高考数学数列大题专题训练 20页

高考数学数列大题专题训练 命题：郭治击 审题：钟世美 ‎1.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n≥1.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和.‎ ‎2 .若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写一 个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ ‎3.已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。‎ ‎4.设b>0,数列满足a1=b，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎ ‎5.已知数列的前项和为，且满足：， N*，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．‎ ‎6. 已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .‎ ‎7.已知两个等比数列，满足．‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列唯一，求的值．‎ ‎8、已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列的前n项和．‎ ‎9.设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式 （Ⅱ）设 ‎10.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．‎ ‎11.已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列。‎ ⑶ ‎ 求 ⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为 ‎⑶ 求数列的通项公式。‎ ‎12.(1)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；‎ ‎(II)设，求数列的前n项和．‎ ‎13.已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值 （Ⅱ）设，证明：是等比数列 ‎（III）设证明：‎ ‎14.等比数列的各项均为正数，且 ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）设 求数列的前n项和.‎ ‎15.已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式及 ‎（2）记，，当时，试比较与的大小．‎ ‎16.设实数数列的前n项和，满足 ‎（I）若成等比数列，求和；‎ ‎（II）求证：对 参考答案 ‎1.解：（Ⅰ）设构成等比数列，其中，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①×②并利用，得 ‎（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 ‎2.解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. ‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ 是递增数列.‎ 综上，结论得证。‎ ‎（Ⅲ）令 因为 ‎ ……‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得 ‎3. ‎ ‎4.解（１）法一：，得，‎ 设，则，‎ ‎（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，设，则，‎ 令，得，，‎ 知是等比数列，，又，‎ ‎，．‎ 法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴‎ ‎（ⅱ）当时，，，，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时，，则 ‎，‎ 所以当时，猜想成立，‎ 由①②知，，．‎ ‎（２）（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎，‎ ‎，以上n个式子相加得 ‎，‎ ‎．故当时，命题成立；‎ 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．‎ ‎5.解：（I）由已知可得，两式相减可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又所以r=0时，‎ ‎ 数列为：a，0，…，0，…；‎ ‎ 当时，由已知（），‎ ‎ 于是由可得，‎ ‎ 成等比数列，‎ ‎ ，‎ ‎ 综上，数列的通项公式为 ‎ （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ ‎ 当r=0时，由（I）知，‎ ‎ 对于任意的，且成等差数列，‎ ‎ 当，时，‎ ‎ ‎ ‎ 若存在，使得成等差数列，‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ 由（I）知，的公比，于是 ‎ 对于任意的，且 ‎ 成等差数列，‎ 综上，对于任意的，且成等差数列。‎ ‎6.解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎ ‎7.（1）设的公比为q，则 由成等比数列得 即 所以的通项公式为 ‎ （2）设的公比为q，则由 得 由，故方程（*）有两个不同的实根 由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得 ‎8.解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得，故数列的通项公式为 ‎ ‎ （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ ‎ =‎ 所以 综上，数列 ‎9.解：（I）由题设 即是公差为1的等差数列。‎ ‎ 又所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， ‎ ‎10.解：（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此所以公式q=3，故 ‎ （II）因为 ‎ 所以当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 综上所述，‎ ‎11.⑴ ；‎ ‎⑵ ① 任意，设，则，即 ‎② 假设（矛盾），∴ ‎ ‎∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。‎ ‎⑶ ，‎ ‎，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 当时，依次有，……‎ ‎∴‎ 设为非零实数，‎ ‎12.解析：（1）‎ 因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）‎ ‎（2）（1）‎ ‎13.（I）解：由 ‎ 可得，又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有 将以上各式相加，得即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意 ‎14.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。‎ 由条件可知c>0，故。‎ 由得，所以。‎ 故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎15.(I）解：设等差数列的公差为d，由 得 因为，所以所以 ‎（II）解：因为，所以 因为，所以 当，‎ 即 所以，当当 ‎16.（I）解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证此式明显成立.‎ 因此最后证若不然 又因矛盾.因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.因此判别式 又由 因此，解得 因此 由，得 因此