三校生高考数学常用公式 9页

数学常用公式 一． 代数 1. 集合，函数 1. 元素与集合的关系 , . 2.包含关系 . 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 5.指数式与对数式的互化式 . 6. 指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ; . (2)当 时, ; 7.对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) ; (2) ; (3) . Ux A x C A∈ ⇔ ∉ Ux C A x A∈ ⇔ ∉ A B A A B B= ⇔ =  U UA B C B C A⇔ ⊆ ⇔ ⊆ UA C B⇔ = Φ UC A B R⇔ = 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠ 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠ log b a N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ > 1a > ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  < log ( ) log loga a aMN M N= + log log loga a a M M NN = − log log ( )n a aM n M n R= ∈ 2. 数列 (1)数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ). (2)等差数列的通项公式 ； 其前 n 项和公式为 . (3)等比数列的通项公式 ； 其前 n 项的和公式为 或 . (4) 等 比 差 数 列 : 的 通 项 公 式 为 ； 其前 n 项和公式为 . 3. 不等式 （1）解连不等式 常有以下转化形式 . (2) 常用不等式： （1） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ { }na 1 2n ns a a a= + + + * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   = { }na 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠ 1 ( 1) , 1 ( ) , 11 n n n b n d q a bq d b q d qq − + − = = + − − ≠ − ( 1) ,( 1) 1( ) ,( 1)1 1 1 n n nb n n d q s d q db n qq q q + − = = − − + ≠ − − − ( )N f x M< < ( )N f x M< < ⇔ [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N− − < ⇔ | ( ) |2 2 M N M Nf x + −− < ⇔ ( ) 0( ) f x N M f x − >− ⇔ 1 1 ( )f x N M N >− − ,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥ ,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ (3) 极值定理 已知 都是正数，则有 （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ； （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 . 4. 复数 (1) 复数的相等 .（ ） (2) 复数 的模（或绝对值） = = . (3) 复数的四则运算法则 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . (4) 复数的乘法的运算律，对于任何 ，有 交换律: . 结合律: . 分配律: . (5) 复平面上的两点间的距离公式 （ ， ）. 5. 排列组合与二项式定理 排列数公式 = = .( ， ∈N*，且 )． 注:规定 . 组合数公式 = = = ( ∈N*， ，且 ). 组合数的两个性质 (1) = ;(2) + = . 注:规定 . yx, xy p yx = yx + p2 yx + s yx = xy 2 4 1 s ,a bi c di a c b d+ = + ⇔ = = , , ,a b c d R∈ z a bi= + | |z | |a bi+ 2 2a b+ ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ − + = − + − ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i+ + = − + + 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c dic d c d + −+ ÷ + = + + ≠+ + 1 2 3, ,z z z C∈ 1 2 2 1z z z z⋅ = ⋅ 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z⋅ + = ⋅ + ⋅ 2 2 1 2 2 1 2 1| | ( ) ( )d z z x x y y= − = − + − 1 1 1z x y i= + 2 2 2z x y i= + m nA )1()1( +−− mnnn  ！ ！ )( mn n − n m m n≤ 1!0 = m nC m n m m A A m mnnn ××× +−−   21 )1()1( ！！ ！ )( mnm n −⋅ n m N∈ m n≤ m nC mn nC − m nC 1−m nC m nC 1+ 10 =nC (6) 二项式定理 ; (7) 二项展开式的通项公式 . 二、三角函数 1. 常见三角不等式 (1)若 ，则 . (2) 若 ，则 . 2. 同角三角函数的基本关系式 ， = ， . 3. 和角与差角公式 ; ; . = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ). 4. 二倍角公式 . . 5. 三角函数的周期公式 函数 ，函数 ，周期 ； 函数 ，周期 . 6． 正弦定理 . 7. 余弦定理 ; nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−  222110)( rrnr nr baCT − + =1 )210( nr ，，， = (0, )2x π∈ sin tanx x x< < (0, )2x π∈ 1 sin cos 2x x< + ≤ 2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ θ θ cos sin tan 1cotθ θ⋅ = sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± =  tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b tan b a ϕ = sin 2 sin cosα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 2 2tantan 2 1 tan αα α= − sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + 2T π ω= tan( )y xω ϕ= + T π ω= 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ; . 8. 面积定理 （1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） . 三、向量运算 1. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2. 向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 3. 向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a//b(b 0) . 4. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 5. 平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ，则 a+b= . (2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A ，B ,则 . (4)设 a= ，则 a= . (5)设 a= ,b= ，则 a·b= . 6. 两向量的夹角公式 (a= ,b= ). 7. 平面两点间的距离公式 = (A ，B ). 