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- 2021-05-13 发布
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第4讲 定积分与微积分的基本定理
★ 知 识 梳理 ★
1、定积分概念
定积分定义:如果函数在区间上连续,用分点,将区间等分成几个小区间,在每一个小区间上任取一点,作和,当时,上述和无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即,这里、分别叫做积分的下限与上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.
2、定积分性质
(1);
(2)
(3)
3、微积分基本定理
一般地,如果是在上有定义的连续函数,是在上可微,并且,则,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式,为了方便,常常把,记作,即.
4.、常见求定积分的公式
(1) (2)(C为常数)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:定积分的计算和简单应用。
2.难点:利用定积分求平面区域围成的面积
3.重难点:掌握定积分的计算,了解定积分的物理意义,会利用定积分求平面区域围成的面积.
(1)弄清定积分与导数之间的关系
问题1.一物体按规律做直线运动,式中为时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比(比例常数为),试求物体由运动到时,阻力所做的功.
解析:要求变力所做的功,必须先求出变力对位称的变化函数,这里的变力即媒质阻力,然后根据定积分可求阻力所做之功.
解因为物体的速度
所以媒质阻力
当时,,当时,,
阻力所做功
(2)掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.
问题2. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
y
解析:作出及的图形如右:
6
解方程组 得
x
解方程组 得
6
2
O
所求图形的面积
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 定积分的计算
题型1.计算常见函数的定积分
例1. 求下列定积分
(1) (2) (3)
【解题思路】根据微积分基本定理,只须由求导公式找出导数为,,的函数就可,这就要求基本求导公式非常熟悉.
解:(1)
(2)
(3)
【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.
题型2:换元法求定积分
例2.计算:
【解题思路】:我们要直接求的原函数比较困难,但我们可以将先变式化为,再求积分,利用上述公式就较容易求得结果,方法简便易行.
解析:
【名师指引】较复杂函数的积分,往往难以直接找到原函数,常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后,再求定积分.
题型3:计算分段函数定积分
例3. 求
【解题思路】:首先是通过绝对值表示的分段函数,同时又是函数复合函数
与的运算式,所以我们在计算时必须先把积分区间分段,再换元积分或奏变量完成.
解析:
【名师指引】若被积函数含绝对值,往往化成分段函数分段积分,注意本题中,这实际是一种奏变量的思想,复合函数的积分通常可以奏变量完成,也可以换元完成.
题型4:定积分的逆运算
例4. 已知求函数的最小值.
【解题思路】:这里函数、都是以积分形式给出的,我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与,再用导数求法求出的最小值.
解析:
当时,最小=1
当时,最小=1
【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值,参数混合在一起综合题,重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些,最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点,把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。
【新题导练】.
1.(广东省揭阳二中2010届高三上学期期中考试)计算:
解析:8
2. .设 则=( )
A. B. C. D.不存在
解析选C
考点2: 定积分的应用
题型1.求平面区域的面积
例1 求在上,由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
【解题思路】:因为在上,,其图象在轴上方;在上,其图象在轴下方,此时定积分为图形面积的相反数,应加绝对值才表示面积.
y
解析:作出在上的图象如右
Л
0
x
与轴交于0、、,所
2Л
求积
【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下:
第一步:画出图形,确定图形范围
第二步:解方程组求出图形交点坐标,确定积分上、下限
第三步:确定被积函数,注意分清函数图形的上、下位置
第四步:计算定积分,求出平面图形面积
题型2.物理方面的应用
例2. 汽车每小时54公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度3米/秒刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少公里?
【解题思路】
汽车刹车过程是一个减速运动过程,我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程,计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.
解析:由题意,千米/时米/秒
,令得15-3t=0,t=5,即5秒时,汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
公里
答:汽车走了0.0373公里.
【名师指引】t
v
a
b
o
V=v(t)
若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为,由定积分的物理意义可知,作变速运动物体在时间
内的路程s是曲边梯形(阴影部分)的面积,
即路程;如果
时,则路程.
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. (2010年广东北江中学高三第二次月考)=
2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) .
3. =
4. 已知,当= 时, .恒成立
5. 求曲线,及所围成的平面图形的面积.
思路分析:图形由两部分构成,第一部分在区间上,,及围成,第一部分在上由与围成,所以所求面积应为两部分面积之和.
y=x2
y=2x
y
解:作出,及的图如右
B(2,4)
解方程组 得
A(1,1)
y=x
2
1
x
o
解方程组 得
所求面积
答:此平面图形的面积为
综合拔高训练
6. 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且
f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
(2)若直线x=-t(0<t<1=把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,
又已知f′(x)=2x+2
∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+c
又方程f(x)=0有两个相等实根,
∴判别式Δ=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依题意,有所求面积=.
(3)依题意,有,
∴,-t3+t2-t+=t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0,
∴2(t-1)3=-1,于是t=1-.
7. 抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax.
.解 依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-b/a,所以(1)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,即它们有唯一的公共点,
由方程组
得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为0,即(b+1)2+16a=0.
于是代入(1)式得:
,;
令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3,且当0<b<3时,S'(b)>0;当b>3时,S'(b)<0.故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,即a=-1,b=3时,S取得最大值,且.
8. 设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值;并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积.
y=ax
y=x2
1
a
1
a
y=x2
y=ax
图2
图1
故函数无最小值。
当时,显然无最小值。
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