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- 2021-05-13 发布
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利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
近几年,随着新课标在全国的范围内的实施,高考命题也在悄悄发生变化,在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时,会受到自身研究氛围的影响,有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性,导数中的拐点,拉格朗日中值定理,李普希茨条件,洛必达法则……特别是解答题中的函数与导数题,高等数学的观点尤其突出。虽然高考考试没有要求学生掌握,但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。
例如2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,用初等方法处理,分析难度大,变化技巧高。但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。
一.洛必达法则
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及;
(2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0;
(3),
那么 =。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及;
(2),f(x) 和g(x)在与上可导,且g'(x)≠0;
(3),
那么 =。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及;
(2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0;
(3),
那么=。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,,
洛必达法则也成立。
洛必达法则可处理,,,,,,型。
在着手求极限以前,首先要检查是否满足,,,,,,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。
二.高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数。
(1) 若,求的单调区间;
(2) 若当时,求的取值范围
原解:(1)时,,.
当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加
(II)
由(I)知,当且仅当时等号成立.故
,
从而当,即时,,而,
于是当时,.
由可得.从而当时,
,
故当时,,而,于是当时,.
综合得的取值范围为
原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:
另解:(II)当时,,对任意实数a,均在;
当时,等价于
令(x>0),则,令,则,,
知在上为增函数,;知在上为增函数,;,g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知,,
故
综上,知a的取值范围为。
2.(2011年全国新课标理)已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。
原解:(Ⅰ)
由于直线的斜率为,且过点,故即
解得,。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,,h(x)递减。而故当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设00,故(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时,(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0]
原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:
另解:(II)由题设可得,当时,k<恒成立。
令g(x)=(),则,
再令(),则,,易知在上为增函数,且;故当时,,当x(1,+)时,;
在上为减函数,在上为增函数;故>=0
在上为增函数
=0
当时,,当x(1,+)时,
当时,,当x(1,+)时,
在上为减函数,在上为增函数
由洛必达法则知
,即k的取值范围为(-,0]
规律总结:对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方法。
练习:1.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ln(1+x)-ax (a>0)
若不等式f(x)<0对一切x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围;
答案:
2. 已知函数,∈R.
当时,≤恒成立,求的取值范围.
答案:的取值范围是
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