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  • 2021-05-13 发布

07高考文科数学真题直线与圆锥曲线

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‎【考点24】直线与圆锥曲线 ‎1.(2007山东文9)设O是坐标原点,F是抛物线的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则为( ) ‎ ‎ (A) (B)[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ (C) (D)‎ ‎2.(2007海南宁夏文21)(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆的圆心为Q,过点且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.‎ ‎(Ⅰ)求k的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎3.(2008天津文22)(14分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是 ‎ (Ⅰ)求双曲线C的方程;‎ ‎ (Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.‎ ‎4.(2009浙江21)已知椭圆的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C1 的方程; ‎ ‎(Ⅱ)设点P在抛物 线上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N,当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎5.(2009天津21)以知椭圆 的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且 ‎ (I)求椭圆的离心率;‎ ‎ (Ⅱ)求直线AB的斜率;‎ ‎ (III)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点在的外接圆上,求的值 ‎6.(2009山东22) 设椭圆过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎ (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,说明理由 ‎7.(2009辽宁20)已知,椭圆C经过点 ‎ (I)求椭圆C的方程;‎ ‎ (II)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.‎ ‎8. (2009安徽20)点在椭圆, .直线l2‎ 与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为 ‎.‎ ‎ (Ⅰ)证明:点P是椭圆与直线 的唯一交点;‎ ‎(Ⅱ)证明:构成等比数列.‎ ‎9.(2009上海文22)已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F,一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。‎ ‎ (1)求双曲线C的方程;‎ ‎ (2)若过原点的直线,且a与l的距离为,求K的值;‎ ‎ (3)证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.‎ ‎10.(2009安徽文18)(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为,以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切.‎ ‎ (Ⅰ)求与;‎ ‎ (Ⅱ)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2,直线l1过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型.‎ ‎ ‎ 版权所有:高考资源网(www.k s 5 u.com)‎ 版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)‎ 高考真题答案与解析 数 学(文)‎ ‎【考点24】 直线与圆锥曲线 ‎1.答案:B ‎【解析】设则 又解得 故选B.‎ ‎2.【解析】‎ ‎(Ⅰ)圆的方程可写成,所以圆心为. 过且斜率为k的直线方程为 ‎,代入圆方程得 ‎,‎ 整理得 . ①(3分)‎ 直线与圆交于两个不同的点A、B等价于 解得,即k的取值范围为.(6分)‎ ‎(Ⅱ)设,则,‎ 由方程①,‎ ‎. ②‎ 又 . ③(8分)‎ 而.‎ 所以与共线等价于,‎ 将②③代入上式,解得. (11分)‎ 由(Ⅰ)知,故没有符合题意的常数k.(12分)‎ ‎3.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:设双曲线C的方程为由题设得 ‎ 解得 ‎ 所以双曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解:设直线l方程为点M,N的坐标满足方程组 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 将①式代入②式,得整理得 此方程有两个不等实根,于是,且 整理得 ‎ . ③‎ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标()满足 ‎ ‎ 从而线段MN的垂直平分线的方程为 ‎ [来源:Zxxk.Com]‎ 此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为由题设可得 ‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ 将上式代入③式得,‎ 整理得 ‎ ‎ 解得 所以k的取值范围是 ‎4.