- 990.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数 学(供理科考生使用)
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
(1)复数的 模为
(A) (B) (C) (D)
(2)已知集合
A. B. C. D.
(3)已知点
(A) (B)
(C) (D)
(4)下面是关于公差 的等差数列 的四个命题:
其中的真命题为
(A) (B) (C) (D)
(5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,
数据的分组一次为
若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是
(A) (B)
(C) (D)
1
1Z i
= −
1
2
2
2 2 2
{ } { }4| 0 log 1 , | 2A x x B x x A B= < < = ≤ =,则
( )01, ( ]0 2, ( )1,2 ( ]1 2,
( ) ( )1,3 , 4, 1 ,A B AB− 则与向量 同方向的单位向量为
3 4
5 5
,- 4 3
5 5
,-
3 4
5 5
− , 4 3
5 5
− ,
0d > ( )na
{ }1 : np a数列 是递增数列; { }2 : np na数列 是递增数列;
3 : nap n
数列 是递增数列; { }4 : 3np a nd+数列 是递增数列;
1 2,p p 3 4,p p 2 3,p p 1 4,p p
[ ) [ ) [ ) [ )20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 .
45 50
55 60
(6)在 ,内角 所对的边长分别为
A. B. C. D.
(7)使得
A. B. C. D.
(8)执行如图所示的程序框图,若输入
A. B. C. D.
(9)已知点
A. B.
C. D.
(10)已知三棱柱
A. B. C. D.
(11)已知函数 设
表示 中的较大
值, 表示 中的较小值,记 得最小值为 得最小值为 ,则
ABC∆ , ,A B C , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b+ =
,a b B> ∠ =且 则
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
( )13
n
x n N n
x x +
+ ∈
的展开式中含有常数项的最小的 为
4 5 6 7
10,n S= =则输出的
5
11
10
11
36
55
72
55
( ) ( ) ( )30,0 , 0, , , . ABC ,O A b B a a ∆若 为直角三角形 则必有
3b a= 3 1b a a
= +
( )3 3 1 0b a b a a
− − − =
3 3 1 0b a b a a
− + − − =
1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC− = =的 个顶点都在球 的球面上若 , ,
,AB AC⊥ 1 12AA O= ,则球 的半径为
3 17
2 2 10 13
2 3 10
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a= − + + = − + − − +
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } { }( )1 2max , , min , , max ,H x f x g x H x f x g x p q= = ,p q
{ }min ,p q ,p q ( )1H x ,A ( )2H x B
A B− =
(A) (B)
(C) (D)
(11)设函数
(A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值
(C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
(13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .
(14)已知等比数列
.
(15)已知椭圆 的左焦点为
.
(16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级
参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同,
则样本数据中的最大值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 16a a− − 2 2 16a a+ −
16− 16
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 , 2 , 0,8
xe ef x x f x xf x f x f xx
′ + = = >满足 则 时,
{ } { } 1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和. 若 , 是方程
2
65 4 0x x S− + = =的两个根,则
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ,F C与过原点的直线相交于
,A B两点, 4, . 10, 6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e= = ∠ =连接 若 则 的离心率 =
17.(本小题满分 12 分)
设向量
(I)若
(II)设函数
18.(本小题满分 12 分)
如图,
(I)求证:
(II)
19.(本小题满分 12 分)
现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.
(I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率;
(II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 表示张同学答对题的个数,
求 的分布列和数学期望.
20.(本小题满分 12 分)
( ) ( )3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x
π = = ∈
.a b x= 求 的值;
( ) ( ), .f x a b f x= 求 的最大值
.AB PA C是圆的直径, 垂直圆所在的平面, 是圆上的点
PAC PBC⊥平面 平面 ;
2 .AB AC PA C PB A= = = − −若 , 1, 1,求证:二面角 的余弦值
3
5
4
5 X
X
如图,抛物线
(I) ;
(II)
21.(本小题满分 12 分)
已知函数
(I)求证:
(II)若 取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题
计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,
(I)
(II)
23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中以 为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 ,直线 的极坐
标方程分别为 .
