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- 2021-05-13 发布
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专题 9 数形结合
一、填空题
例 1 曲线 ( )与直线 有两个交点时,实数 的
取值范围是
【答案】: 【提示】曲线为圆的一部分,直线恒过定点 (2,4),由图可得有两个
交点时 的范围。
例 2 已知平面向量 满足 且 的夹角为 ,则 的取值范围是
【 答 案 】 : 【 提 示 】 作 出 草 图 , 由
, 故 = 又 ,
例 3 已知向量 , , 则 与 夹角的范围为
【答案】:
【提示】因 说明点 A 的轨迹是以 为圆心, 为半径
的圆,如图,则 与 夹角最大是 最小是
例 4 若对一切 ,复数 的模不超过 2,则实数
的取值范围为
【答案】:
【提示】复数的模 ,可以借助单位圆上一点
和直线 的一点 的距离来理解。
例 5 若 对一切 恒成立,则 的取值范围是
【答案】:
【提示】分别考虑函数 和 的图像
例 6 已 知 抛 物 线 经 过 点 、 与 点 , 其 中
, , 设 函 数 在 和 处 取 到 极 值 , 则
的大小关系为
【答案】
【提示】由题可设 ,
则 ,作出三次函数图象即可。
例 7 若方程 仅有一个实根,那么 的取值范围是
【答案】: 或
(2, 0)OB= (2, 2)OC= ( 2cos , 2sin ),CA α α= OA OB
]12
5,12[
ππ
2(cos ,sin ),CA α α= (2, 2)C 2
OA OB
5 ,4 6 12
π π π+ =
4 6 12
π π π− =
241 xy −+= 22 ≤≤− x ( )24 −=− xky k
5 3,12 4
M
k
, ( 0, )α β α α β≠ ≠ 1,β = α β α− 与 120° α
2 30 3
α< <
1
sin sin 60B
α
°=
α 2 3 sin3 B 0 120B° °< < 0 sin 1B∴ < <
2 30 3
α∴ < <
Rθ ∈ ( cos ) (2 sin )z a a iθ θ= + + −
a
5 5,5 5
−
2 2( cos ) (2 sin ) 2z a aθ θ= + + − ≤
( cos ,sin )θ θ− 2y x= ( ,2 )a a
1 1| | 2x a x
− + ≥ 0x > a
( ,2]−∞
1y x a= − 2
1 1
2y x
= − +
( )y g x= (0, 0)O ( , 0)A m ( 1, 1)P m m+ +
0>> nm ab < )()()( xgnxxf −= ax = bx =
nmba ,,,
b n a m< < <
( ) ( ),( 0)g x kx x m k= − >
( ) ( )( )f x kx x m x n= − −
( )lg 2lg 1kx x= + k
0k < 4k =
x
B
x
y M
【提示】:研究函数 ( )和函数 的图像
例 8 已 知 函 数 , 其 图 象 在 点 (1, ) 处 的 切 线 方 程 为 , 则 它 在 点
处的切线方程为
【答案】:
【提示】:由 可得 关于直线 对称,画出示意图(略),(1, )和 为
关于直线 的对称点,斜率互为相反数,可以快速求解。
例 9 直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是__________
【答案】:
【提示】研究 ,作出图象,如图所示.此曲线与 轴交于 点,
最小值为 ,要使 与其有四个交点,只需 ,∴
例 10 已知:函数 满足下面关系:① ;
②当 时, .则方程 解的个数是
【答案】:9
【提示】:由题意可知, 是以 2 为周期,值域为[0,1]的函数.
画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.又∵ ,
∴ 由图象可知共 9 个交点.
