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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
试卷类型:新课标Ⅰ(A)
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,满分150分.
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合,则集合中的元素个数为
(A) 5 (B)4 (C)3 (D)2
(2)已知点,向量,则向量
(A) (B) (C) (D)
(3)已知复数满足,则
(A) (B) (C) (D)
(4)如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为
(A) (B) (C) (D)
(5)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线的焦点重合,是C的准线与E的两个交点,则
(A) (B) (C) (D)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”
其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有
(A)斛 (B)斛 (C)斛 (D)斛
(7)已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则
(A) (B) (C) (D)
(8)函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10)已知函数 ,且,则
(A) (B) (C) (D)
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)在数列中为的前n项和,若,则 .
(14)已知函数的图像在点的处的切线过点,则 .
(15)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 .
(16)已知F是双曲线的右焦点,P是C左支上一点, .当周长最小时,该三角形的面积为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知分别是内角的对边,.
(I)若,求
(II)若,且 求的面积.
(18)(本小题满分12分)
如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,.
(I)证明:平面平面;
(II)若, 三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积.
(19)(本小题满分12分)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费,和年销售量的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(I)根据散点图判断,与,哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为 ,根据(II)的结果回答下列问题:
(i)当年宣传费时,年销售量及年利润的预报值时多少?
(ii)当年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
(20)(本小题满分12分)
已知过点且斜率为k的直线l与圆C:交于M,N两点.
(I)求k的取值范围;
(II),其中O为坐标原点,求.
(21)(本小题满分12分)
设函数.
(I)讨论的导函数的零点的个数;
(II)证明:当时,.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图AB是圆O直径,AC是圆O切线,BC交圆O与点E.
(I)若D为AC中点,求证:DE是圆O切线;
(II)若,求的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求的极坐标方程;
(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求 的面积.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(I)当 时求不等式 的解集;
(II)若 图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题答案
A卷选择题答案
一.选择题
(1)D (2)A (3)C (4)C (5)B (6)B
(7)B (8)D (9)C (10)A (11)B (12)C
A、B卷非选择题答案
二.填空题
(13)6 (14)1 (15)4 (16)
三.解答题
(17)解:
(I)由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c.
由余弦定理可得cosB== . …… 6分
(II)由(I)知=2ac.
因为B=,由勾股定理得.
故,得c=a=.
所以△ABC的面积为1. …… 12分
(18)解:
(I)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
(II)设AB=,在菱形ABCD中,又∠ABC= ,可得
AG=GC=,GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.
故=2 ……9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与 △ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ……12分
(19)解:
(I)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型. ……2分
(II)令,先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
,
所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为
……6分
(Ⅲ)(i)由(II)知,当=49时,年销售量y的预报值
,
年利润z的预报值
……9分
(ii)根据(II)的结果知,年利润z的预报值
.
所以当,即=46.24时,取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. ……12分
(20)解:
(I)由题设,可知直线的方程为.
因为与C交于两点,所以.
解得 .
所以k的取值范围为. ……5分
(II)设.
将代入方程,整理得
.
所以.
.
由题设可得=12,解得k=1,所以的方程是y=x+1.
故圆心C在上,所以. ……12分
(21)解:
(I)的定义域为.
当≤0时,没有零点;
当时,因为单调递增,单调递减,所以在单调递增,又,
当b满足0<b<且b<时,,故当<0时存在唯一零点.
……6分
(II)由(I),可设在的唯一零点为,当时,<0;
当时,>0.
故在单调递减,在单调递增,所以时,取得最小值,最小值为.
由于,所以.
故当时,. ……12分
(22)解:
(I)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE,则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=,所以∠DEC+∠OEB=,故∠OED=,DE是O的切线.
……5分
(II)设CE=1,AE=,由已知得AB=,BE=.由射影定理可得,,
所以,即.可得,所以∠ACB=.
……10分
(23)解:
(I)因为,所以的极坐标方程为,
的极坐标方程为. ……5分
(II)将代入,得,解得
.故,即
由于的半径为1,所以的面积为. ……10分
(24)解:
(I)当时,化为.
当时,不等式化为,无解;
当时,不等式化为,解得;
当,不等式化为-+2>0,解得1≤<2.
所以的解集为. ……5分
(II)由题设可得,
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为
,△ABC的面积为.
由题设得>6,故>2.
所以的取值范围为. ……10分