(I)
( ) ( )2 2
1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C= = − > 点 在抛物线 上,
1M C过 作 ( ) 0, , . 1 2A B M O A B O x = −的切线,切点为 为原点 时, 重合于 当 时,
1- .2MA切线 的斜率为
P求 的值
2M C AB N当 在 上运动时,求线段 中点 的轨迹方程
( ), , .A B O O重合于 时 中点为
( ) ( ) ( ) [ ]3
21 , 1 2 cos . 0,12
e x xf x x g x ax x x x−= + = + + + ∈当 时,
( ) 11- ;1x f x x
≤ ≤ +
( ) ( )f x g x≥ 恒成立, a求实数 的
.AB O CD O E AD CD D 为 直径,直线 与 相切于 垂直于 于 ,BC垂直于
, .CD C EF F AE BE于 , 垂直于 ,连接 证明:
;FEB CEB∠ = ∠
2 .EF AD BC=
xoy O x 1C 2C
4sin , cos 2 2.4
πρ θ ρ θ = = − =
1 2C C求 与 交点的极坐标;
(II)
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数
(I)
(II)
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(供理科考生使用)试题参考答案和评分参考
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时。如果后继部分的解答未该提的内容和难度,
可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后继部分的解答有严重的错误,就不再给分。
3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数。
一.选择题
(1)B (2)D (3)A (4)D (5)B (6)A
(7)B (8)A (9)C (10)C (11)B (12)D
二.填空题
(13) (14)63 (15) (16)10
三.解答题
(17).解:
(I)由
及 得
1 1 2 .P C Q C C PQ设 为 的圆心, 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为
( )
3
3 , , .
12
x t a
t R a bby t
= + ∈ = +
为参数 求 的值
( ) , 1.f x x a a= − >其中
( )=2 4 4 ;a f x x≥ = −当 时,求不等式 的解集
( ) ( ){ } { }2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x+ − ≤ ≤ ≤已知关于 的不等式 的解集为
.a求 的值
16-16π
7
5
,sin4)(sin)sin3( 2222 xxxa =+=
,1)(sin)(cos 222 =+= xxb ,ba = .1sin4 2 =x
又 从而 所以 。。。。。。。。。。。。。6 分
(II)
当 时, 取最大值 1.
所以 的最大值为 。。。。。。。。。。。。12 分
(18)(I)证明:
由 AB 是圆的直径,得 由 平面 ABC, 平面 ABC,
得 又 平面 PAC, 平面 PAC, 所以
平面 PAC, 因为 平面 PBC
所以平面 PBC 平面 PAC. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分
(II)(解法一)
过 C 做 CM//AP, 则 CM 平面 ABC.
如图,以点 C 为坐标原点,分别以直线
BC,CA,CM 为 X 轴,Y 轴,Z 轴
建立空间直角坐标系。
因为 AB=2,AC=1,所以 BC= .
因为 PA=1,所以 A(0,1,0), B( ,0,0), P(0,1,1).
故,
设平面 BCP 的法向量为
则{ ,所以{ ,不妨令 y=1,则
,2,0
∈ π
x ,2
1sin =x .6
π=x
xxxbaxf 2sincossin3)( +⋅=⋅=
→→
,2
1)62sin(2
12cos2
12sin2
3 +−=+−= π
xxx
∈=
2,03
ππ
x )62sin(
π−x
)(xf .2
3
,BCAB ⊥ ⊥PA ⊂BC
.BCPA ⊥ ⊂=∩ PAAACPA , ⊂AC
⊥BC ⊂BC
⊥
⊥
3
3
).1,1,0(),0,0,3( ==
→→
CPCB
),,,( zyxn1 =
0n
0n
1
1
=⋅
=⋅
→
→
CP
CB
0zy
0x3
=+
= )。,( 1-1,0n1 =
因为 设平面 ABP 的法向量为
则{ 所以{ 不妨令 x=1,则 于是
所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
(解法二)
过 C 作 CM AB 于 M, 因为 PA 平面 ABC,CM 平面 ABC, 所以 PA CM.
故 CM 平面 PAB.过 M 作 MN PB 于 N,连接 NC,由三垂线定理得 CN PB,
所以 为二面角 C-PB-A 的平面角。在 Rt 中,由 AB=2,AC=1,得
BC= ,CM= ,BM= .在
因为 又在
所以二面角 C-PB-A 的
余弦值为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
(19)解:
(I)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”,则有
“张同学所取的 3 道题都是甲类题”。
。。。。。。。。。。。6 分
(II) X 的所有的可能取值为 0,1,2,3.
