备战高考高考数学闯关密练特训92简单几何体的表面积和体积新人教A版含解析 20页

9-2 简单几何体的表面积和体积 闯关密练特训 1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿 该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的 面的方位是( ) A．南 B．北 C．西 D．下 [答案] A [解析] 将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，则前面为△， 可知“△”的实际方位为南． 2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π 3 ，那 么这个三棱柱的体积是( ) A．96 3 B．48 3 C．24 3 D．16 3 [答案] B [解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正 三角形的边长为 a，球的半径为 R，则 a＝2 3R，又4 3 πR3＝32π 3 ，∴R＝2，a＝4 3，于是 V＝ 3 4 a2·2R＝48 3. 3．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 [答案] B [解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形， 底边长为 6，底边上的高为 3，面积 S＝1 2 ×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为 3， ∴体积 V＝1 3 ×9×3＝9. 4．(文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A．2 B．1 C.2 3 D.1 3 [答案] B [解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为 V ＝1 2 × 2×1× 2＝1. (理)(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面 体的体积为( ) A.142 3 B.284 3 C.280 3 D.140 3 [答案] B [解析] 截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去 的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图．这个多面体是由长方体截去 一 个 正 三 棱 锥 而 得 到 的 ， 所 以 所 求 多 面 体 的 体 积 V ＝ V 长 方 体 － V 正 三 棱 锥 ＝ 4×4×6 － 1 3 ×(1 2 ×2×2)×2＝284 3 . 5．(文)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) [来源:Z.xx.k.Com] A．2π＋2 3 B．4π＋2 3 C．2π＋2 3 3 D．4π＋2 3 3 [答案] C[来源:学科网] [解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个 底面边长为 2，侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为 V＝π×12×2＋ 1 3 ×( 2)2× 3＝2π＋2 3 3 ，故选 C. [点评] 由三视图想象几何体的形状时，一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征， 二要注意方位，三要注意细节． 本题中正视图与侧视图都不变，若俯视图中把外部的圆改为正方形，则几何体就是上部 为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体． (理)(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A．9π＋42 B．36π＋18 C.9 2 π＋12 D.9 2 π＋18 [答案] D [解析] 由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝ 4 3 π·(3 2 )3＝9π 2 ，V 长方体＝2×3×3＝18.所以 V 总＝9 2 π＋18. 6.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和 侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为( ) A．12 个 B．13 个 C．14 个 D．18 个 [答案] B [解析] 由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在 2 层的情形，中间一排，只有一 层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在 2 层的情形，中间一排只有一层，因此 此几何体最多可由 13 个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？ 7．圆台的上、下底半径分别为 2 和 4，母线长为 4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的 中心角为________． [答案] π [ 解析] 如图，设 PD＝x，则2 4 ＝ x x＋4 ，∴x＝4， ∴θ＝4 8 ×2π＝π. 8．一个底面半径为 1，高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的 母线最大长度为 2，最小长度为 1，则截下部分的体积是________． [答案] 3π 2 [解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是 3，体积是所求几何 体体积的 2 倍，故所求的几何体的体积是1 2 ×π×12×3＝3π 2 .故填3π 2 . 9．圆柱内切球的表面积为 4π，则圆柱的表面积为________． [答案] 6π [解析] 设球半径为 R(R>0)，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，由条件知，4πR2＝4π， ∴R＝1. ∴圆柱的表面积 S＝2π·R2＋2πR·2R＝6πR2＝6π. 10．已知 P 在矩形 ABCD 的边 DC 上，AB＝2，BC＝1，F 在 AB 上且 DF⊥AP，垂足为 E，将 △ADP 沿 AP 折起，使点 D 位于 D′位置，连接 D′B、D′C 得四棱锥 D′－ABCP. (1)求证：D′F⊥AP； (2)若 PD＝1，且平面 D′AP⊥平面 ABCP，求四棱锥 D′－ABCP 的体积． [解析] (1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E， ∴AP⊥平面 D′EF，∴AP⊥D′F. (2)∵PD＝1，∴四边形 ADPF 是边长为 1 的正方形， ∴D′E＝DE＝EF＝ 2 2 ， ∵平面 D′AP⊥平面 ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面 ABCP， ∵S 梯形 ABCP＝1 2 ×(1＋2)×1＝3 2 ， ∴VD′－ABCP＝1 3 ×D′E×S 梯形 ABCP＝ 2 4 . 