例 11 设 定 义 域 为 函 数 , 则 关 于 的 方 程
有 7 个不同实数解的充要条件是
【答案】:
【提示】:由 的图象可知要使方程有 7 个解,应有 有 3 个解, 有 4 个解。
例 12 已知 是实数,函数 ,若函数 有且仅有两个零点,则
实数 的取值范围是_____________
【答案】:(-∞,-1)∪(1,+∞)
【提示】易知 ,即 ,变形得 ,分别画出函
数 , 的图象(如图所示),由图易知:
当 或 时, 和 的图象有两个不同的交点,
∴当 或 时,函数 有且仅有两个零点。
例 13 已知 且 , ,则
的最大值为
【答案】:
【提示】令 ,这时问题转化为:
,求 的最值.
例 14 函数 的值域是
1y kx= 1 0y > 2
2 ( 1) ,( 1)y x x= + > −
2 1( )
( 2) 1
ax bx c xf x
f x x
+ + ≥ −= − − < −
(1)f 2 1y x= +
( 3, ( 3))f− −
2 3 0x y+ + =
( ) ( 2)f x f x= − − ( )f x 1x = − (1)f ( 3, ( 3))f− −
1x = −
1y = 2y x x a= − + a
51 4a< <
2
2
, 0
, 0
x x a xy
x x a x
− + ≥= + + <
y (0, )a
1
4a − 1y = 1 14a a− < < 51 4a< <
( )f x ( 1) ( 1)f x f x+ = −
[ ]1,1x∈ − 2( )f x x= ( ) lgf x x=
( )f x
lg10 1=
R
=
≠−=
10
11lg)(
x
xxxf x
0)()(2 =++ cxbfxf
0, 0c b= <
)(xf 0)( =xf 0)( ≠xf 0,0 <=∴ bc
a ( ) 2 2f x a x x a= + − ( )y f x=
a
0, ( ) 0a f x≠ =由 2 2 0a x x a+ − = 1 1
2x xa
− = −
1
1
2y x= − 2
1y xa
= −
10 1a
< − < 11 0a
− < − < 1y 2y
1a < − 1a > ( )y f x=
1, 1,m n≥ ≥ 2 2 2 2log log log ( ) log ( ) 2a a a am n am an+ = + − ( 1)a >
log ( )a mn
2 2 2+
log , loga ax m y n= =
2 2( 1) ( 1) 4,( 0, 0)x y x y− + − = ≥ ≥ x y+
2 4 6u t t= + + −
y
2 2
0 4 x
【答案】:
【提示】可令 消去 t 得: 所给函数化为含参数 u 的直线系
y=-x+u,如图知 ,当直线与椭圆相切于第一象限时 u 取最大值,此时由方程组 ,
则 ,由 因直线过第一象限, ,故所求函数的值域
为
例 15 已知定义在 上的函数 满足下列三个条件:①对任意的 都有
;②对任意的 ,都有 ;③
的图象关于 轴对称.则 的大小关系是
【答案】: .
【提示】由①: ;由②: 在 上是增函数;由③: ,所以 的图象关
于直线 对称.
由此,画出示意图便可比较大小.
例 16 关于曲线 : 的下列说法:①关于原点对称;②关于直线 对称;③是封闭图形,
面积大于 ;④不是封闭图形,与圆 无公共点;⑤与曲线 : 的四个交点恰为
正方形的四个顶点,其中正确的序号是
【答案】:①②④⑤
【提示】研究曲线 : 的图像,与坐标轴没有交点,不是封闭图形,且 时, ;
时 ,作出草图即可
二、解答题
例 17 设 ,试求方程 有解时 的取值范围:
【提示】将原方程化为
,且
令 ,它表示倾角为 的直线系,
令 ,它表示焦点在 轴上,顶点为
的等轴双曲线在 轴上方的部分,
原方程有解
两个函数的图象有交点,由图像知 或
的取值范围
例 18 已知函数 当 时,总有 .
(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数 ,求证:当 时, 的充要条件是 .