所以 X 的分布列为:
).0,1,3(),1,0,0( −==
→→
ABAP ),,,( zyxn 2 =
,
0n
0n
2
2
=⋅
=⋅
→
→
AB
AP
,
,
0y-x3
0z
=
=
.031n 2 ),,(=
,,
4
6
22
3nncos 21 == .4
6
⊥ ⊥ ⊂ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
CNM∠ ABC∆
3 2
3
2
3 .5,1,2t ===∆ PBPAABPABR 得中,由
.10
53,
5
2
3
1,tt ==∆∆ MNMNBAPRBNMR 故所以相似
.4
6cos,5
30t =∠=∆ CNMCNCNMR 故中,
.4
6
=A
.6
5)(1)(,6
1)( 3
10
3
6 =−=== APAPC
CAP 所以因为
;125
4
5
1)5
2()5
3()0( 200
2 =⋅== CXP
.125
28
5
4)5
2()5
3(5
1)5
2()5
3()1( 200
2
111
2 =⋅+⋅== CCXP
;125
57
5
4)5
2()5
3(5
1)5
2()5
3()2( 111
2
022
2 =⋅+⋅== CCXP
.125
36
5
4)5
2()5
3()3( 022
2 =⋅== CXP
X : 0 1 2 3
P : 。。。。。。。。。。。。。。。10 分
。。。。。。。。。。。。。。12 分
(20) 解:
(I)因为抛物线 的切线斜率为
且切线 MA 的斜率为 故切线 MA 的
方程为 因为点 M MA 及抛物线
。。。。。①
。。。。。②
由①②得 P=2. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分
(II) N 为线段
AB 中点知 。。。。。。。③
。。。。。。。④
切线 MA,MB 的方程为
。。。。。。。。。。。⑤
。。。。。。。。。。。⑥
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M( )的坐标为
因为点 M( )在 上,即
。。。。。。。。。。⑦
125
4
125
28
125
57
125
36
.2125
363125
572125
281125
40)( =×+×+×+×=XE
),上任意一点( yxy4x: 2
1 =C ,
2
xy =′
.4
11-2
1- ),点的坐标为(,所以A
.4
11x2
1-y ++= )( )在切线,( 0y2-1
,)(上,于是
4
22-3-4
12-22
1-y02 =+=C
.2
223-2
2-1-y
2
0 PP
−== )(
,由),,(,,,,设 21
2
2
2
2
1
1 xx4
xx)4
xx()yx( ≠BAN
,
2
xxx 21 +=
.8
xxy 21 +=
,)(
4
xx-x2
xy
2
1
1
1 +=
4
xx-x2
xy
2
2
2
2 += )(
00 yx ,
.4
xxy2
xxx 21
0
21
0 =+= , 00 yx , 2C
,,所以
6
xx-xxy4-x
2
2
2
1
210
2
0
+==
由③④⑦得 当 O,
AB 中点 N 为 O,坐标满足
。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
(21)(I)证明:
要证 时, 只需证明
记 则
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分
要证
记 K(x)= ,
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分
(II)证明:(解法一)
在
.0xy3
4x 2 ≠= , 重合于原点时, BA,xx 21 ≠
的轨迹方程为中点因此 NAB.y3
4x 2 =
.y3
4x 2 =
[ ]1,0x ∈ ,)( x-1ex1 x2- ≥+
.ex-1ex1 x-x )()( ≥+ ,)()()( x-x ex-1-ex1xh +=
( ) )在(因此)(时,),当()( xh,0xh1,0xe-exxh -xx >′∈=′
[ ] [ ]1,0xx-1xf.00hxh10 ∈≥=≥ ,)(所以)()(上是增函数,故,
[ ] .1xe.x1
1ex11,0x xx2- +≥+≤+∈ 只需证明)时,(
0)x(1,0x.1-ex1-x-e xx ≥′∈=′ KK )时,(当)(,则
[ ] 所以上是增函数,故在 .0)0()x(1,0)x( =≥ KKK
[ ] [ ].1,0xx1
1xfx-1.1,0xx1
1xf ∈+≤≤∈+≤ ,)(综上,,)(
)()()()( xxcos212
xax-ex1xg-xf
3
x2- ++++=
xxxaxx cos2211
2
−−−−−≥
).cos221(
2
xxax +++−=
,sin2)(,cos22)(
2
xxxGxxxG −=′+= 则 ,sin2)( xxxH −=记
)x(,0)x(1,0xcosx2-1)x( GHH ′<′∈=′ 于是)时,(,当则
[ ] 故)时,(上是减函数,从而当 .0)0()x(1,0x1,0 =<′∈ GG
[ ] 从而于是上是减函数在 .2)0()x(.1,0)x( =≤ GGG
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9 分
下面证明,
因
为当 a>-3 时,a+3>0,所以存在 ,此时
综上,实数 a 的取值范围 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
(解法二)
先证当
记
记
从而
同理可得,
综上,当
时,所以,当 3-a.3a)x(1a ≤+≤++ G
[ ] .1,0xgxf 上恒成立)在()( ≥
