2015高考数学（理）（等差数列及其前n项和）一轮复习学案 8页

学案29　等差数列及其前n项和 导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．‎ 自主梳理 ‎1．等差数列的有关定义 ‎(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)．‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________.‎ ‎3．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________.‎ ‎4．等差数列的性质 ‎(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________.‎ ‎(2)等差数列中，Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m成等差数列．‎ ‎(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．‎ 自我检测 ‎1．(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为 (　　)‎ A．130 B．260‎ C．156 D．168‎ ‎2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于 (　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ ‎3．(2010·泰安一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 (　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D. ‎4．(2010·湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 (　　)‎ A．12 B．‎13 ‎ C．14 D．15‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.‎ 探究点一　等差数列的基本量运算 例1　等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，‎ ‎(1)求通项an；‎ ‎(2)若Sn＝242，求n.‎ 变式迁移1　设等差数列{an}的公差为d (d≠0)，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.‎ 探究点二　等差数列的判定 例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．‎ 变式迁移2　已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3的值．‎ ‎(2)是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ 探究点三　等差数列性质的应用 例3　若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．‎ 变式迁移3　已知数列{an}是等差数列．‎ ‎(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；‎ ‎(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；‎ ‎(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．‎ 探究点四　等差数列的综合应用 例4　(2011·厦门月考)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．‎ 变式迁移4　在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.‎ ‎(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．‎ ‎(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.‎ ‎1．等差数列的判断方法有：‎ ‎(1)定义法：an＋1－an＝d (d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q (p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．‎ ‎3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．‎ ‎4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2010·重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为 (　　)‎ A．5 B．‎6 ‎ C．8 D．10‎ ‎2．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝ (　　)‎ A．14 B．‎21 ‎ C．28 D．35‎ ‎3．(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是 (　　)‎ A．4 B．‎5 ‎ C．6 D．7‎ ‎4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为 (　　)‎ A．14 B．‎15 ‎ C．16 D．17‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是 (　　)‎ A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2010·辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.‎ ‎7．(2009·海南，宁夏)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S‎2m－1＝38，则m＝________.‎ ‎8．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·莆田模拟)设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a＝a‎1a4.‎ ‎(1)证明：a1＝d；‎ ‎(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．‎ ‎10．(12分)(2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为 Sn.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎11．(14分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．‎ ‎(1)证明数列{}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项；‎ ‎(3)若λan＋≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．‎ 答案 自主梳理 ‎1．(1)2　差　an＋1－an＝d　(2)A＝　等差中项 ‎2．(1)a1＋(n－1)d　(n－m)d　(2)na1＋d　　3.An2＋Bn　4.(1)am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap　(3)递增数列　递减数列　常数列 自我检测 ‎1．A　2.C　3.A　4.B　5.24‎ 课堂活动区 例1　解题导引　(1)等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．‎ 解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，‎ 得方程组　解得 所以an＝2n＋10.‎ ‎(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242.‎ ‎ 得12n＋×2＝242.‎ 解得n＝11或n＝－22(舍去)．‎ 变式迁移1　解　由题意，知 即 ‎∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.‎ 例2　解题导引　1.等差数列的判定通常有两种方法：‎ 第一种是利用定义，即an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1 (n≥2)．‎ ‎2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．‎ ‎(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．‎ ‎(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．