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- 2021-05-13 发布
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学案65 二项式定理
导学目标: 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
自主梳理
1.二项式定理的有关概念
(1)二项式定理:(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn (n∈N*),这个公式叫做______________.
①二项展开式:右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.
②项数:二项展开式中共有________项.
③二项式系数:在二项展开式中各项的系数________(k=______________)叫做二项式系数.
④通项:在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=____________________.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端________的两个二项式系数相等.
(2)增减性与最大值:当n是偶数时,中间的一项二项式系数________________取得最大值;当n为奇数时,中间的两项二项式系数____________、________________________相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数和:C+C+C+…+C=______,C+C+C+…+C=________,C+C+C+…+C=________.
自我检测
1.(2011·福建)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( )
A.80 B.40 C.20 D.10
2.(2011·陕西)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A.-20 B.-15 C.15 D.20
3.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是( )
A.840 B.-840 C.210 D.-210
4.(2010·四川)6的展开式中的第四项是______.
5.(2011·山东)若(x-)6展开式的常数项为60,则常数a的值为________.
6.(2011·烟台期末)已知n为正偶数,且n的展开式中第4项的二项式系数最大,则第4项的系数是__________.(用数字作答)
探究点一 二项展开式及通项公式的应用
例1 已知在n的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
变式迁移1 (2010·湖北)在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有________项.
探究点二 二项式系数的性质及其应用
例2 (1)求证:C+2C+3C+…+nC=n·2n-1;
(2)求S=C+C+…+C除以9的余数.
变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C+C+…+C+…+C的值.
探究点三 求系数最大项
例3 已知f(x)=(+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
变式迁移3 (1)在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于( )
A.13,14 B.14,15
C.12,13 D.11,12,13
(2)已知n,(ⅰ)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数的最大项的系数;
(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
1.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n (a,b∈R)的展开式中,第r+1项的二项式系数是C,而第r+1项的系数为Can-rbr.
2.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或系数.在运用公式时要注意:Can-rbr是第r+1项,而不是第r项.
3.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得C+C+…+C=2n;令a=1,b=-1,得C-C+C-C+…=0,∴C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1,这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.
4.二项式系数的性质有:(1)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C=C,C=C,C=C,…,C=C.(2)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.
5.二项式定理的一个重要作用是近似计算,当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题,证题时要注意变形的技巧.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011·山东实验中学模拟)在24的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( )
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
2.(2011·重庆)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
3.(2011·黄山期末)在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( )
A.-7 B.7 C.-28 D.28
4.(2010·烟台高三一模)如果n的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中的系数是( )
A.7 B.-7 C.21 D.-21
5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( )
A.74 B.121 C.-74 D.-121
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011·湖北)(x-)18的展开式中含x15的项的系数为__________.(结果用数值表示)
7.(2011·济南高三模拟)已知a=(sin t+cos t)dt,则6的展开式中的常数项为________.
8.10的展开式中的常数项是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(1)设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.
①求a0+a1+a2+a3+a4;
②求a0+a2+a4;
③求a1+a2+a3+a4;
(2)求证:32n+2-8n-9能被64整除(n∈N*).
10.(12分)利用二项式定理证明对一切n∈N*,都有2≤n<3.
11.(14分)(2011·泰安模拟)已知n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
学案65 二项式定理
自主梳理
1.(1)二项式定理 ②n+1 ③C 0,1,2,…,n ④Can-kbk
Can-kbk 2.(1)等距离 (2)
(3)2n 2n-1 2n-1
自我检测
1.B [(1+2x)5的第r+1项为Tr+1=C(2x)r=2rCxr,令r=2,得x2的系数为22·C=40.]
2.C [设展开式的常数项是第r+1项,则Tr+1=C·(4x)r·(-2-x)6-r,即Tr+1=C·(-1)6-r·22rx·2rx-6x=C·(-1)6-r·23rx-6x,∴3rx-6x=0恒成立.∴r=2,∴T3=C·(-1)4=15.∴选C.]
3.A
4.-
5.4
解析 (x-)6展开式的通项为Tr+1=Cx6-r(-1)r·()r·x-2r=Cx6-3r(-1)r·()r.
令6-3r=0,得r=2.故C()2=60,解得a=4.
6.-
课堂活动区
例1 解题导引 (1)通项Tr+1=Can-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项,而不是第r项;二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指C,r=0,1,2,…,n,与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.
(2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一致.
解 (1)通项公式为Tr+1=Cr
=Cr,
因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,
即n=10.
(2)令=2,得r=(n-6)=×(10-6)=2,
∴所求的系数为C2=.
(3)根据通项公式,由题意得
令=k (k∈Z),则10-2r=3k,
即r=5-k,∵r∈N,∴k应为偶数.
∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.
所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为
C2x2,C5,C8x-2.
