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- 2021-05-13 发布
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难点38 分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
●难点磁场
1.(★★★★★)若函数在其定义域内有极值点,则a的取值为 .
2.(★★★★★)设函数f(x)=x2+|x–a|+1,x∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的最小值.
●案例探究
[例1]已知{an}是首项为2,公比为的等比数列,Sn为它的前n项和.
(1)用Sn表示Sn+1;
(2)是否存在自然数c和k,使得成立.
命题意图:本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力,属★★★★★级题目.
知识依托:解决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式不等式;数列的基本性质.
错解分析:第2问中不等式的等价转化为学生的易错点,不能确定出.
技巧与方法:本题属于探索性题型,是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时,采取优化结论的策略,并灵活运用分类讨论的思想:即对双参数k,c轮流分类讨论,从而获得答案.
解:(1)由Sn=4(1–),得
,(n∈N*)
(2)要使,只要
因为
所以,(k∈N*)
故只要Sk–2<c<Sk,(k∈N*)
因为Sk+1>Sk,(k∈N*) ①
所以Sk–2≥S1–2=1.
又Sk<4,故要使①成立,c只能取2或3.
当c=2时,因为S1=2,所以当k=1时,c<Sk不成立,从而①不成立.
当k≥2时,因为,由Sk<Sk+1(k∈N*)得
Sk–2<Sk+1–2
故当k≥2时,Sk–2>c,从而①不成立.
当c=3时,因为S1=2,S2=3,
所以当k=1,k=2时,c<Sk不成立,从而①不成立
因为,又Sk–2<Sk+1–2
所以当k≥3时,Sk–2>c,从而①成立.
综上所述,不存在自然数c,k,使成立.
[例2]给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=–1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
命题意图:本题考查动点的轨迹,直线与圆锥曲线的基本知识,分类讨论的思想方法.综合性较强,解法较多,考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托:求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.
错解分析:本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件,构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.
技巧与方法:精心思考,发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发,探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.
解法一:依题意,记B(–1,b),(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx.
设点C(x,y),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等.
根据点到直线的距离公式得|y|= ①
依题设,点C在直线AB上,故有
由x–a≠0,得 ②
将②式代入①式,得y2[(1–a)x2–2ax+(1+a)y2]=0
若y≠0,则
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)
若y=0则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0)满足上式.
综上,得点C的轨迹方程为
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a
(i)当a=1时,轨迹方程化为y2=x(0≤x<1 ③
此时方程③表示抛物线弧段;
(ii)当a≠1,轨迹方程化为
④
所以当0<a<1时,方程④表示椭圆弧段;
当a>1时,方程④表示双曲线一支的弧段.
解法二:如图,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x轴,E是垂足.
(i)当|BD|≠0时,
设点C(x,y),则0<x<a,y≠0
由CE∥BD,得.
∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD
∴2∠COA=π–∠BOD
∴
∵
∴整理,得
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)
(ii)当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式.
综合(i)、(ii),得点C的轨迹方程为
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)
以下同解法一.
解法三:设C(x,y)、B(–1,b),则BO的方程为y=–bx,直线AB的方程为
∵当b≠0时,OC平分∠AOB,设∠AOC=θ,
∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是
又tan2θ=–b
∴–b= ①
∵C点在AB上
∴ ②
由①、②消去b,得 ③
又,代入③,有
整理,得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④
当b=0时,即B点在x轴上时,C(0,0)满足上式:
a≠1时,④式变为
当0<a<1时,④表示椭圆弧段;
当a>1时,④表示双曲线一支的弧段;
当a=1时,④表示抛物线弧段.
●锦囊妙计
分类讨论思想就是依据一定的标准,对问题分类、求解,要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是:
1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.
2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.
3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见,但不明显、有些应用问题也需分类讨论.
在学习中也要注意优化策略,有时利用转化策略,如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)已知其中a∈R,则a的取值范围是( )
A.a<0 B.a<2或a≠–2
C.–2<a<2 D.a<–2或a>2
2.(★★★★★)四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )
A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
二、填空题
3.(★★★★)已知线段AB在平面α外,A、B两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面α的距离为 .
4.(★★★★★)已知集合A={x|x2–3x+2=0},B={x|x2–ax+(a–1)=0},C={x|x2–mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,则a的值为 ,m的取值范围为 .
三、解答题
5.(★★★★)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},A,B同时满足:
①A∩B≠,②A∩B={–2}.求p、q的值.
6.(★★★★)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.
(1)求x1、x2和xn的表达式;
(2)计算xn;
(3)求f(x)的表达式,并写出其定义域.
