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  • 2021-05-13 发布

辽宁高考数学理科真题及答案

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数 学(供理科考生使用) 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)复数的 模为 (A) (B) (C) (D) (2)已知集合 A. B. C. D. (3)已知点 (A) (B) (C) (D) (4)下面是关于公差 的等差数列 的四个命题: 其中的真命题为 (A) (B) (C) (D) (5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为 若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是 (A) (B) (C) (D) 1 1Z i = − 1 2 2 2 2 2 { } { }4| 0 log 1 , | 2A x x B x x A B= < < = ≤ =,则 ( )01, ( ]0 2, ( )1,2 ( ]1 2, ( ) ( )1,3 , 4, 1 ,A B AB− 则与向量 同方向的单位向量为 3 4 5 5     ,- 4 3 5 5     ,- 3 4 5 5  −  , 4 3 5 5  −  , 0d > ( )na { }1 : np a数列 是递增数列; { }2 : np na数列 是递增数列; 3 : nap n    数列 是递增数列; { }4 : 3np a nd+数列 是递增数列; 1 2,p p 3 4,p p 2 3,p p 1 4,p p [ ) [ ) [ ) [ )20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 45 50 55 60 (6)在 ,内角 所对的边长分别为 A. B. C. D. (7)使得 A. B. C. D. (8)执行如图所示的程序框图,若输入 A. B. C. D. (9)已知点 A. B. C. D. (10)已知三棱柱 A. B. C. D. (11)已知函数 设 表示 中的较大 值, 表示 中的较小值,记 得最小值为 得最小值为 ,则 ABC∆ , ,A B C , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b+ = ,a b B> ∠ =且 则 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ( )13 n x n N n x x +  + ∈   的展开式中含有常数项的最小的 为 4 5 6 7 10,n S= =则输出的 5 11 10 11 36 55 72 55 ( ) ( ) ( )30,0 , 0, , , . ABC ,O A b B a a ∆若 为直角三角形 则必有 3b a= 3 1b a a = + ( )3 3 1 0b a b a a  − − − =   3 3 1 0b a b a a − + − − = 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC− = =的 个顶点都在球 的球面上若 , , ,AB AC⊥ 1 12AA O= ,则球 的半径为 3 17 2 2 10 13 2 3 10 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a= − + + = − + − − + ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } { }( )1 2max , , min , , max ,H x f x g x H x f x g x p q= = ,p q { }min ,p q ,p q ( )1H x ,A ( )2H x B A B− = (A) (B) (C) (D) (11)设函数 (A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值 (C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . (14)已知等比数列 . (15)已知椭圆 的左焦点为 . (16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级 参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同, 则样本数据中的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16a a− − 2 2 16a a+ − 16− 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 , 2 , 0,8 xe ef x x f x xf x f x f xx ′ + = = >满足 则 时, { } { } 1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和. 若 , 是方程 2 65 4 0x x S− + = =的两个根,则 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点, 4, . 10, 6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e= = ∠ =连接 若 则 的离心率 = 17.(本小题满分 12 分) 设向量 (I)若 (II)设函数 18.(本小题满分 12 分) 如图, (I)求证: (II) 19.