变式迁移1 6
解析 展开式的通项Tr+1=C·x20-r·(y)r
=C·x20-r·yr·.
由0≤r≤20,∈Z得r=0,4,8,12,16,20.
所以系数为有理数的项共有6项.
例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中,经常用到形如C=C=C,C=C,kC=nC等式子的变形技巧;
(2)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式.求余数问题时,应明确被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围.
(1)证明 方法一 设S=C+2C+3C+…+(n-1)·C+nC,①
∴S=nC+(n-1)C+(n-2)C+…+2C+C
=nC+(n-1)C+(n-2)C+…+2C+C,②
①+②得2S=n(C+C+C+…+C+C)=n·2n.
∴S=n·2n-1.原式得证.
方法二 ∵C=·
==C,
∴kC=nC.
∴左边=nC+nC+…+nC
=n(C+C+…+C)=n·2n-1=右边.
(2)解 S=C+C+…+C=227-1
=89-1=(9-1)9-1
=C×99-C×98+…+C×9-C-1
=9(C×98-C×97+…+C)-2
=9(C×98-C×97+…+C-1)+7,
显然上式括号内的数是正整数.
故S被9除的余数为7.
变式迁移2 解 (1+x)2n=C+Cx+Cx2+Cx3+…+Cx2n.
令x=1得C+C+…+C+C=22n;
再令x=-1得C-C+C-…+(-1)rC+…-C+C=0.
两式相加,再用C=1,
得C+C+…+C=-1=22n-1-1.
例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项:如果n是偶数,则中间一项[第项]的二项式系数最大;如果n是奇数,则中间两项[第项与第项]的二项式系数相等且最大;
(2)求展开式系数最大的项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r+1项系数最大,应用解出r
来,即得系数最大的项.
解 (1)令x=1,则二项式各项系数的和为
f(1)=(1+3)n=4n,
又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知,4n-2n=992.
∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,
∴2n=-31(舍),或2n=32,∴n=5.
由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
T3=C3(3x2)2=90x6,
T4=C2(3x2)3=270.
(2)展开式的通项公式为Tr+1=C3r·.
假设Tr+1项系数最大,则有
∴
∴∴≤r≤,∵r∈N,∴r=4.
变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况:①若仅T7系数最大,则共有13项,n=12;②若T7与T6系数相等且最大,则共有12项,n=11;③若T7与T8系数相等且最大,则共有14项,n=13,所以n的值可能等于11,12,13,故选D.]
(2)解 (ⅰ)∵C+C=2C,∴n2-21n+98=0.
∵n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423=,
T5的系数为C324=70,
当n=14时,展开式中二项式系数的最大的项是T8.
∴T8的系数为C727=3 432.
(ⅱ)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0.
∴n=12或n=-13(舍去).
设Tk+1项的系数最大,
∵12=12(1+4x)12,
∴∴9.4≤k≤10.4.
∴k=10.∴展开式中系数最大的项为T11,
T11=12C410x10=16 896x10.
课后练习区
1.C
2.B [(1+3x)n的展开式中x5的项为C(3x)5=C35x5,展开式中含x6的项为C36x6,由两项的系数相等得C·35=C·36,解得n=7.]
3.B 4.C 5.D
6.17
解析 二项展开式的通项为Tr+1=Cx18-r(-)r=(-1)r()rC.令18-=15,解得r=2.
∴含x15的项的系数为(-1)2()2C=17.
7.-
8.4 351
解析 10=10
=C(1+x)10+C(1+x)9+C(1+x)8+C(1+x)7+C(1+x)6+…,
从第五项C(1+x)6起,后面各项不再出现常数项,前四项的常数项分别是C×C,C×C,C×C,C×C.
故原三项展开式中常数项为
CC+CC+CC+CC=4 351.
9.(1)解 ①令x=1,
得a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(2分)
②令x=-1得,
a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256,
而由(1)知a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16,
两式相加,得a0+a2+a4=136.(4分)
③令x=0得a0=(0-1)4=1,
得a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0
=16-1=15.(6分)
(2)证明 ∵32n+2-8n-9=32·32n-8n-9
=9·9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9
=9(C8n+C8n-1+…+C·8+C·1)-8n-9
(8分)
=9(8n+C8n-1+…+C82)+9·8n+9-8n-9
=9×82×(8n-2+C·8n-3+…+C)+64n
=64[9(8n-2+C8n-3+…+C)+n],
显然括号内是正整数,
∴原式能被64整除.(12分)
10.证明 因为n
=C+C·+C·2+C·3+…+C·n=1+1+·+·+…+·….(4分)
所以2≤n
<2+++…+(6分)
<2+++…+
=2+++…+
=3-<3,(9分)
仅当n=1时,n=2;
当n≥2时,2