【提示】(Ⅰ)由条件,得 ,
当 时,总有 ,结合 的图像,所以有
π2
),2,(12
1
3
1)( 23 −≥∈+++= bRbabxaxxxf 且、 ]2,2[−∈x 0)( ≤′ xf
)(6)(3)( 2 Rmxmxxfxg ∈−+−= ]1,0[∈x 1|)(| ≤′ xg 31 ≤≤ m
baxxbxaxxf ++=+⋅+⋅=′ 22 22
133
1)(
]2,2[−∈x 0)( ≤′ xf
2 2,2 6
2 4, 6x t y t= + = − 2 22 16(0 4,0 2 2),x y x y+ = ≤ ≤ ≤ ≤
min 2 2u = 2 22 16
y x u
x y
= − +
+ =
2 23 4 2 16 0x ux u− + − = 0 2 6,u∆ = ⇔ = ± max 2 6u∴ =
2 2,2 6
R ( )y f x= x R∈
( 4) ( )f x f x+ = 1 20 2x x≤ < ≤ 1 2( ) ( )f x f x<
( 2)y f x= + y (4.5), (6.5), (7)f f f
(4.5) (7) (6.5)f f f< <
4T = ( )f x [ ]0,2 ( 2) ( 2)f x f x− + = + ( )f x
2x =
C 2 2 1x y− −+ = 0x y+ =
2 2 2x y+ = D 2 2x y+ =
C 2 2 1x y− −+ = 2x → +∞ 2 1y →
2y → +∞ 2 1x →
a a> ≠0 1且 )(log)(log 22
2 axakx aa −=− k
log ( ) loga ax ak x a− = −2 2
∴ − = −x ak x a2 2 x ak x a− > − >0 02 2,
y x ak1 = − 45° y1 0>
y x a2
2 2= − x
( ) ( )−a a, , ,0 0 x y2 0>
∴ − >ak a − < −
≤+−=′
;10|)0(|
,13
,1|23||)1(|
g
m
mg
≤=′
<
≤+−=′
.10|)0(|
,03
,1|23||)1(|
g
m
mg
31 ≤≤ m
]1,0[∈x 1|)(| ≤′ xg 31 ≤≤ m
2b ≥ − 2b = − 2b = −
( )y g x′=
2( ) 3f x x x= − [ ]0,x m∈ m R∈ 0m >
( )f x [ ]0,2 m
( )f x 20, mλ λ
2( ) 3f x x x= − 0x ≥
3
3
3 ,(0 3)( )
3 ,( 3)
x x xf x
x x x
− ≤ ≤=
− >
0 3x≤ ≤ 2( ) 3 3 0f x x′ = − = 1x =
( )f x [ ]0,1 1, 3
3x > 2( ) 3 3 0f x x′ = − > ( )f x )3, +∞
0, 3x ∈ ( )f x (1) 2f = (0) ( 3) 0f f= =
0 1m< < 1 3m≤ ≤
3m > 0, 3x ∈ [ ]( ) 0,2f x ∈
( 3,x m∈ [ ]( ) 0, ( )f x f m∈
( )f x [ ]0,2 ( ) 2f m ≤
3 3 2m m− ≤ 3 2m< ≤
m [ ]1,2
0 1m< < ( )f x 3( ) 3f m m m= − 3 23m m mλ− =
3 mm
λ = − ( )mλ λ ( )2,+∞
1 2m≤ ≤ ( )f x (1) 2f =
①
②
由题意知, ,即 且是减函数,故 的取值范围是 ;
③当 时,函数 的最大值是 ,
由题意知, ,即 且是增函数,故 的取值范围是 .
综上所述, 的最小值是 ,且此时 .
例 20 已知函数 , .
⑴若关于 的方程 只有一个实数解,求实数 的取值范围;
⑵若当 时,不等式 恒函数成立,求实数 的取值范围;
⑶求函数 在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).
【提示】(1)方程 ,即 ,变形得 ,显然, 已是该方程的
根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 ,有且仅有一个等于 1 的解或无解 ,结合图形得 .
(2)不等式 对 恒成立,即 (*)对 恒成立,
①当 时,(*)显然成立,此时 ;
②当 时,(*)可变形为 ,令
因为当 时, ,当 时, ,故此时 .
综合①②,得所求实数 的取值范围是 .