能力拓展提升 11.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E，F 在棱 A1B1 上，点 Q 是棱 CD 的中点， 动点 P 在棱 AD 上．若 EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y 大于零)，则三棱锥 P－EFQ 的体积( ) A．与 x，y 都有关 B．与 x，y 都无关 C．与 x 有关，与 y 无关 D．与 y 有关，与 x 无关 [答案] C [解析] 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h，则 VP－EFQ＝1 3 ×S△EFQ·h，由于 Q 为 CD 的中点，∴点 Q 到直线 EF 的距离为定值 2，又 EF＝1，∴S△EFQ 为定值，而 P 点到平面 EFQ 的距离，即 P 点 到平面 A1B1CD 的距离，显然与 x 有关与 y 无关，故选 C. 12．(2011·陕西文，5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( ) A．8－2π 3 B．8－π 3 C．8－2π D.2π 3 [答案] A [解析] 由三视图知，原几何体为如图所示一正方体挖去一个与正方体等 高底面是正方 形的内切圆的圆锥，则其体积为 V＝23－1 3 π×12×2＝8－2π 3 .故选 A. 13．(2011·东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形， 俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( ) A.1 3 B.2 3 C. 15 6 D. 62 24 [答案] A [解析] 由三视图知，这是一个四棱锥，其底面为正方形，一条侧棱垂直于底面其长度 为 2，底面正方形对角线长为 1，∴边长为 2 2 ，体积 V＝1 3 ×( 2 2 )2×2＝1 3 . 14．(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为 24π，一圆锥与此圆柱一个底 面重合，顶点在另一个底面上，则此圆锥的表面积为________． [答案] 4( 5＋1)π [解析] 设圆柱底半径为 R，则 2πR2＋2πR·2R＝24π，∴R＝2， ∴圆锥的底半径为 R＝2，高为 4， 母线长 l＝ 22＋42＝2 5， ∴圆锥的表面积 S＝πR2＋πRl＝4π＋4 5π＝4( 5＋1)π. (理)圆锥的高为 4，侧面积为 15π，其内切球的表面积为________． [答案] 9π [解析] [来源:Zxxk.Com] 设圆锥底面半径为 r(r>0)，则母线长 l＝ 16＋r2，由πrl＝15π得 r· 16＋r2＝15，解 之得 r＝3，∴l＝5. 设内切球半径为 R，作出圆锥的轴截面如图，则 BD＝BO1＝3，PD＝5－3＝2，PO＝4－R， ∵OD⊥PB， ∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝3 2 ， ∴球的表面积 S＝4πR2＝9π. 15．(文) (2011·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几 何体，四边形 EFGH 为截面，且 AB＝BC＝ 2，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3. (1)证明：截面四边形 EFGH 是菱形；[来源:学科网 ZXXK] (2)求几何体 C－EFGH 的体积． [解析] (1)证明：因为平面 ABFE∥平面 CDHG， 且平面 EFGH 分别交平面 ABFE、平面 CDHG 于直线 EF、GH，所以 EF∥GH.同理，FG∥EH. 因此，四边形 EFGH 为平行四边形． 因为 BD⊥AC，而 AC 为 EG 在底面 ABCD 上的射影， 所以 EG⊥BD. 因为 BF 綊 DH，所以 FH∥BD.因此，FH⊥EG. 所以四边形 EFGH 是菱形． (2)解：连接 CE、CF、CH、CA， 则 VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE，其中 V 是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3 且几 何体是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱的一部分， 所以该几何体的体积为 V＝( 2)2×2＝4， VC－ABFE＝1 3 ×S 四边形 ABFE×BC ＝1 3 ×1 2 (AE＋BF)×AB×BC ＝1 6 ×(1＋2)× 2× 2＝1. 同理，得 VC－ADHE＝1， 所以，VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE＝4－1－1＝2， 即几何体 C－EFGH 的体积为 2. (理)(2011·江西文)如图在△ABC 中，∠B＝π 2 ，AB＝BC＝2，P 为 AB 边上一动点，PD∥ BC 交 AC 于点 D，现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′，使平面 PDA′⊥平面 PBCD. (1)当棱锥 A′－PBCD 的体积最大时，求 PA 的长； (2)若点 P 为 AB 的中点，E 为 A′C 的中点，求证：A′B⊥DE. [解析] (1)令 PA＝x(00，f(x)单调递增； 当 x∈(2 3 3，2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减． 所以，当 x＝2 3 3时，f(x)取得最大值， 即当 VA′－PBCD 最大时，PA＝2 3 3 . (2)设 F 为 A′B 的中点，连接 PF， FE，则有 EF 綊 1 2 BC，PD 綊 1 2 BC，∴EF 綊 PD， ∴四边形 EFPD 为平行四边形，∴DE∥PF. 又 A′P＝PB，所以 PF⊥A′B，故 DE⊥A′B. 16．(2012·新课标全国文，19)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC＝BC＝1 2 AA1，D 是棱 AA1 的中点． (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． [分析] (1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂 直； (2)平面 BDC1 分棱柱成两部分，下面部分 B－ADC1C 为四棱锥，可直接求体积，上面部分可 用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比． [解析] (1)由题设知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1⊂平面 ACC1A1，所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， 所以∠CDC1＝90°，即 DC1⊥DC. 