至江苏高考数学试卷及答案 48页

‎ 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）函数的最小正周期是（ ）。‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（2）圆的圆心到直线的距离是（ ）。‎ ‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎（3）不等式的解集是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（4）在内，使成立的x取值范围为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（5）设集合，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ （7）函数是奇函数的充要条件是（ ）‎ ‎ A.ab=0 B. a+b=‎0 C. a=b D. ‎ ‎ （8）已知，则有（ ）。‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ （9）函数 ‎ A. 在（）内单调递增 B. 在（）内单调递减 ‎ C. 在（）内单调递增 D. 在（）内单调递减 ‎ （10） 极坐标方程与的图形是（ ）。 ‎ ‎（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）。‎ ‎ A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 ‎ （12）据‎2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“”末，我国国内生产总值约为（ ）。 ‎ ‎ A. 115 000 亿元 B. 120 000亿元 C. 127 000亿元 Ｄ. 135 000亿元 第II卷（非选择题共90分）‎ 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。‎ ‎（13）椭圆的一个焦点是（0，2），那么k= 。‎ ‎（14）的展开式中项的系数是 。‎ ‎（15）已知，则 。‎ ‎（16）已知函数那么= 。‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知复数，求实数a,b使 ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 设为等差数列，为等比数列，，分别求出及的前10项的和及。‎ ‎（19）（本小题满分 12分）‎ ‎ 四棱锥的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD ‎ （I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；‎ ‎ （II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。‎ ‎ （I）求直线AB的方程。（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？‎ ‎（21）（本小题满分12分，附加题满分4分）‎ ‎ （I）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。‎ ‎ （II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。‎ ‎ （III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。）‎ ‎ 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。‎ ‎ （22）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知，函数 ‎ （I）当b>0时，若对任意都有，证明 ‎ （II）当b>1时，证明：对任意，的充要条件是；‎ ‎ （III）当时，讨论：对任意，的充要条件。‎ ‎2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案 说明：‎ 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。‎ 二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ 四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。‎ 一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。‎ ‎ （1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16 分。‎ ‎ （13）1 （14）1 008 （15） （16）‎ 三. 解答题 ‎ （17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分12分。‎ ‎ 解：因为 ‎ ‎ ‎ 因为都是实数，‎ ‎ 所以由得两式相加，整理得 ‎ 解得： 对应得 ‎ 所以，所求实数为，或 ‎ （18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力。满分12分。‎ ‎ 解：因为为等差数列，为等比数列。 ‎ ‎ 已知 得：‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 由知的公差为 ‎ ‎ ‎ 由知的公比为 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ （19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。‎ ‎ （I）解：因为面ABCD。 所以BA是PA在面ABCD上的射影 ‎ 又， 所以 ‎ PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角 ‎ 而PB是四棱锥的高，PB=AB ‎ ‎ ‎（II）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形。‎ ‎ 作，垂足为E，连结EC，则 ‎ ‎ ‎ 故是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角 ‎ 设AC与DB相交于点O，连结EO，则 ‎ ‎ ‎ 在三角形AEC中，‎ ‎ ‎ ‎ 所以，面与面PCD所成的二面角恒大于90度。‎ ‎ （20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。满分12分。‎ ‎ 解：（I）依题意，可设直线AB的方程为 ‎ 代入，整理得 （1）‎ ‎ 记，，则是方程(1)的两个不同的根 ‎ 所以，且 ‎ 由N（1，2）是AB的中点得： ‎ ‎ 解得k=1，所以直线AB的方程为 ‎ （II）将k=1代入方程(1)得解出 ‎ 由得 即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）‎ ‎ 由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为即 ‎ ‎ 代入双曲线方程，整理得： （2）‎ ‎ 记，D ，以及CD的中点为M（）‎ ‎ 则是方程（2）的两个根，所以 ‎ 从而，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。‎ ‎ （21）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分。‎ ‎ 解：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。‎ ‎ 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。‎ ‎ （II）依上面剪拼的方法，有 ‎ 推理如下：‎ ‎ 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，现在计算它们的高：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ （III）（附加题，满分4分）‎ ‎ 如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。‎ ‎ 注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。‎ ‎ ‎ ‎ （22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。满分14分。‎ ‎（I）证：依设，对任意，都有 ‎ 因为 因为 ‎ ‎ （II）证： 必要性：‎ ‎ 对任意，据此可以推出 即 ‎ 对任意 ‎ 因为b>1，可以推出 即 ‎ ‎ 充分性：因为，对任意，可以推出：‎ ‎ 即 ‎ 因为，对任意，可以推出 即 ‎ ‎ ‎ 综上，当b>1时，对任意，的充要条件是 ‎ （III）解：因为时，对任意：，即；‎ ‎ 即 ‎ ，即 ‎ 所以，当时，对任意，的充要条件是 ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果函数的图象与轴有两个交点，则点平面上的区域（不包含边界）为（ ）‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ a 阿 ‎ O 阿 ‎ O 阿 ‎ O 阿 ‎ O 阿 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．抛物线的准线方程是，则a的值为 （ ）‎ ‎ A． B．－ C．8 D．－8‎ ‎3．已知 （ ）‎ ‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎4．设函数的取值范围是（ ）‎ ‎ A．（－1，1） B．