(3)因为 =
① 当 时,结合图形可知 在 上递减,在 上递增,
且 ,经比较,此时 在 上的最大值为 .
② 当 时,结合图形可知 在 , 上递减,
在 , 上递增,且 , ,
经比较,知此时 在 上的最大值为 .
③ 当 时,结合图形可知 在 , 上递减,
在 , 上递增,且 , ,
22 mλ=
2
2
m
λ = λ 1 ,22
2m > ( )f x 3( ) 3f m m m= −
3 23m m mλ− = 3m m
λ = − λ 1 ,2
+∞
λ 1
2 2m =
1)( 2 −= xxf |1|)( −= xaxg
x )(|)(| xgxf = a
Rx ∈ )()( xgxf ≥ a
)(|)(|)( xgxfxh +=
| ( ) | ( )f x g x= 2| 1| | 1|x a x− = − | 1| (| 1| ) 0x x a− + − = 1x =
| 1|x a+ = 0a <
( ) ( )f x g x≥ x∈R 2( 1) | 1|x a x− −≥ x∈R
1x = a∈R
1x ≠
2 1
| 1|
xa x
−≤ −
2 1, ( 1),1( ) ( 1), ( 1).| 1|
x xxx x xx
ϕ + >−= = − + <−
1x > ( ) 2xϕ > 1x < ( ) 2xϕ > − 2a −≤
a 2a −≤
2( ) | ( ) | ( ) | 1| | 1|h x f x g x x a x= + = − + −
2
2
2
1, ( 1),
1, ( 1 1),
1, ( 1).
x ax a x
x ax a x
x ax a x
+ − −
− − + + − <
− + − < −
≤
≥
1, 22
a a> >即 ( )h x [ 2,1]− [1,2]
( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = + ( )h x [ 2,2]− 3 3a +
0 1, 22
a a即0≤ ≤ ≤ ≤ ( )h x [ 2, 1]− − [ ,1]2
a−
[ 1, ]2
a− − [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = +
2
( ) 12 4
a ah a− = + +
( )h x [ 2,2]− 3 3a +
1 0, 02
a a− < <即- 2≤ ≤ ( )h x [ 2, 1]− − [ ,1]2
a−
[ 1, ]2
a− − [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = +
2
( ) 12 4
a ah a− = + +
经比较,知此时 在 上的最大值为 .
④ 当 时,结合图形可知 在 , 上递减,
在 , 上递增,且 , ,
经比较,知此时 在 上的最大值为 .
当 时,结合图形可知 在 上递增,在 上递减,
故此时 在 上的最大值为 .
综上,当 时, 在 上的最大值为 ;
当 时, 在 上的最大值为 ;
当 时, 在 上的最大值为 0.
专题 9 数形结合
一、填空题
例 1 曲线 ( )与直线 有两个交点时,实数 的取值范围是
( )h x [ 2,2]− 3a +
3 1, 22 2
a a− < − < −即- 3≤ ≤ ( )h x [ 2, ]2
a− [1, ]2
a−
[ ,1]2
a [ ,2]2
a− ( 2) 3 3 0h a− = + < (2) 3 0h a= + ≥
( )h x [ 2,2]− 3a +
3 , 32 2
a a< − < −即 ( )h x [ 2,1]− [1,2]
( )h x [ 2,2]− (1) 0h =
0a≥ ( )h x [ 2,2]− 3 3a +
3 0a− <≤ ( )h x [ 2,2]− 3a +
3a < − ( )h x [ 2,2]−
241 xy −+= 22 ≤≤− x ( )24 −=− xky k
例 2 已知平面向量 满足 且 的夹角为 ,则 的取值范围是
例 3 已知向量 , , 则 与 夹角的范围为
例 4 若对一切 ,复数 的模不超过 2,则实数 的取值范围为
例 5 若 对一切 恒成立,则 的取值范围是
例 6 已知抛物线 经过点 、 与点 ,其中 , ,设函数
在 和 处取到极值,则 的大小关系为
例 7 若方程 仅有一个实根,那么 的取值范围是