【解析】 (I)解:由题意,得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 因此,所求的椭圆方程为 ‎ ‎ ‎ (Ⅱ)解:如图,设 ‎ 则抛物线C2在点P处的切线斜率为 ‎ 直线MN的方程为:‎ ‎ ‎ ‎ 将上式代入椭圆C1的方程中,得 ‎ ‎ ‎ 即 ①‎ ‎ 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,‎ ‎ 所以①式中的 ‎ ②‎ ‎ 设线段MN的中点的横坐标是,则 ‎ ‎ ‎ 设线段PA的中点的横坐标是,则 ‎ ‎ ‎ 由题意,得 ‎ 即 ‎ 由③式中的 ‎ ,得 ‎ ‎ ‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ 则不等式②不成立,‎ ‎ 所以 ‎ 当时,代入方程③得 ‎ [来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 将代入不等式②,检验成立。‎ ‎ 所以,的最小值为1。‎ ‎5.[解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。满分14分。‎ ‎ (I)解:由且 ‎ 得 ‎ 从而 ‎ 整理,得 ‎ 故离心率 ‎ (Ⅱ)解:由(I),得 ‎ 所以椭圆的方程可写为 ‎ 设直线AB的方程为 ‎ 即 ‎ 由已知设,‎ ‎ 则它们的坐标满足方程组 ‎ 消去并整理,‎ ‎ 得 ‎ 依题意,‎ ‎ 得 ‎ 而 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 由题设知,点B为线段AE的中点,所以 ‎ ③‎ ‎ 联立①③解得 ‎ 将代入②中,解得 ‎ (III)解法一:由(Ⅱ)可知 ‎ 当时,得 ‎ 由已知得 ‎ 线段AF1的垂直平分线的方程为 ‎ 直线与x轴的交点是的外接圆的圆心,‎ ‎ 因此外接圆的方程为 ‎ 直线F2B的方程为,‎ ‎ 于是点的坐标满足方程组 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ 故 ‎ 当 ‎ 解法二:由(Ⅱ)可知 ‎ 当时,得,‎ ‎ 由已知得 ‎ 由椭圆的对称性知B,F2,C三点共线。‎ ‎ 因为点在的外接圆上,且 ‎ 所以四边形AF1CH的等腰梯形。‎ ‎ 由直线F2B的方程为 ‎ 知点H的坐标为 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 解得(舍),或[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 则 ‎ 所以 ‎ 当时,同理可得 ‎6.【解析】:(Ⅰ)将的坐标代入椭圆E的方程得 ‎ 解得 ‎ 所以椭圆E的方程为 ‎ (Ⅱ)证明:假设满足题意的圆存在,其方程为 ‎ ,其中 ‎ 设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,‎ ‎ 当直线AB的斜率存在时,‎ 令直线AB的方程为,①‎ ‎ 将其代入椭圆E的方程并整理得 ‎ ‎ ‎ 由韦达定理得 ‎ ②‎ ‎ 因为 ,[来源:学科网]‎ ‎ 所以 ③‎ ‎ 将①代入③并整理得 ‎ ‎ ‎ 联立②得 ‎ ④‎ ‎ 因为直线AB和圆相切,‎ ‎ 因此 ‎ 由④得 ‎ 所以 存在圆满足题意.‎ ‎ 当切线AB的斜率不存在时,‎ 易得 由椭圆方程得 ‎ 显然,‎ ‎ 综上所述,存在圆满足题意.‎ ‎ 解法一:‎ ‎ 当切线AB的斜率存在时,由①②④得[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令,则,‎ ‎ 因此 ‎ 所以 ‎ 即.‎ ‎ 当切线AB的斜率不存在时,易得,[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述,存在圆心在原点的圆满足题意,‎ ‎ 且.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 解法二:‎ ‎ 过原点O作⊥,垂足为D,‎ 则D为切点,‎ ‎ 设∠,‎ ‎ 且为锐角,且 ‎ , ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 所以[来源:学科网]‎ ‎ 令,易证:‎ 当时, 单调递减 ‎ 当时,单调递增.‎ ‎ 所以 ‎.‎ ‎7.【解析】:‎ ‎ (I)由题意,c=1,可设椭圆方程为 因为A在椭圆上,所以(舍去)‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎ (II)设直线AE方程为:得 设因为点在椭圆上,所以 ‎ ‎ 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以可得 ‎ ‎ 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值,其值为 ‎8.【解析】: (Ⅰ)(方法一)由 得,‎ 代入椭圆方程,‎ 得 将代入上式,得 从而 因此,方程组,即l1与椭圆有唯一交点P.‎ ‎(方法二)显然P是椭圆与l1的交点,若,‎ 是椭圆与l1的交点,代入l1的方程 ‎,得,‎ 即故P与Q重合.‎ ‎(方法三)在第一象限内,由 可得,‎ 椭圆在点P处切线的斜率,‎ 切线方程为 因此,l1就是椭圆在点P处的切线 根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线l2的唯一交点。‎ ‎(Ⅱ)的斜率为 ‎ 的斜率为,‎ 由此得构成等比数列.‎ ‎9.【解析】(1)设双曲线C的方程为,‎ 解得=2,双曲线C的方程为 ‎(2)直线 直线l的点方向式方程为:,即:‎ 由题意,得, 解得 ‎(3)[证法一]设过原点且平行于l的直线 则直线l与b的距离 又双曲线C的渐近为 ‎ ‎ 双曲线C右支在直线D的右下方 ‎ ∴双曲线右支上的任意点到的距离大于 ‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线的距离为 ‎ ‎ [证法二]假设双曲线C右支上存在点到直线的距离为 ‎ 则 ‎ 由(1)得 ‎ ‎ 设 ‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 将代入(2)得 ‎ (*)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方程(*)不存在正根,即假设不成立,‎ ‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线的距离为 ‎10.【解析】‎ ‎(I)由 ‎ 又由原点到直线的距离等于圆的半径,得 ‎ (II)(方法一)由 ‎ 设M(x,y),则P(1,y)‎ ‎ 由 ‎ 此轨迹是抛物线.‎ ‎ (方法二)因为点M在线段PF1的垂直平分线上,所以即M到F1的距离等于M到的距离.‎ ‎ 此轨迹是以F1(-1,0)为焦点为准线的抛物线,轨迹方程为 ‎[来源:学_科_网]‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