又 DC∩BC＝C，所以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1⊂平面 BDC1，故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)设棱锥 B－DACC1 的体积为 V1，AC＝1. 由题意得，V1＝1 3 ×1＋2 2 ×1×1＝1 2 . 又三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积 V＝1，所以(V－V1) V1＝1 1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1 1. [点评] 本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不 规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积． 1．用单位正方体搭几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积 的最小值与最大值分别是( ) A．9,13 B．7,16 C．10,15 D．10,16 [答案] D [解析] 由俯视图知底层有七个小正方体，结合正视图知，最左边一列，最多都是三层， 最少只有一行是三层，故左边一列最多 9 个、最少 5 个；中间一列最多都是二层有 6 个，最 少只有一行二层，共 4 个；右边一列只一层一行，故最多 9＋6＋1＝16 个，最少 5＋4＋1＝10 个． 2．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )[来源:学科网] A．280 B．292 C．360 D．372 [答案] C [解析] 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为 (6×8)×2＋(8×2)×2＋6×2＝140. 下面的长方体的表面积为(10×8)×2＋(10×2)×2＋(8×2)×2－6×2＝220. 故表面积为 140＋220＝360.选 C. 3．如图，已知在多面体 ABC－DEFG 中，AB、AC、AD 两两互相垂直，平面 ABC∥平面 DEFG， 平面 BEF∥平面 ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 [答案] B [解析] 补成长方体 ABMC－DEFN 并连接 CF，易知三棱锥 F－BCM 与三棱锥 C－FGN 的体积 相等，故几何体体积等于长方体的体积 4.故选 B. [点评] 1.也可以用平面 BCE 将此几何体分割为两部分，设平面 BCE 与 DG 的交点为 H， 则 ABC－DEH 为一个直三棱柱，由条件易证 EH 綊 FG 綊 BC，平面 BEF∥平面 CHG，且△BEF △ CHG，∴几何体 BEF－CHG 是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为 2 和 1 的直 角三角形，高都是 2，∴体积为 4. 2．如图(2)，几何体 ABC－DEFG 也可看作棱长为 2 的正方体中，取棱 AN、EK 的中点 C、F， 作平面 BCGF 将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，∴VABC－DEFG＝1 2 ×23＝ 4. 4．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥 的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( ) [答案] B [解析] 球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截 面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为 1 2 两部分，截面过三棱锥的高和一条侧棱， 故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面 中心的连线段，故选 B. 5．四棱锥 P－ABCD 的底面为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，且侧面 PAD⊥底面 ABCD， 点 M 在底面正方形 ABCD 内(含边界)运动，且满足 MP＝MC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一 定是( ) [答案] B [解析] 由满足条件 MP＝MC，可知点 M 应在线段 PC 的所有中垂线构成的平面α内，又点 M 在正方形 ABCD 内，所以点 M 的轨迹平面α与平面 ABCD 的交线，则必为直线，故 D 不正确．又 BP 不等于 BC，故 A 不正确．由题意知 PD＝DC，所以 D 点在 M 的轨迹上．设 E、F 分别为 AB、 AD 的中点，连接 PF、EF，则 PF⊥EF.设 AB＝2，则 PF＝ 3，EF＝ 2，所以 PE＝ 5.在 Rt△CBE 中，BC＝2，BE＝1，则 CE＝ 5＝EP，所以 AB 边中点 E 也在点 M 的轨迹上，则点 M 的轨迹为线 段 DE. 6．(2012·吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均 为半径是 1 的圆，则这个几何体的体积是( ) A.4π 3 B．π C.2π 3 D.π 3 [答案] B [解析] 由三视图知，该几何体是半径为 1 的球去掉了半球的一半，故几何体是3 4 个球， 体积 V＝3 4 ×(4 3 π·13)＝π. 7．(2012·河南六市联考)如图，已知四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥ DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1. (1)求证：AB∥平面 PCD； (2)求证：BC⊥平面 PAC； (3)若 M 是 PC 的中点，求三棱锥 M－ACD 的体积． [解析] (1)由已知底面 ABCD 是直角梯形，AB∥DC， 又 AB⊄ 平面 PCD，CD⊂平面 PCD， ∴AB∥平面 PCD. (2)在直角梯形 ABCD 中，过 C 作 CE⊥AB 于点 E，则四边形 ADCE 为矩形， ∴AE＝DC＝1 又 AB＝2，∴BE＝1， 在 Rt△BEC 中，∠ABC＝45°， ∴CE＝BE＝1，CB＝ 2，∴AD＝CE＝1， 则 AC＝ AD2＋CD2＝ 2，AC2＋BC2＝AB2， ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC， 又 PA∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC. (2)∵M 是 PC 中点， ∴M 到平面 ADC 的距离是 P 到平面 ADC 距离的一半． ∴VM－ACD＝1 3 S△ACD·(1 2 PA)＝1 3 ×(1 2 ×1×1)×1 2 ＝ 1 12 .