例 8 已 知 函 数 , 其 图 象 在 点 (1, ) 处 的 切 线 方 程 为 , 则 它 在 点
处的切线方程为
例 9 直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是__________
例 10 已知:函数 满足下面关系:① ;
②当 时, .则方程 解的个数是
例 11 设定义域为 函数 ,则关于 的方程 有 7 个不同实数解的
充要条件是
例 12 已知 是实数,函数 ,若函数 有且仅有两个零点,则实数 的取值范围是
_____________
例 13 已知 且 , ,则 的最大值为
例 14 函数 的值域是
例 15 已知定义在 上的函数 满足下列三个条件:①对任意的 都有 ;②对任意
的 ,都有 ;③ 的图象关于 轴对称.则 的大小
关系是
例 16 关于曲线 : 的下列说法:①关于原点对称;②关于直线 对称;③是封闭图形,
面积大于 ;④不是封闭图形,与圆 无公共点;⑤与曲线 : 的四个交点恰为
正方形的四个顶点,其中正确的序号是
二、解答题
例 17 设 ,试求方程 有解时 的取值范围:
(2, 0)OB= (2, 2)OC= ( 2cos , 2sin ),CA α α= OA OB
π2
, ( 0, )α β α α β≠ ≠ 1,β = α β α− 与 120° α
Rθ ∈ ( cos ) (2 sin )z a a iθ θ= + + − a
1 1| | 2x a x
− + ≥ 0x > a
( )y g x= (0, 0)O ( , 0)A m ( 1, 1)P m m+ + 0>> nm ab <
)()()( xgnxxf −= ax = bx = nmba ,,,
( )lg 2lg 1kx x= + k
2 1( )
( 2) 1
ax bx c xf x
f x x
+ + ≥ −= − − < −
(1)f 2 1y x= +
( 3, ( 3))f− −
1y = 2y x x a= − + a
( )f x ( 1) ( 1)f x f x+ = −
[ ]1,1x∈ − 2( )f x x= ( ) lgf x x=
R
=
≠−=
10
11lg)(
x
xxxf x 0)()(2 =++ cxbfxf
a ( ) 2 2f x a x x a= + − ( )y f x= a
1, 1,m n≥ ≥ 2 2 2 2log log log ( ) log ( ) 2a a a am n am an+ = + − ( 1)a > log ( )a mn
2 4 6u t t= + + −
R ( )y f x= x R∈ ( 4) ( )f x f x+ =
1 20 2x x≤ < ≤ 1 2( ) ( )f x f x< ( 2)y f x= + y (4.5), (6.5), (7)f f f
C 2 2 1x y− −+ = 0x y+ =
2 2 2x y+ = D 2 2x y+ =
a a> ≠0 1且 )(log)(log 22
2 axakx aa −=− k
例 18 已知函数 当 时,总有 .
(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数 ,求证:当 时, 的充要条件是 .
例 19 已知函数 , ,其中 ,且 .
(1) 如果函数 的值域是 ,试求 的取值范围;
(2) 如果函数 的值域是 ,试求实数 的最小值.
例 20 已知函数 , .
⑴若关于 的方程 只有一个实数解,求实数 的取值范围;
⑵若当 时,不等式 恒函数成立,求实数 的取值范围;
⑶求函数 在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).
),2,(12
1
3
1)( 23 −≥∈+++= bRbabxaxxxf 且、 ]2,2[−∈x 0)( ≤′ xf
)(6)(3)( 2 Rmxmxxfxg ∈−+−= ]1,0[∈x 1|)(| ≤′ xg 31 ≤≤ m
2( ) 3f x x x= − [ ]0,x m∈ m R∈ 0m >
( )f x [ ]0,2 m
( )f x 20, mλ λ
1)( 2 −= xxf |1|)( −= xaxg
x )(|)(| xgxf = a
Rx ∈ )()( xgxf ≥ a
)(|)(|)( xgxfxh +=