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- 2021-05-13 发布
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2011年辽宁省数学考试(理科)
1.为正实数,为虚数单位,,则( ) A.2 B. C. D.1
2.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若( )
A.M B.N C.I D.
3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为( ) A. B.1 C. D.
4.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcosA=则
A. B. C. D.
5.从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,
事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B︱A)=( )
A. B. C. D.
6.执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P是( )
A.8 B.5 C.3 D.2
7.设sin,则( )A. B. C. D.
8.如图,四棱锥S—ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
9.设函数,则满足的x的取值范围是( )
A.,2] B.[0,2] C.[1,+) D.[0,+)
10.若,,均为单位向量,且,,则的最大值为( )
A. B.1 C. D.2
11.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( )
A.(,1) B.(,+) C.(,) D.(,+)
12.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,,则棱锥S—ABC的体积为 A. B. C. D.1 ( )
13.已知点(2,3)在双曲线C:上,C的焦距为4,则它的离心率为 .
14.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的
回归直线方程:.由回归直线方程可知,家庭年收
入每增加1万元,年饮食支出平均增加____________万元.
15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,
它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,
则这个矩形的面积是 .
16.已知函数=Atan(x+)(),y=
的部分图像如下图,则 .
17.( 12分)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列的前n项和.
18.(12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ; (II)求二面角Q—BP—C的余弦值.
19.( 12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.
(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;
(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
附:样本数据的的样本方差,其中为样本平均数.
20.(12分)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1
,C2的离心率都为e,直线⊥MN,与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
(I)设,求与的比值;(II)当e变化时,是否存在直线,使得BO∥AN,并说明理由.
21.(12分)已知函数.
(I)讨论的单调性;(II)设,证明:当时,;
(III)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:(x0)<0.
22.(10分)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(I)证明:CD//AB;(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.
23.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=与C1,C2各有一个交点.当=0时,这两个交点间的距离为2,当=时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当=时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
24.(10分)已知函数=|x-2|x-5|.
(I)证明:≤≤3; (II)求不等式≥x2x+15的解集.
参考答案
一、选择题
1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 13.2 14.0.254 15. 16.
1.正确答案B
I
M
N
提示: 即,又为正实数,.
2.正确答案A
提示; 根据画出韦恩图,然后明确
作出满足条件的韦恩(Venn)图,易知
3.正确答案C
提示一 本题考查抛物线定义的应用,考查学生的等价转换能力,F
x
A
y
C
B
N
D
M
O
利用转化思想得到是解题的关键.
提示二 利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点的横坐标.
提示三如图,由抛物线的定义知,
所以中点的横坐标为.
4.正确答案D
提示一 此题考查解三角形,考查学生目标意识能力,清晰正弦定理是解题的前提.
提示二 利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键.
提示三由正弦定理可得:
,即
5.正确答案B
提示一 此题考查古典概率,考查学生识别事件的能力,清晰事件的计算公式是解题的前提.
提示二 准确计算出是解题的关键.
提示三,.
6.正确答案C 提示一 本题考查流程图,考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提.
提示二 抓住流程图的限制条件是解题的关键.
提示三 初始值循环开始,第一次:
第二次:第三次:此时,不成立,跳出循环,输出.
7.正确答案A
提示一 此题考查三角函数求值,考查学生划归能力,清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.
提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三 由得
即两边平方,得.
8.正确答案D
提示一 此题考查立体几何的位置关系和角的判断,考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提.
提示二 采用逐一判断的方法进行分析.
提示三为正方形,
故A对;
,故B 对;
设由上面的分析知,分别是所成的角,易知相等,故C对;选D.
9.正确答案D
提示一 此题考查分段函数的性质,考查学生转化能力,清晰分段函数的性质是解题的前提.
提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键.
提示三 易知,上是减函数,由所以的取值范围是.
10.正确答案B
提示一 此题考查向量模的最值.考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提.
提示二 利用将平方的技巧进行转化是解题的关键.
提示三
.
11.正确答案B
提示一 此题考查不等式的解法,考查学生构造能力,通过构造函数是解题的前提. 提示二 利用求导判断函数单调性是解题的关键.
提示三设,故上单调递增,又
所以当时,,即.
S
D
A
B
C
12.正确答案C
提示一 此题考查棱锥的体积,考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.提示二
明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键.
提示三 如图,过作与直径垂直的球的截面,
交于点D,在中,
同理为正三角形..
13.正确答案 2
提示一 此题考查双曲线的离心率,考查学生基本知识掌握情况,清晰双曲线的几何性质是解题的前提.
提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键.
提示三与联立,求得,所以.
14.正确答案0.254
提示一 此题考查回归方程,考查学生的基础知识掌握情况,清晰归回方程的含义是解题的前提.
提示二 利用求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键.
A
B
C
D
提示三 家庭收入每增加1万元,对应的回归直线方程中的增加1,相应的的值增加0.254,即年饮食支出平均增加0.254万元.
15.正确答案
提示一 此题考查几何体的三视图,考查学生的分析解决
问题能力和空间形象能力,清晰三视图的观察方法是解题
的前提.提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是
解题的关键.提示三如图,设底面边长为,则侧棱长也为,
,故.左视图与矩形相同,.
16.正确答案
提示一 此题考查函数解析式,考查学生视图能力,清晰的含义是解题的前提.
提示二 利用函数图象得到周期,利用点代入解析式确定,利用(0,1)代入解析式确定A,进而明确函数的解析式,然后求.提示三 由图知,,将代入得,即又,.又
17.解:(I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得解得
故数列的通项公式为 ………………5分
(II)设数列,即,
所以,当时,
=所以综上,数列12分
18.解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
(I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
则所以
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分
(II)依题意有B(1,0,1),
设是平面PBC的法向量,则因此可取
设m是平面PBQ的法向量,则可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分
19.解:(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且
即X的分布列为……………4分
X的数学期望为 ………………6分
(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
……8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
………………10分
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.
20.解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设
设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得 4分
当表示A,B的纵坐标,可知 …6分
(II)t=0时的l不符合题意.时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即
解得
因为
所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;当时,存在直线l使得BO//AN. 12分
21.解:(I)
(i)若单调增加.(ii)若
且当所以单调增加,在单调减少.…4分
(II)设函数则
当.故当, 8分
(III)由(I)可得,当的图像与x轴至多有一个交点,
故,从而的最大值为不妨设
由(II)得 从而
由(I)知, ………………12分
22.解:(I)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.
因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA,
所以CD//AB. …………5分
(II)由(I)知,AE=BE,因为EF=FG,故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.
连结AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE,又CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.故A,B,G,F四点共圆 …………10分
23.解:(I)C1是圆,C2是椭圆.
当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.
当时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.
(II)C1,C2的普通方程分别为
当时,射线l与C1交点A1的横坐标为,与C2交点B1的横坐标为
当时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此,四边形A1A2B2B1为梯形
故四边形A1A2B2B1的面积为……10分
24.(I)当所以 5分
(II)由(I)可知,
当的解集为空集;当
当. 10分