(本小题满分 12 分) 现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 表示张同学答对题的个数, 求 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 12 分) ( ) ( )3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x π = = ∈   .a b x= 求 的值; ( ) ( ), .f x a b f x=  求 的最大值 .AB PA C是圆的直径, 垂直圆所在的平面, 是圆上的点 PAC PBC⊥平面 平面 ; 2 .AB AC PA C PB A= = = − −若 , 1, 1,求证:二面角 的余弦值 3 5 4 5 X X 如图,抛物线 (I) ; (II) 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 (I)求证: (II)若 取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, (I) (II) 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中以 为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 ,直线 的极坐 标方程分别为 . (I) ( ) ( )2 2 1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C= = − > 点 在抛物线 上, 1M C过 作 ( ) 0, , . 1 2A B M O A B O x = −的切线,切点为 为原点 时, 重合于 当 时, 1- .2MA切线 的斜率为 P求 的值 2M C AB N当 在 上运动时,求线段 中点 的轨迹方程 ( ), , .A B O O重合于 时 中点为 ( ) ( ) ( ) [ ]3 21 , 1 2 cos . 0,12 e x xf x x g x ax x x x−= + = + + + ∈当 时, ( ) 11- ;1x f x x ≤ ≤ + ( ) ( )f x g x≥ 恒成立, a求实数 的 .AB O CD O E AD CD D 为 直径,直线 与 相切于 垂直于 于 ,BC垂直于 , .CD C EF F AE BE于 , 垂直于 ,连接 证明: ;FEB CEB∠ = ∠ 2 .EF AD BC=  xoy O x 1C 2C 4sin , cos 2 2.4 πρ θ ρ θ = = − =   1 2C C求 与 交点的极坐标; (II) 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (I) (II) 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)试题参考答案和评分参考 评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时。如果后继部分的解答未该提的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有严重的错误,就不再给分。 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数。 一.选择题 (1)B (2)D (3)A (4)D (5)B (6)A (7)B (8)A (9)C (10)C (11)B (12)D 二.填空题 (13) (14)63 (15) (16)10 三.解答题 (17).解: (I)由 及 得 1 1 2 .P C Q C C PQ设 为 的圆心, 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为 ( ) 3 3 , , . 12 x t a t R a bby t  = + ∈ = + 为参数 求 的值 ( ) , 1.f x x a a= − >其中 ( )=2 4 4 ;a f x x≥ = −当 时,求不等式 的解集 ( ) ( ){ } { }2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x+ − ≤ ≤ ≤已知关于 的不等式 的解集为 .a求 的值 16-16π 7 5 ,sin4)(sin)sin3( 2222 xxxa =+= ,1)(sin)(cos 222 =+= xxb ,ba = .1sin4 2 =x 又 从而 所以 。。。。。。。。。。。。。6 分 (II) 当 时, 取最大值 1. 所以 的最大值为 。。。。。。。。。。。。12 分 (18)(I)证明: 由 AB 是圆的直径,得 由 平面 ABC, 平面 ABC, 得 又 平面 PAC, 平面 PAC, 所以 平面 PAC, 因为 平面 PBC 所以平面 PBC 平面 PAC. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 (II)(解法一) 过 C 做 CM//AP, 则 CM 平面 ABC. 如图,以点 C 为坐标原点,分别以直线 BC,CA,CM 为 X 轴,Y 轴,Z 轴 建立空间直角坐标系。 因为 AB=2,AC=1,所以 BC= . 因为 PA=1,所以 A(0,1,0), B( ,0,0), P(0,1,1). 故, 设平面 BCP 的法向量为 则{ ,所以{ ,不妨令 y=1,则 ,2,0    ∈ π x ,2 1sin =x .6 π=x xxxbaxf 2sincossin3)( +⋅=⋅= →→ ,2 1)62sin(2 12cos2 12sin2 3 +−=+−= π xxx    ∈= 2,03 ππ x )62sin( π−x )(xf .2 3 ,BCAB ⊥ ⊥PA ⊂BC .BCPA ⊥ ⊂=∩ PAAACPA , ⊂AC ⊥BC ⊂BC ⊥ ⊥ 3 3 ).1,1,0(),0,0,3( == →→ CPCB ),,,( zyxn1 = 0n 0n 1 1 =⋅ =⋅ → → CP CB 0zy 0x3 =+ = )。