‎ ‎3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．‎ ‎(1)证明　∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝，‎ ‎∴当n≥2时，bn－bn－1＝－ ‎＝－ ‎＝－＝1.‎ 又b1＝＝－.‎ ‎∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋ ‎＝1＋，设函数f(x)＝1＋，‎ 易知f(x)在区间和内为减函数．‎ ‎∴当n＝3时，an取得最小值－1；‎ 当n＝4时，an取得最大值3.‎ 变式迁移2　解　(1)∵a1＝5，∴a2＝‎2a1＋22－1＝13，‎ a3＝‎2a2＋23－1＝33.‎ ‎(2)假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列．‎ 设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.‎ ‎∴2×＝＋.‎ ‎∴＝＋，‎ 解得λ＝－1.‎ 事实上，bn＋1－bn＝－ ‎＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.‎ 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列．‎ 例3　解题导引　本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a1＋d看作整体)．‎ 解　方法一　设此等差数列为{an}共n项，‎ 依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①‎ an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146. ②‎ 根据等差数列性质，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.‎ 将①②两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180，‎ ‎∴a1＋an＝36.‎ 由Sn＝＝＝360，得n＝20.‎ 所以该等差数列有20项．‎ 方法二　设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，‎ 则S5＝‎5a1＋d＝34，①‎ Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d]‎ ‎＝‎5a1＋(5n－15)d＝146.②‎ ‎①②两式相加可得‎10a1＋5(n－1)d＝180，‎ ‎∴a1＋d＝18，‎ 代入Sn＝na1＋d ‎＝n＝360，‎ 得18n＝360，∴n＝20.‎ 所以该数列的项数为20项．‎ 变式迁移3　解　(1)依题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，‎ an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.‎ ‎∴a1＋an＝＝22.‎ ‎∵Sn＝＝286，∴n＝26.‎ ‎(2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，‎ ‎∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54.‎ ‎(3)设项数为2n－1 (n∈N*)，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则 S奇＝＝n·an＝44，‎ S偶＝＝(n－1)·an＝33，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴n＝4，an＝11.‎ ‎∴数列的中间项为11，项数为7.‎ 例4　解题导引　若{an}是等差数列，‎ 求前n项和的最值时，‎ ‎(1)若a1>0，d<0，且满足，前n项和Sn最大；‎ ‎(2)若a1<0，d>0，且满足，前n项和Sn最小；‎ ‎(3)除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.‎ 解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．‎ 设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，‎ 得，∴.‎ ‎∴an＝4n－2.则bn＝an－30＝2n－31.‎ 解得≤n≤.‎ ‎∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值. ∴S15最小．‎ 可知b1＝－29，d＝2，‎ ‎∴S15＝＝－225.‎ 方法二　同方法一求出bn＝2n－31.‎ ‎∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225，‎ ‎∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225.‎ 变式迁移4　解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ ‎∵a16＋a17＋a18＝‎3a17＝－36，‎ ‎∴a17＝－12，∴d＝＝3，‎ ‎∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63，‎ an＋1＝3n－60，‎ 令，得20≤n≤21，‎ ‎∴S20＝S21＝－630，‎ ‎∴n＝20或21时，Sn最小且最小值为－630.‎ ‎(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．‎ 当n≤21时，Tn＝－Sn＝－n2＋n.‎ 当n>21时，Tn＝Sn－2S21＝n2－n＋1 260.‎ 综上，Tn＝.‎ 课后练习区 ‎1．A　2.C　3.B　4.C　5.D ‎6．15　7.10　8.27‎ ‎9．(1)证明　∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a＝a‎1a4，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a＋‎2a1d＋d2＝a＋‎3a1d (d≠0)．化简得a1＝d.…………………………(6分)‎ ‎(2)解　由条件S10＝110和S10＝‎10a1＋d，得到‎10a1＋45d＝110.‎ 由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110，‎ 故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n.‎ 因此，数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.…………………………………………(12分)‎ ‎10．解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，‎ 所以a1＋2d＝7,‎2a1＋10d＝26，‎ 解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………(4分)‎ 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，‎ 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．…………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，‎ 因此bn＝＝.………………………………………………………(8分)‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝＝.‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn＝.…………………………………………………(12分)‎ ‎11．(1)证明　将3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．‎ 所以数列{}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………(4分)‎ ‎(2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，‎ 所以an＝.……………………………………………………………………………(7分)‎ ‎(3)解　若λan＋≥λ对n≥2的整数恒成立，‎ 即＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．‎ 整理得λ≤………………………………………………………………(9分)‎ 令cn＝ cn＋1－cn＝－＝.………………………(11分)‎ 因为n≥2，所以cn＋1－cn>0，‎ 即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝.‎ 所以λ的取值范围为(－∞，]．……………………………………………………(14分)‎