物线方程为y2=4cx,‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为(c,0),‎ 即抛物线和双曲线右支焦点相同,‎ 过F点作x轴的垂线l,过P点作PD⊥l,则l为抛物线的准线,‎ ‎∴PD=PF′=2a,‎ ‎∴P点横坐标为2a﹣c,设P(x,y),‎ 在Rt△PDF中,PD2+DF2=PF2,即4a2+y2=4b2,4a2+4c(2a﹣c)=4(c2﹣b2),‎ 解得e=‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.设数列{an}满足a1=2,an+1=2an﹣n+1,n∈N*,‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)由数列{an}满足a1=2,an+1=2an﹣n+1,n∈N*,变形为an+1﹣(n+1)=2(an﹣n),利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎(2)bn==,利用“裂项求和”即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵数列{an}满足a1=2,an+1=2an﹣n+1,n∈N*,‎ ‎∴an+1﹣(n+1)=2(an﹣n),‎ ‎∴数列{an﹣n}是等比数列,首项为1,公比为2.‎ ‎∴an﹣n=2n﹣1,即an=n+2n﹣1.‎ ‎(2)bn===,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn=++…++‎ ‎=‎ ‎=﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查,按照使用手机系统不同(安卓系统和IOS系统)分别随机抽取5名同学进行问卷调查,发现他们咻得红包总金额数如表所示:‎ 手机系统 一 二 三 四 五 安卓系统(元)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎9‎ IOS系统(元)‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎18‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎(1)如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”,否则为“咻得少”,请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关?‎ ‎(2)要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).‎ 下面的临界值表供参考:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 独立性检验统计量,其中n=a+b+c+d.‎ ‎【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】(1)根据题意列出2×2列联表,根据2×2列联表,代入求临界值的公式,求出观测值,利用观测值同临界值表进行比较,K2=0.4<2.706,可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关;‎ ‎(2)由题意求得X的取值0,1,2,运用排列组合的知识,可得各自的概率,求得X的分布列,由期望公式计算即可得到(X).;‎ ‎【解答】解:(1)根据题意列出2×2列联表如下:‎ 咻得多少 手机系统 咻得多 咻得少 合计 安卓 ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ IOS ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 合计 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ K2==0.4<2.706,‎ 所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)==;‎ P(X=1)==;‎ P(X=2)== ‎ 故X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴数学期望E(X),E(X)=0×+1×+2×=0.8. ‎ ‎ ‎ ‎19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:AN∥平面MEC;‎ ‎(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(I)利用CM与BN交于F,连接EF.证明AN∥EF,通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC;‎ ‎(II)对于存在性问题,可先假设存在,即假设x在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为.再通过建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,利用坐标法进行求解判断.‎ ‎【解答】解:(I)CM与BN交于F,连接EF.‎ 由已知可得四边形BCNM是平行四边形,‎ 所以F是BN的中点.‎ 因为E是AB的中点,‎ 所以AN∥EF.…‎ 又EF⊂平面MEC,AN⊄平面MEC,‎ 所以AN∥平面MEC.…‎ ‎(II)由于四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,可得DE⊥AB.‎ 又四边形ADNM是矩形,面ADNM⊥面ABCD,‎ ‎∴DN⊥面ABCD,‎ 如图建立空间直角坐标系D﹣xyz,‎ 则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),P(,﹣1,h),‎ ‎=(,﹣2,0),=(0,﹣1,h),‎ 设平面PEC的法向量为=(x,y,z).‎ 则,∴,‎ 令y=h,∴=(2h, h,),‎ 又平面ADE的法向量=(0,0,1),‎ ‎∴cos<,>===,解得h=,‎ ‎∴在线段AM上是否存在点P,当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为.‎ ‎ ‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中,E′F′两点的坐标分别为(0,),(0,﹣),动点G满足:直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣.‎ ‎(1)求动点G的轨迹方程;‎ ‎(2)过点O作两条互相垂直的射线,与(1)中的轨迹分别交于A,B两点,求△OAB面积的最小值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.