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- 2021-05-13 发布
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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不 等 式 选 讲
一、 解答题
【2018,23】23. [选修4—5:不等式选讲]
已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
【2017,23】已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围.
【2016,23】已知函数.
(Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(Ⅱ)求不等式的解集.
【2015,24】已知函数.
(I)当时求不等式的解集;
(II)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【2014,24)】若,且.
(Ⅰ) 求的最小值;(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
【2013,24】已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【2012,24】已知函数。
(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含[1,2],求的取值范围。
【2011,24】设函数,其中。
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集为 ,求a的值。
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不 等 式 选 讲解 析
一、解答题
【2017,23】已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
【答案】(1).(2).
【解析】分析:(1)将代入函数解析式,求得,利用零点分段将解析式化为,然后利用分段函数,分情况讨论求得不等式的解集为;
(2)根据题中所给的,其中一个绝对值符号可以去掉,不等式可以化为时,分情况讨论即可求得结果.
详解:(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
【2017,23】已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围.
【解析】(1)当时,,是开口向下,对称轴的二次函数.
,当时,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,∴此时解集为.
当时,,.
当时,单调递减,单调递增,且.
综上所述,解集.
(2)依题意得:在恒成立.即在恒成立.
则只须,解出:.故取值范围是.
【2016,23】已知函数.
(Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(Ⅱ)求不等式的解集.
【解析】:⑴ 如图所示:
⑵ ,,
①,,解得或,
②,,解得或,或
③,,解得或,或
综上,或或,解集为
【2015,24】已知函数.
(I)当时求不等式的解集;
(II)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解析:(I)(方法一)当时,不等式可化为,等价于或或,解得.
(方法二)当时,不等式可化为,结合绝对值的几何意义,不等式的含义为:数轴上一点x到点的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.
-1
1
x
设点x到的距离为,到的距离为,结合数轴可知:若x在内,则有解得;故.
若x在内,则有解得;故.
1
x
-1
综上可得.
(Ⅱ)由题设可得,, 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,所以△ABC的面积为.由题设得>6,解得.所以的取值范围为(2,+∞).
【2014,24)】若,且.
(Ⅰ) 求的最小值;(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
【解析】:(Ⅰ) 由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,
∴的最小值为. ……5分
(Ⅱ)由,得,又由(Ⅰ)知,二者矛盾,
所以不存在,使得成立. ……………10分
【2013,24】已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈时,f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈都成立.
故≥a-2,即.
从而a的取值范围是.
【2012,24】已知函数。
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的解集包含[1,2],求的取值范围。
【解析】(1)当时,。
所以不等式可化为
,或,或。
解得,或。
因此不等式的解集为或。
(2)由已知即为,
也即。
若的解集包含[1,2],则,,
也就是,,
所以,,从而,
解得。因此的取值范围为。
【2011,24】设函数,其中。
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集为 ,求a的值。
解:(I)当时,可化为
由此可得或,故不等式的解集为或.
(II)由得
此不等式化为不等式组
或即或.
由于,所以不等式组的解集为.
由题设可得,故.