,( 1-1,0n1 = 因为 设平面 ABP 的法向量为 则{ 所以{ 不妨令 x=1,则 于是 所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 (解法二) 过 C 作 CM AB 于 M, 因为 PA 平面 ABC,CM 平面 ABC, 所以 PA CM. 故 CM 平面 PAB.过 M 作 MN PB 于 N,连接 NC,由三垂线定理得 CN PB, 所以 为二面角 C-PB-A 的平面角。在 Rt 中,由 AB=2,AC=1,得 BC= ,CM= ,BM= .在 因为 又在 所以二面角 C-PB-A 的 余弦值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 (19)解: (I)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”,则有 “张同学所取的 3 道题都是甲类题”。 。。。。。。。。。。。6 分 (II) X 的所有的可能取值为 0,1,2,3. 所以 X 的分布列为: ).0,1,3(),1,0,0( −== →→ ABAP ),,,( zyxn 2 = , 0n 0n 2 2 =⋅ =⋅ → → AB AP , , 0y-x3 0z = = .031n 2 ),,(= ,, 4 6 22 3nncos 21 == .4 6 ⊥ ⊥ ⊂ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ CNM∠ ABC∆ 3 2 3 2 3 .5,1,2t ===∆ PBPAABPABR 得中,由 .10 53, 5 2 3 1,tt ==∆∆ MNMNBAPRBNMR 故所以相似 .4 6cos,5 30t =∠=∆ CNMCNCNMR 故中, .4 6 =A .6 5)(1)(,6 1)( 3 10 3 6 =−=== APAPC CAP 所以因为 ;125 4 5 1)5 2()5 3()0( 200 2 =⋅== CXP .125 28 5 4)5 2()5 3(5 1)5 2()5 3()1( 200 2 111 2 =⋅+⋅== CCXP ;125 57 5 4)5 2()5 3(5 1)5 2()5 3()2( 111 2 022 2 =⋅+⋅== CCXP .125 36 5 4)5 2()5 3()3( 022 2 =⋅== CXP X : 0 1 2 3 P : 。。。。。。。。。。。。。。。10 分 。。。。。。。。。。。。。。12 分 (20) 解: (I)因为抛物线 的切线斜率为 且切线 MA 的斜率为 故切线 MA 的 方程为 因为点 M MA 及抛物线 。。。。。① 。。。。。② 由①②得 P=2. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 (II) N 为线段 AB 中点知 。。。。。。。③ 。。。。。。。④ 切线 MA,MB 的方程为 。。。。。。。。。。。⑤ 。。。。。。。。。。。⑥ 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M( )的坐标为 因为点 M( )在 上,即 。。。。。。。。。。⑦ 125 4 125 28 125 57 125 36 .2125 363125 572125 281125 40)( =×+×+×+×=XE ),上任意一点( yxy4x: 2 1 =C , 2 xy =′ .4 11-2 1- ),点的坐标为(,所以A .4 11x2 1-y ++= )( )在切线,( 0y2-1 ,)(上,于是 4 22-3-4 12-22 1-y02 =+=C .2 223-2 2-1-y 2 0 PP −== )( ,由),,(,,,,设 21 2 2 2 2 1 1 xx4 xx)4 xx()yx( ≠BAN , 2 xxx 21 += .8 xxy 21 += ,)( 4 xx-x2 xy 2 1 1 1 += 4 xx-x2 xy 2 2 2 2 += )( 00 yx , .4 xxy2 xxx 21 0 21 0 =+= , 00 yx , 2C ,,所以 6 xx-xxy4-x 2 2 2 1 210 2 0 +== 由③④⑦得 当 O, AB 中点 N 为 O,坐标满足 。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 (21)(I)证明: 要证 时, 只需证明 记 则 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 要证 记 K(x)= , 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 (II)证明:(解法一) 在 .0xy3 4x 2 ≠= , 重合于原点时, BA,xx 21 ≠ 的轨迹方程为中点因此 NAB.y3 4x 2 = .y3 4x 2 = [ ]1,0x ∈ ,)( x-1ex1 x2- ≥+ .ex-1ex1 x-x )()( ≥+ ,)()()( x-x ex-1-ex1xh += ( ) )在(因此)(时,),当()( xh,0xh1,0xe-exxh -xx >′∈=′ [ ] [ ]1,0xx-1xf.00hxh10 ∈≥=≥ ,)(所以)()(上是增函数,故, [ ] .1xe.x1 1ex11,0x xx2- +≥+≤+∈ 只需证明)时,( 0)x(1,0x.1-ex1-x-e xx ≥′∈=′ KK )时,(当)(,则 [ ] 所以上是增函数,故在 .0)0()x(1,0)x( =≥ KKK [ ] [ ].1,0xx1 1xfx-1.1,0xx1 1xf ∈+≤≤∈+≤ ,)(综上,,)( )()()()( xxcos212 xax-ex1xg-xf 3 x2- ++++= xxxaxx cos2211 2 −−−−−≥ ).cos221( 