‎ ‎【分析】(1)设动点G的坐标(x,y),直线E'G的斜率,直线F'G的斜率(x≠0),由直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣,能求出求动点G的轨迹方程;‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=kx+m,联立,得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)﹣12=0,由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质,结合已知能求出△OAB面积的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵,设动点G的坐标(x,y),‎ ‎∴直线E'G的斜率,直线F'G的斜率(x≠0),‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴动点G的轨迹方程为. ( 4分)‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,‎ 联立,消去y,得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)﹣12=0,‎ ‎,,‎ ‎∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,‎ 即,‎ 把,代入,得,‎ 整理得7m2=12(k2+1),∴O到直线AB的距离d===,‎ ‎∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB,‎ 当且仅当OA=OB时取“=”号.‎ 由d•AB=OA•OB,得d,∴AB≥2d=,‎ 即弦AB的长度的最小值是,‎ ‎∴△OAB面积的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R ‎(1)若函数g(x)=+ax﹣f(x),求g(x)在区间[,e]上的最大值;‎ ‎(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)令g′(x)=0得出g(x)的极值点,判断g(x)在[,e]上的单调性,根据单调性得出最大值;‎ ‎(2)对a进行讨论,判断g(x)在(0,e]上的单调性,求出最小值,令最小值为3解出a.‎ ‎【解答】解:(1)g(x)=﹣+lnx,‎ g′(x)=﹣x+=.‎ ‎∴当≤x<1时,g′(x)>0,当1<x≤e时,g′(x)<0.‎ ‎∴g(x)在[,1]上单调递增,在(1,e]上单调递减,‎ ‎∴当x=1时,g(x)在[,e]上取得最大值g(1)=﹣.‎ ‎(2)g(x)=ax﹣lnx,g′(x)=a﹣.‎ 当a≤0时,g′(x)<0,g(x)在(0,e]上是减函数,‎ ‎∴gmin(x)=g(e)=ae﹣1=3,解得a=(舍).‎ 当a>0时,令g′(x)=0得x=.‎ ‎∴当0<x<时,g′(x)<0,当x>时,g′(x)>0.‎ 当0<<e即a>时,g(x)在(0,]上单调递减,在(,e]上单调递增,‎ ‎∴gmin(x)=g()=1﹣ln=3,解得a=e2.‎ 当≥e即0<a≤时,g(x)在(0,e]上是减函数,‎ ‎∴gmin(x)=g(e)=ae﹣1=3,解得a=(舍).‎ 综上,a=e2.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)‎ ‎22.如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC相交于点D,AE=2BD=2.‎ ‎(1)求证:EA=ED;‎ ‎(2)求DC•BE的值.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定;相似三角形的性质.‎ ‎【分析】(1)由圆的弦切角定理和内角平分线的性质,可得∠DAE=∠ADE,即可得证;‎ ‎(2)由对应角相等,可得△ABE∽△CAE,由相似三角形的性质和内角平分线定理,可得DB•DE=DC•BE,代入计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠DAE=∠DAC+∠EAC,‎ 由AE为△ABC的外接圆的切线,‎ 由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC,①‎ 由AD为∠BAC的平分线,‎ 可得∠BAD=∠DAC,②‎ ‎①②相加可得∠DAE=∠ADE,‎ 则EA=ED. ‎ ‎(2)∵‎ ‎∴△ABE∽△CAE,‎ ‎∴,‎ 又∵,∴,‎ 即DB•AE=DC•BE,‎ 由(1)知EA=ED,∴DB•DE=DC•BE.‎ 根据已知条件AE=2BD=2.‎ 可得BD=1,EA=ED=2,‎ 所以DB•DE=DC•BE=2.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程](共1小题,满分0分)‎ ‎23.在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)若α=,求线段AB的长度;‎ ‎(2)若直线的斜率为,且有已知点P(2,),求证:|PA|•|PB|=|OP|2.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)由曲线C:(θ为参数),利用平方关系可得C的普通方程.当时,直线方程为:(t为参数),代入代入曲线C的普通方程,得13t2+56t+48=0,利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化为:(cos2α+4sin2α)t2+(8sinα+4cosα)t+12=0,利用根与系数的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)由曲线C:(θ为参数),可得C的普通方程是=1.‎ 当时,直线方程为:(t为参数),‎ 代入曲线C的普通方程,得13t2+56t+48=0,‎ 则线段AB的长度为. ‎ ‎(2)证明:将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,‎ 化为:(cos2α+4sin2α)t2+(8sinα+4cosα)t+12=0,‎ ‎∵,‎ 而直线的斜率为,则代入上式求得|PA|•|PB|=7.‎ 又,‎ ‎∴|PA|•|PB|=|OP|2.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](共1小题,满分0分)‎ ‎24.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|.(a>1)‎ ‎(1)若不等式f(x)≥2的解集为{x|x≤或x},求a的值;‎ ‎(2)∀x∈R,f(x)+|x﹣1|≥1,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集,根据对应关系求出a的值即可;‎ ‎(2)问题转化为:2|x﹣1|+|x﹣a|≥1.通过讨论x的范围,求出不等式的解集,从而确定出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:(1),‎ x≥a时,2x﹣a﹣1≥2得,‎ x<1时,﹣2x+a+1≥2得 综上得:a=2. ‎ ‎(2)由x∈R,f(x)+|x﹣1|≥1可得2|x﹣1|+|x﹣a|≥1.‎ 当x≥a时,只要3x﹣2﹣a≥1恒成立即可,此时只要;‎ 当1<x≤a时,只要x﹣2+a≥1恒成立即可,此时只要1﹣2+a≥1⇒a≥2;‎ 当x<1时,只要﹣3x+2+a≥1恒成立即可,此时只要﹣3+2+a≥1⇒a≥2,‎ 综上a∈[2,+∞).‎ ‎ ‎ ‎2016年10月16日