8.(★★★★★)已知a>0时,函数f(x)=ax–bx2
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2b;
(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b–1≤a≤2;
(3)当0<b≤1时,讨论:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件.
参 考 答 案
●难点磁场
1.解析:即f(x)=(a–1)x2+ax–=0有解.
当a–1=0时,满足.当a–1≠0时,只需Δ=a2–(a–1)>0.
答案:或a=1
2.解:(1)当a=0时,函数f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)
此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+
若a≤,则函数f(x)在(–∞,a]上单调递减.
从而函数f(x)在(–∞,a上的最小值为f(a)=a2+1
若a>,则函数f(x)在(–∞,a上的最小值为f()=+a,且f()≤f(a).
②当x≥a时,函数f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+
若a≤–,则函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(–)=–a,且f(–)≤f(a);
若a>–,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.
从而函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当a≤–时,函数f(x)的最小值为–a;
当–<a≤时,函数f(x)的最小值是a2+1;
当a>时,函数f(x)的最小值是a+.
●歼灭难点训练
一、1.解析:分a=2、|a|>2和|a|<2三种情况分别验证.
答案:C
2.解析:任取4个点共C=210种取法.四点共面的有三类:(1)每个面上有6个点,则有4×C=60种取共面的取法;(2)相比较的4个中点共3种;(3)一条棱上的3点与对棱的中点共6种.
答案:C
二、3.解析:分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.
答案:1或2
4.解析:A={1,2},B={x|(x–1)(x–1+a)=0},
由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2;
由A∩C=C,可知C={1}或.
答案:2或3 3或(–2,2)
三、5.解:设x0∈A,x0是x02+px0+q=0的根.
若x0=0,则A={–2,0},从而p=2,q=0,B={–}.
此时A∩B=与已知矛盾,故x0≠0.
将方程x02+px0+q=0两边除以x02,得
.
即满足B中的方程,故∈B.
∵A∩={–2},则–2∈A,且–2∈.
设A={–2,x0},则B={},且x0≠2(否则A∩B=).
若x0=–,则–2∈B,与–2B矛盾.
又由A∩B≠,∴x0=,即x0=±1.
即A={–2,1}或A={–2,–1}.
故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2,1或–2,–1
∴
6.解:如图,设MN切圆C于N,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|,λ>0}.
∵ON⊥MN,|ON|=1,
∴|MN|2=|MO|2–|ON|2=|MO|2–1
设动点M的坐标为(x,y),
则
即(x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.
经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故方程为所求的轨迹方程.
(1)当λ=1时,方程为x=,它是垂直于x轴且与x轴相交于点(,0)的直线;
(2)当λ≠1时,方程化为:
它是以为圆心,为半径的圆.
7.解:(1)依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1,函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段,故由
∴x1=1
又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段,故由
即x2–x1=
∴x2=1+
记x0=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn–1,故得
又由f(xn)=n,f(xn–1)=n–1
∴xn–xn–1=()n–1,n=1,2,……
由此知数列{xn–xn–1}为等比数列,其首项为1,公比为.
因b≠1,得(xk–xk–1)
=1++…+
即xn=
(2)由(1)知,当b>1时,
当0<b<1,n→∞, xn也趋于无穷大.xn不存在.
(3)由(1)知,当0≤y≤1时,y=x,即当0≤x≤1时,f(x)=x;
当n≤y≤n+1,即xn≤x≤xn+1由(1)可知
f(x)=n+bn(x–xn)(n=1,2,…),由(2)知
当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,);
当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
8.(1)证明:依设,对任意x∈R,都有f(x)≤1
∵
∴≤1
∵a>0,b>0
∴a≤2.
(2)证明:必要性:
对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1–1≤f(x),据此可以推出–1≤f(1)
即a–b≥–1,∴a≥b–1
对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1f(x)≤1.
因为b>1,可以推出f()≤1即a·–1≤1,
∴a≤2,∴b–1≤a≤2
充分性:
因为b>1,a≥b–1,对任意x∈[0,1].
可以推出ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1
即ax–bx2≥–1
因为b>1,a≤2,对任意x∈[0,1],可以推出ax–bx2≤2x–bx2≤1
即ax–bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1
综上,当b>1时,对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b–1≤a≤2.
(3)解:∵a>0,0<b≤1
∴x∈[0,1],f(x)=ax–bx2≥–b≥–1
即f(x)≥–1
f(x)≤1f(1)≤1a–b≤1
即a≤b+1
a≤b+1f(x)≤(b+1)x–bx2≤1
即f(x)≤1
所以当a>0,0<b≤1时,对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是a≤b+1.