福建高考理科数学试题及答案 15页

‎ ‎ ‎2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的共轭复数是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知等差数列中，，则的值是 （ ）‎ ‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎3．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ ）‎ ‎ A．5 B．－5 C． D．‎ ‎4．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：‎ ‎ ①若 ‎ ②若 ‎ ③若 ‎ 其中真命题的个数是 （ ）‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）‎ ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ ‎6．函数的部分图象如图，则 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎7．已知p：则p是q的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，‎ AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）‎ ‎ A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 ‎10．已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设的最小值是 （ ）‎ ‎ A． B． C．－3 D．‎ ‎12．是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。‎ ‎13．展开式中的常数项是 （用数字作答）。‎ ‎14．非负实数满足的最大值为 。‎ ‎15．若常数b满足|b|>1，则 .‎ ‎16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：‎ 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=‎ ‎ 。‎ ‎（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎ （I）求sinx－cosx的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.‎ ‎（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数的图象在点M（－1，f(1)）处的切线方程为x+2y+5=0.‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.‎ ‎（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：‎ ‎（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；‎ ‎（Ⅲ）若，求a的取值范围.‎ 数学（理）试题参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.‎ ‎ 1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.C 12.D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. ‎ ‎13.240 14.9 15.‎ ‎16.如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x)‎ ‎ ③原点，－3－log2(x) ④直线y=x, 2x－3 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分. ‎ ‎ 解法一：（Ⅰ）由 ‎ 即 ‎ ‎ 又 ‎ 故 ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎①②‎ ‎ 解法二：（Ⅰ）联立方程 ‎ 由①得将其代入②，整理得 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.‎ ‎ 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 ‎ ‎ ‎ 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ Eξ=0×+1×+2×=‎ ‎ 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.‎ ‎ （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 ‎ ‎ ‎ ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 ‎ ‎ 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 ‎19．本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学 知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分.‎ ‎ 解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知 ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎20．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想 象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.‎ 解法一：（Ⅰ）平面ACE. ‎ ‎∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）连结BD交AC于G，连结FG，‎ ‎∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，‎ 平面ACE，‎ 由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC. ‎ 是二面角B—AC—E的平面角.‎ 由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又，‎ ‎∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.‎ 又直角 ‎ ‎，‎ ‎∴二面角B—AC—E等于 ‎（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h，‎ ‎ ‎ 平面BCE， ‎ ‎ ‎ ‎∴点D到平面ACE的距离为 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直 线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行 于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，如图.‎ 面BCE，BE面BCE， ，‎ 在的中点，‎ ‎ 设平面AEC的一个法向量为，‎ 则 ‎ 解得 ‎ 令得是平面AEC的一个法向量.‎ ‎ 又平面BAC的一个法向量为，‎ ‎ ‎ ‎ ∴二面角B—AC—E的大小为 ‎（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，‎ ‎∴点D到平面ACE的距离 ‎21．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.‎ ‎（I）解法一：直线， ① ‎ 过原点垂直的直线方程为， ②‎ 解①②得 ‎∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ 解法二：直线.‎ 设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.‎ ‎∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎ ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ ‎（II）解法一：设M（），N（）.‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ‎ ‎ 点O到直线MN的距离 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 整理得 ‎ 当直线m垂直x轴时，也满足.‎ ‎ 故直线m的方程为 ‎ 或或 ‎ 经检验上述直线均满足.‎ 所以所求直线方程为或或 解法二：设M（），N（）.‎ ‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，‎ ‎ ∴|MN|=|ME|+|NE|‎ ‎=‎ ‎ 以下与解法一相同.‎ 解法三：设M（），N（）.‎ ‎ 设直线，代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴=，整理得 ‎ ‎ 解得或 ‎ 故直线m的方程为或或 ‎ 经检验上述直线方程为 ‎ 所以所求直线方程为或或 ‎22．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.‎ ‎ （I）解法一：‎ ‎ ‎ 故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}‎ 解法二：‎ ‎∴ …………‎ 一般地，当a=bn时，可得一个含有n+1项的有穷数列 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=1时，a=b1显然a2=0得到一个含有2项的有穷数列a1，a2。‎ ‎②假设当n=k时，得到一个含有k+1项的有穷数列，则n=k+1时， ∴‎ 由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列 ‎∴当n=k+1时，可得到一个含有k+2项的有穷数列 由①②知，对一切命题都成立。‎ ‎（Ⅲ）要使 ‎∴要使当且仅当它的前一项 ‎ ‎∵ ∴只须当时都有 由 解不等式组 ‎ 故a>0‎