2 xxax +++−= ,sin2)(,cos22)( 2 xxxGxxxG −=′+= 则 ,sin2)( xxxH −=记 )x(,0)x(1,0xcosx2-1)x( GHH ′<′∈=′ 于是)时,(,当则 [ ] 故)时,(上是减函数,从而当 .0)0()x(1,0x1,0 =<′∈ GG [ ] 从而于是上是减函数在 .2)0()x(.1,0)x( =≤ GGG 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分 下面证明, 因 为当 a>-3 时,a+3>0,所以存在 ,此时 综上,实数 a 的取值范围 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 (解法二) 先证当 记 记 从而 同理可得, 综上,当 时,所以,当 3-a.3a)x(1a ≤+≤++ G [ ] .1,0xgxf 上恒成立)在()( ≥ [ ] .10xgxf3-a 上不恒成立,)在()(时,当 ≥> xcosx2-2 x-ax-1-x1 1xg-xf 3 +≤)()( xcosx2-2 x-ax-x1 x- 3 += .cosx22 xax1 1-x 2 )( ++++= 则记 ),(ax1 1cosx22 xax1 1)x( 2 xGI +++=++++= ).x(x1 1-xI 2 G′++=′ )()( 在故)时,(当 )x(.0)x(1,0x II <′∈ [ ] [ ] [ ].3a1cos21a1,0)x(1,0 +++ ,上的值域为在上是减函数,于是I 0)x(1,0x 00 >∈ I),使得( [ ] .1,0)()(f),(gxf 00 上不恒成立在即)( xgxx ≥< ].3,( −−∞ [ ] .x4 1-1cosxx2 1-11,0x 22 ≤≤∈ 时, .x-sinx)x(x2 11-cosx)x( 2 +=′+= FF ,则 ,)时,(,当,则 0)x(1,0x1-cosx)x(x-sinx)x( >′∈+=′+= GGG [ ] ,0)0()x(1,0x1,0)x( =>∈ GGG )时,(上是增函数,因此当在于是 [ ] 所以上是增函数,因此在 ,0)0()x(1,0)x( =≥ FFF [ ] .cosxx2 1-11,0x 2 ≤∈ 时,当 [ ]时,当 1,0x ∈ .x4 1-1cosx 2≤ [ ] .x4 1-1cosxx2 1-11,0x 22 ≤≤∈ 时, 因为当 所以当 。。。。。。。。。9 分 下面证明,当 a>-3 时, 因为 所以存在 满足 。。。。。。。。。。。。。。。。12 分 (22)证明: (I) 由 AB 为 又 故 CEB. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分 (II) 由 得 [ ]时,1,0x ∈ )()()()( xcosx212 xax-ex1xg-xf 3 x2- ++++= )()( 4 x-1x2-1-2 x-ax-x-1 23 ≥ .x3a- )( += [ ] .1,0xgxf3-a 上恒成立)在()(时, ≥≤ [ ] .1,0xgxf 上不恒成立)在()( ≥ )cos212()1()()( 3 2 xxxaxexxgxf x +++−+=− − )2 11(2211 1 2 3 xxxaxx −−−−−+≤ x3a21 32 )( +−++= x x x .3a3 2-xx2 3     +≤ )( 中的较小者)和取)(例如( 2 1 3 3ax1,0x 00 +∈ [ ] .1,0)()(fxgxf 00 上不恒成立在),即()( xgx ≥< ].3--a ,的取值范围是(综上,实数 ∞ .EABCEBOCD ∠=∠Θ 相切,得与由直线 ;2. π=∠+∠⊥Θ EBFEABEBAEO 从而的直径,得 .,2, EABFEBEBFFEBABEF ∠=∠=∠+⊥ 从而得 π ∠=∠FEB 得是公共边.,,, BECEBFEBABEFCEBC ∠=∠⊥⊥ 类似可证:所以 .,tt BFBCBFERBCER =∆≅∆ .tt AFADAFERADER =∆≅∆ ,得 中,又在 AEBR ∆t 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分 (23)解: (I) , 解{ 注:极坐标系下点的表示不唯一. (II)由(I)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3) 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 所以 解得 a=-1,b=2. (24)解: (I)当 a=2 时, 当 ; 当 当 ; 所以 。。。。。。。。4 分 (II)记 由 又已知 解集为 .,, 22 BCADEFBFAFEFABEF ⋅=⋅=⊥ 所以故 4)2(x 22 1 =−+ yC 的直角坐标方程为圆 .04-yx2 =+的直角坐标方程为直线C .2y 2x 4y 0x 04-yx 42-yx 2 2 1 1 22 = = = = =+ =+ ,,得)( .4222421 ),),(,交点的极坐标为(与所以 ππ CC ,12 ab-x2 by += .212 ab- .12 b =+ = .4,62 42,2 2x6x2- 4-xxf ≥− << ≤+ =+ xx x , )( 1x,46x2-4-x-4xf2 ≤≥+≥≤ 解得得)(时,由x 无解;)(时, 4-x-4xf42 ≥<< x 5x.46-x24-x-4xf4x ≥≥≥≥ 解得得)(时,由 { }.5x1xx4-x-4xf ≥≤≥ 或的解集为)( ),则()()( xf2-ax2fxh += .,2 0a2-x4 0xa2-xh axa ax ≥ << ≤= , ,)( .2 1ax2 1-a,2)( +≤≤ 解得xh 的)( 2xh ≤ 。。。。。。。。。10 分{ } .3a 22 1a 12 1-a 2x1x = =+ = ≤≤ ,于是,所以