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- 2021-05-13 发布
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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-3不等式选讲课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(2012·安徽“江南十校”联考)已知集合M＝{x||2x－1|<2}，N＝{x|<1}，则M∩N等于( )
A．{x|11.因此M∩N＝{x|10的解集为( )
A．(－∞，) B．(－∞，－)
C．(，＋∞) D．(－，＋∞)
[答案] A
[解析] 原不等式等价于|x－2|>|x－1|，则(x－2)2>(x－1)2，解得x<.
3．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a、b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
[答案] D
[解析] 由题意可得集合A＝{x|a－1b＋2}，又因为A⊆B，所以有a＋1≤b－2或b＋2≤a－1，即a－b≤－3或a－b≥3.因此选D.
4．(文)若不等式|ax＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a等于( )
A．8 B．2
C．－4 D．－2
[答案] D
[解析] 由－40，则＋的最小值为________．
[答案]
[解析] 因为＋＝＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋的最小值是.
6．(文)不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，2)
[解析] 由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
(理)(2013·昆明重点中学检测)已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－1,2]
[解析] 设y＝，x∈[2,6]，则y′＝－<0，则y＝在区间[2,6]上单调递减，则ymin＝＝，故不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立等价于|a2－a|≤成立，等价于解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1,2]．
7．(2013·陕西)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
[答案] (－∞，＋∞)
[解析] ∵|x－a|＋|x－b|≥|a－b|>2，
∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，则解集为R.
8．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] －2≤a≤4
[解析] |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
9．若a>0，b>0，则p＝(ab)，q＝ab·ba的大小关系是________．
[答案] p≥q
[解析] ∵a>0，b>0，∴p＝(ab)>0，q＝ab·ba>0，
＝＝a·b＝.
若a>b，则>1，>0，∴>1；
若a1；
若a＝b，则＝1，＝0，∴＝1.
∴≥1，即≥1.∵q>0，∴p≥q.
[点评] 可运用特值法，令a＝1，b＝1，则p＝1，q＝1，有p＝q；
令a＝2，b＝4，有p＝83＝512，q＝24×42＝256，∴p>q，故填p≥q.
三、解答题
10．(文)已知函数f(x)＝|x－7|－|x－3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当x<5时，不等式|x－8|－|x－a|>2恒成立，求a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＝
图象如图所示：
(2)∵x<5，∴|x－8|－|x－a|>2，即8－x－|x－a|>2，
即|x－a|<6－x，对x<5恒成立．
即x－6－，此时－0，又由绝对值不等式的性质知，|x＋log3x|≤|x|＋|log3x|，当且仅当x与log3x同号时等号成立，∵x>0，∴log3x>0，∴x>1，故原不等式的解集为{x|00；
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．
[解析] (1)由f(x)＋a－2>0得|x－3|>2－a，
∴x－3>2－a或x－35－a或xg(x)恒成立，即m<|x－3|＋|x＋4|恒成立．
∵|x－3|＋|x＋4|≥|(x－3)－(x－4)|＝7，
∴m的取值范围为m<7.
14．(2013·新课标Ⅱ理，24)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[解析] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得，
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
15．(文)设不等式|2x－1|<1的解集是M，a、b∈M.
(1)试比较ab＋1与a＋b的大小；
(2)设max表示数集A中的最大数．h＝max{，，}，求证：h≥2.
[解析] 由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00.
故ab＋1>a＋b.
(2)由h＝max{，，}，得
h≥，h≥，h≥，
所以h3≥··＝≥8，故h≥2.
(理)已知a、b为正实数．
(1)求证：＋≥a＋b；
(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(00，b>0，
∴(a＋b)(＋)＝a2＋b2＋＋
≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．
证法二：∵＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又∵a>0，b>0，∴≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．∴＋≥a＋b.
(2)解：∵00，
由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．
∴函数y＝＋(0b⇔a－b>0，a－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n>1＋nx.
备选习题
1．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则＋＋的最大值为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] (a＋2b＋3c)[()2＋12＋()2]
≥(＋＋)2，
∵a＋2b＋2c＝13，∴(＋＋)2≤，
∴＋＋≤，
当且仅当＝＝取等号，
又∵a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝时，＋＋取最大值.
2．(2013·陕西检测)若不等式|x＋1|＋|x－m|<6的解集为∅，则实数m的取值范围为________．
[答案] [5，＋∞)∪(－∞，－7]
[解析] ∵不等式的解集为空集，|x＋1|＋|x－m|≥|m＋1|，∴只需|m＋1|≥6，∴m的取值范围为[5，＋∞)∪(－∞，－7]．
3．(2013·云南玉溪一中月考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.
(1)当m＝5时，求f(x)>0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．
[解析] (1)由题设知|x＋1|＋|x－2|>5，
或
或
解得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|≥m＋2，
∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，
∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．
4．(1)解关于x的不等式x＋|x－1|≤3；
(2)若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，求实数a的取值范围．
[解析] 设f(x)＝x＋|x－1|，则f(x)＝
(1)当x≥1时，2x－1≤3，∴1≤x≤2，
又x<1时，不等式显然成立，
∴原不等式的解集为{x|x≤2}．
(2)由于x≥1时，函数y＝2x－1是增函数，其最小值为f(1)＝1；
当x<1时，f(x)＝1，∴f(x)的最小值为1.
因为x＋|x－1|≤a有解，即f(x)≤a有解，所以a≥1.
5．(2013·辽宁理，24)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
[解析] (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|
＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当21，
∴x≤0时，h(x)＝－2a<－2，x≥a时，h(x)＝2a>2，
而已知不等式|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
∴不等式|h(x)|≤2化为
即
∵a>1，∴>0，1，|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
∴|h(x)|≤2，即|4x－2a|≤2.
此不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
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