[ ] .10xgxf3-a 上不恒成立,)在()(时,当 ≥>
xcosx2-2
x-ax-1-x1
1xg-xf
3
+≤)()(
xcosx2-2
x-ax-x1
x- 3
+=
.cosx22
xax1
1-x
2
)( ++++=
则记 ),(ax1
1cosx22
xax1
1)x(
2
xGI +++=++++=
).x(x1
1-xI 2 G′++=′
)()( 在故)时,(当 )x(.0)x(1,0x II <′∈
[ ] [ ] [ ].3a1cos21a1,0)x(1,0 +++ ,上的值域为在上是减函数,于是I
0)x(1,0x 00 >∈ I),使得(
[ ] .1,0)()(f),(gxf 00 上不恒成立在即)( xgxx ≥<
].3,( −−∞
[ ] .x4
1-1cosxx2
1-11,0x 22 ≤≤∈ 时,
.x-sinx)x(x2
11-cosx)x( 2 +=′+= FF ,则
,)时,(,当,则 0)x(1,0x1-cosx)x(x-sinx)x( >′∈+=′+= GGG
[ ] ,0)0()x(1,0x1,0)x( =>∈ GGG )时,(上是增函数,因此当在于是
[ ] 所以上是增函数,因此在 ,0)0()x(1,0)x( =≥ FFF
[ ] .cosxx2
1-11,0x 2 ≤∈ 时,当 [ ]时,当 1,0x ∈
.x4
1-1cosx 2≤ [ ] .x4
1-1cosxx2
1-11,0x 22 ≤≤∈ 时,
因为当
所以当 。。。。。。。。。9 分
下面证明,当 a>-3 时, 因为
所以存在
满足
。。。。。。。。。。。。。。。。12 分
(22)证明:
(I)
由 AB 为
又
故 CEB. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分
(II) 由
得
[ ]时,1,0x ∈
)()()()( xcosx212
xax-ex1xg-xf
3
x2- ++++=
)()(
4
x-1x2-1-2
x-ax-x-1
23
≥
.x3a- )( +=
[ ] .1,0xgxf3-a 上恒成立)在()(时, ≥≤
[ ] .1,0xgxf 上不恒成立)在()( ≥
)cos212()1()()(
3
2 xxxaxexxgxf x +++−+=− −
)2
11(2211
1 2
3
xxxaxx
−−−−−+≤
x3a21
32
)( +−++= x
x
x
.3a3
2-xx2
3
+≤ )(
中的较小者)和取)(例如(
2
1
3
3ax1,0x 00
+∈
[ ] .1,0)()(fxgxf 00 上不恒成立在),即()( xgx ≥<
].3--a ,的取值范围是(综上,实数 ∞
.EABCEBOCD ∠=∠Θ 相切,得与由直线
;2.
π=∠+∠⊥Θ EBFEABEBAEO 从而的直径,得
.,2, EABFEBEBFFEBABEF ∠=∠=∠+⊥ 从而得 π
∠=∠FEB
得是公共边.,,, BECEBFEBABEFCEBC ∠=∠⊥⊥
类似可证:所以 .,tt BFBCBFERBCER =∆≅∆
.tt AFADAFERADER =∆≅∆ ,得 中,又在 AEBR ∆t
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分
(23)解:
(I) ,
解{
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(II)由(I)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3)
故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.
由参数方程可得 所以
解得 a=-1,b=2.
(24)解:
(I)当 a=2 时,
当 ;
当
当 ;
所以 。。。。。。。。4 分
(II)记
由 又已知 解集为
.,, 22 BCADEFBFAFEFABEF ⋅=⋅=⊥ 所以故
4)2(x 22
1 =−+ yC 的直角坐标方程为圆
.04-yx2 =+的直角坐标方程为直线C
.2y
2x
4y
0x
04-yx
42-yx
2
2
1
1
22
=
=
=
=
=+
=+ ,,得)(
.4222421 ),),(,交点的极坐标为(与所以 ππ
CC
,12
ab-x2
by +=
.212
ab-
.12
b
=+
=
.4,62
42,2
2x6x2-
4-xxf ≥−
<<
≤+
=+
xx
x
,
)(
1x,46x2-4-x-4xf2 ≤≥+≥≤ 解得得)(时,由x
无解;)(时, 4-x-4xf42 ≥<< x
5x.46-x24-x-4xf4x ≥≥≥≥ 解得得)(时,由
{ }.5x1xx4-x-4xf ≥≤≥ 或的解集为)(
),则()()( xf2-ax2fxh +=
.,2
0a2-x4
0xa2-xh
axa
ax
≥
<<
≤=
,
,)(
.2
1ax2
1-a,2)(
+≤≤ 解得xh 的)( 2xh ≤
。。。。。。。。。10 分{ } .3a
22
1a
12
1-a
2x1x =
=+
=
≤≤ ,于是,所以
相关文档
- 江苏高考英语复习专题二完形填空习2021-05-1313页
- 2020年高考英语模拟试题及答案(二十2021-05-1324页
- 2014年版高考英语完形填空二轮突破2021-05-1311页
- 高考必背7000个单词浓缩于100句2021-05-1321页
- 2014年版高考英语三轮仿真模拟试卷2021-05-1317页
- 高考文化常识专题精炼教师2021-05-1310页
- 新课标物理高考专题复习振动和波动2021-05-1320页
- 2013高考化学总复习氧化还原反应专2021-05-137页
- 高考高三地理一轮复习全球的气压带2021-05-134页
- 高考地理一轮复习精练精析26套 2021-05-136页