‎ ‎ C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）‎ ‎5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的 ‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎6．函数的反函数为（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎7．棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则 （ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是 （ ）‎ ‎ A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）‎ ‎ A． B．4 C． D．‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 ‎13．的展开式中系数是 ‎ ‎14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆 ‎2‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）‎ ‎16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ‎①‎ ‎②‎ ‎③④‎ 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验 ‎（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数求的值 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G ‎（Ⅰ）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ ‎（Ⅱ）求点到平面AED的距离 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知常数经过原点O以为方向向量的直线与经过定点为方向向量的直线相交于P，其中 试问：是否存在两个定点E、F，使得为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知为正整数 ‎（Ⅰ）设，证明；‎ ‎（Ⅱ）设，对任意，证明 ‎22．（本小题满分14分）‎ 设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列 ‎（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；‎ O c y l x Q1‎ Q2‎ Q3‎ a1‎ a2‎ a3‎ r2‎ r1‎ ‎（Ⅱ）当时，证明 ‎（Ⅲ）当时，证明 ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题（江苏卷）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.‎ ‎1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.‎ ‎13． 14．6,30,10 15．120 16．①④‎ 三、解答题 ‎17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.‎ 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.‎ ‎（Ⅰ）， ‎ 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 答：恰有一件不合格的概率为0.176.‎ 解法一：至少有两件不合格的概率为 ‎ ‎ 解法二：三件产品都合格的概率为 由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 答：至少有两件不合的概率为0.012.‎ ‎（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。‎ 解：由 ‎19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分12分.‎ 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.‎ 设F为AB中点，连结EF、FC，‎ ‎（Ⅱ）连结A1D，有 ‎, 设A1到平面AED的距离为h，‎ 则 ‎ 解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.‎ 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=‎2a，‎ 则A(‎2a,0,0),B(0,‎2a,0),D(0,0,1) ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)‎ ‎（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；‎ ‎（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点 ‎（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点.‎ ‎（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.‎ 证明：（Ⅰ）因为，‎ 所以 ‎（Ⅱ）对函数求导数:‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 即对任意 ‎22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.‎ ‎ （Ⅰ）解：∵‎ ‎∴ ∴‎ ‎， ∴‎ ‎ （Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴‎ ‎∵当 ‎ ‎∴‎ ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，‎ 因此 ‎ = ‎ ‎2004年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题(5分×12=60分)‎ ‎1．设集合，，则等于 （ ）‎ ‎ A．{1，2} B． {3，4} ‎ ‎ C． {1} D． {-2，-1，0，1，2}‎ ‎2．函数()的最小正周期为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ）‎ ‎ A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 ‎4．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ‎ ‎ （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎5．若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． 4 D．‎ ‎6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50‎ 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）‎ ‎ A．0.6小时 B．0.9小时 C．1.0小时 D．1.5小时 ‎0.5‎ 人数(人)‎ 时间(小时)‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ ‎2.0‎ ‎15‎ ‎7．的展开式中的系数是 （ ）‎ ‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎8．若函数的图象过两点和，则 （ ）‎ ‎ A．a=2，b=2 B．a=，b=2 C．a=2，b=1 D．a=，b=‎ ‎9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）‎ ‎ A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-19‎ ‎11．设，() . 在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A 点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 （ ）‎ ‎ A．3 B． C． D．‎ ‎12．设函数，区间M=[a，b](a0，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，由 上单调递增。∴‎ ‎（2）当a=0时，m(t)=t，， ∴‎ ‎（3）当a<0时，函数y=m(t)，的图像是开口向下的抛物线的一段。‎ 若 若 若 综上有 ‎ ‎（Ⅲ）解法一：情形1：当 由解得矛盾。‎ 情形2：当，此时，‎ 矛盾。‎ 情形3：当，此时 所以。‎ 情形4：当，此时 矛盾。‎ 情形5：当，此时 由矛盾。‎ 情形6：当a>0时，，此时 由 综上知，满足的所有实数a为：‎ 解法二：当 ‎ 当，所以 ‎。因此，当 当，由 当 要使，必须有 此时。综上知，满足的所有实数a为： ‎ ‎（21）证明：必要性. 设是公差为d1的等差数列，则 所以）成立.‎ 又 ‎ （常数）（n=1，2，3，…），所以数列为等差数列.‎ 充分性，设数列是公差d2的等差数列，且（n=1，2，3，…）.‎ 证法一：‎ ‎①－②得 ‎ ，‎ ‎， ③‎ 从而有 ④‎ ‎④－③得 ⑤‎ ‎，‎ ‎∴由⑤得 由此 不妨设（常数）.‎ 由此，‎ 从而，‎ 两式相减得，‎ 因此，‎ 所以数列是等差数列.‎ 证法二：令 ‎ 从而 由 得，即 ‎. ⑥‎ 由此得. ⑦‎ ‎⑥－⑦得. ⑧‎ 因为，‎ 所以由⑧得 于是由⑥得， ⑨‎ 从而 ⑩‎ 由⑨和⑩得即 所以数列是等差数列.‎