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- 2021-05-13 发布
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试题类型:A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设复数z满足=i,则|z|=
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)sin20°cos10°-con160°sin10°=
(A) (B) (C) (D)
(3)设命题P:nN,>,则P为
(A)nN, > (B) nN, ≤
(C)nN, ≤ (D) nN, =
(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知是双曲线上的一点,是上的两个焦点,若,则的取值范围是
(A)(-,) (B)(-,)(C)(,) (D)(,)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点,则
(A) (B)
(C) (D)
(8)函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10) 的展开式中,的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
(11) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20,则=
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
12.设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)若函数为偶函数,则
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在轴上,则该圆的标准方程为 。
(15)若满足约束条件则的最大值为 .
(16)在平面四边形中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
Sn为数列{}的前n项和.已知>0,+2=4+ 3
(Ⅰ)求{}的通项公式:
(Ⅱ)设数列求{}的前n项和
(18)如图,,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。
(1)证明:平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x1和年销售量y1(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
(xi-)2
(wi-)2
(xi-)(y-)
(wi-)(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi =i, , =i
(1) 根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii) 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(20)(本小题满分12分)
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=
(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线 的切线;
(Ⅱ)用 表示m,n中的最小值,设函数 ,
讨论h(x)零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
(22)(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙的直径,AC是⊙的切线,BC交⊙于点E。
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙的切线;
(Ⅱ)若CA=CE,求∠ACB的大小。
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中。直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I) 求,的极坐标方程;
(II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围