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch= = = a b ch h h、 、 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = λ λ λ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ ≠ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   ( , ),x y Rλ ∈ λ ( , )x yλ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ += + ⋅ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 8. 向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则 A||b b=λa . a b(a 0) a·b=0 . 9. 线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则 （ ）. 10. 点的平移公式 四、解析几何 1. 直线方程 （1）斜率公式 （ 、 ）. （2）直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )． （2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距). （3）两点式 ( )( 、 ( )). (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， ) （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0). （3）两条直线的平行和垂直 (1)若 ， ① ; 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ ⇔ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = ⊥ ≠ ⇔ 1 2 1 2 0x x y y⇔ + = 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ=  1 2 1 2 1 1 x xx y yy λ λ λ λ + = + + = + ⇔ 1 2 1 OP OPOP λ λ += +   ⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + −   1 1t λ= + x x h x x h y y k y y k  = + = − ⇔ = + = −   OP OP PP⇔ = +  2 1 2 1 y yk x x −= − 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 1( )y y k x x− = − l 1 1 1( , )P x y k y kx b= + l 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − −=− − 1 2y y≠ 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 2x x≠ 1x y a b + = a b、 0a b ≠、 0Ax By C+ + = 1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b⇔ = ≠ ② . (2)若 , ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① ； ② ； （4）夹角公式 (1) . ( ， , ) (2) . ( , , ). 直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 . （5） 到 的角公式 (1) . ( ， , ) (2) . ( , , ). 直线 时，直线 l1 到 l2 的角是 . （6）点到直线的距离 (点 ,直线 ： ). 1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ = − 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 1 1 1 2 2 2 2 || A B Cl l A B C ⇔ = ≠ 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + = 2 1 2 1 tan | |1 k k k k α −= + 1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1k k ≠ − 1 2 2 1 1 2 1 2 tan | |A B A B A A B B α −= + 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ ≠ 1 2l l⊥ 2 π 1l 2l 2 1 2 1 tan 1 k k k k α −= + 1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1k k ≠ − 1 2 2 1 1 2 1 2 tan A B A B A A B B α −= + 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ ≠ 1 2l l⊥ 2 π 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B + += + 0 0( , )P x y l 0Ax By C+ + = 3. 圆锥曲线 (一)圆 （1）圆的四种方程 （1）圆的标准方程 . （2）圆的一般方程 ( ＞0). （2）点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种 若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. （3）直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种: ; ; . 其中 （4）两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ; ; ; ; . . 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 渐近线方程： . 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ − 0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 0<∆⇔⇔> 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd 22 BA CBbAad + ++= dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+<<− rrdrr 条公切线内切 121 ⇔⇔−= rrd 无公切线内含 ⇔⇔−<< 210 rrd 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ 2 2 2 2 0x y a b − = ⇔ xa by ±= 若渐近线方程为 双曲线可设为 . 若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）. （5）二次函数 的图象是抛物线： （1）顶点坐标为 五、立体几何 柱体、锥体的体积 （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）. 六、概率与统计 (1)等可能性事件的概率 . (2)互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． (3) 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (4)独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). (5)n 个 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． (6)n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 xa by ±= ⇔ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x 0>λ 0<λ 2 2 2 4( )2 4 b ac by ax bx c a x a a −= + + = + + ( 0)a ≠ 24( , )2 4 b ac b a a −− 1 3V Sh=柱体 S h 1 3V Sh=锥体 S h ( ) mP A n = n ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P −= −