北方工业大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习推理与证明 5页

北方工业大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．任取，且，若恒成立，则称为上的凸函数。下列函数中①， ② ， ③ ， ④在其定义域上为凸函数是( )‎ A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ②④‎ ‎【答案】D ‎2．给出下列四个推导过程：‎ ‎①∵a，b∈Ｒ＋，　　∴（b／a）+（a／b）≥2=2; ‎ ‎　　②∵x，y∈Ｒ＋，　　∴lgx+lgy≥2;‎ ‎　③∵a∈R，a≠0，　　∴（4／a）+a≥2=4;‎ ‎　④∵x，y∈R，xy＜0，‎ ‎　　∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2=-2.‎ 其中正确的是( )‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】D ‎3．正整数按下表的规律排列，则上起第2019行，左起第2019列的数应为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】Ｄ ‎4．已知数列的前项和，而，通过计算，猜想等于( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B[来源:学#科#网]‎ ‎5．一位同学对三元一次方程组（其中实系数不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：‎ ‎ 结论1：当，且时，方程组有无穷多解；‎ 结论2：当，且都不为零时，方程组有无穷多解；‎ 结论3：当，且时，方程组无解．‎ 但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为( )‎ ‎(1）； (2）； (3）‎ A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（2） C．（2）（1）（3） D．（3）（2）（1）‎ ‎【答案】B ‎6．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是( )‎ A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．分析法 ‎【答案】B ‎7．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若某函数的图象恰好经过个格点，则称该函数为阶格点函数.给出下列函数：‎ 则其中为一阶格点函数的是( )‎ A． ①④⑥ B． ②③ C． ③⑤ D． ②⑤‎ ‎【答案】B ‎8．从任何一个正整数n出发，若n是偶数就除以2，若n是奇数就乘3再加1,如此继续下去…,现在你从正整数3出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是( )‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎9．已知数列，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵。记表示该数阵中第行的第个数，则数阵中的对应于( )[来源:1]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎10．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2019的值是( )[来源:1ZXXK]‎ A．2 0112 B．2 012×2 011 C．2 009×2 010 D．2 010×2 011‎ ‎【答案】D ‎11．已知整数对排列如下：（1,1）,(1,2）,(2,1）（1,3），（2,2）,(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个整数对是( )[来源:1ZXXK]‎ A．（5，7） B．（4，8） C．（5，8） D．（6，7）‎ ‎【答案】A ‎12．已知a，b，c都是正数，则三数( )‎ A．都大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ ‎【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．给个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种. (直接用数字作答）‎ ‎【答案】21；43‎ ‎14．按照如下图给的数所呈现的规律，下一个数“？”代表 ．‎ ‎【答案】112‎ ‎15．函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16．已知点与点在直线的两侧，则下列说法 ‎① ； ② 时，有最小值，无最大值；‎ ‎③ 恒成立；‎ ‎④ 当,, 则的取值范围为（-；‎ 其中正确的命题是 (填上正确命题的序号）．‎ ‎【答案】③④‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知△ABC的三边长为a、b、c，若成等差数列.求证：B不可能是钝角.‎ ‎【答案】 (用反证法证明1)∵，，成等差数列，∴， ∴b2≤ac 即ac－b2≥0.‎ 假设B是钝角，则cosB<0，由余弦定理可得，‎ 这与cosB<0矛盾，故假设不成立.∴B不可能是钝角.‎ ‎(用反证法证明2)∵，，成等差数列，∴，‎ 假设B是钝角，则，则B是△ABC的最大内角，所以b>a，b>c，‎ ‎(在三角形中，大角对大边)，从而，这与矛盾，‎ 故假设不成立，因此B不可能是钝角.‎ ‎(用综合法证明) ∵，，成等差数列，∴，‎ 证明：∵，，成等差数列，∴，即‎2ac=b(a+c)，‎ 由余弦定理和基本不等式可得，‎ ‎，∵a，b，c为△ABC三边，∴a+c>b，‎ ‎∴，∴cosB>0，∴∠B<900，因此B不可能是钝角.‎ ‎18．设 (），比较、、的大小，并证明你的结论 ‎【答案】∵ ‎ 又∵‎ ‎19．已知，求证：．‎ ‎【答案】‎ 要证成立 只需证成立 只需证 ‎ 只需证 ‎ 只需证 只需证 只需证 而显然成立，则原不等式得证．[来源:1ZXXK]‎ ‎20．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.‎ 试用祖暅原理推导球的体积公式.‎ ‎【答案】我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察、、这三个量（等底等高）之间的不等关系，‎ 可以发现<<，即，根据这一不等关系，我们可以猜测，并且由猜测可发现. ‎ 下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.‎ 证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为，那么圆面半径，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r.‎ 因此，， ∴ .‎ 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即，‎ 所以.‎ ‎21．已知，求证：。‎ ‎【答案】证明：要证，只需证：,‎ 只需证：‎ 只需证：‎ 只需证：，而这是显然成立的，‎ ‎ 所以成立。‎ ‎22．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．‎ ‎【答案】假设都是非负实数，因为，‎ 所以，所以，，‎ 所以，‎ 这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．‎