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- 2021-05-13 发布
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2011高考数学三轮复习必做的数列综合题
1.数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为 ,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有 2;
(Ⅲ) 正数数列中,.求数列中的最大项.
(Ⅰ)解:由已知:对于,总有 ①成立
∴ (n ≥ 2)②
①--②得
∴
∵均为正数,∴ (n ≥ 2)
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时,, 解得=1
∴.()
(Ⅱ)证明:∵对任意实数和任意正整数n,总有≤.
∴
(Ⅲ)解:由已知 ,
易得
猜想 n≥2 时,是递减数列.
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为.
2.设f1(x)=,定义fn+1 (x)= f1[fn(x)],an =(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若,Qn=(n∈N*),试比较9T2n与
Qn的大小,并说明理由.
解:(1)∵f1(0)=2,a1==,fn+1(0)= f1[fn(0)]=,
∴an+1==== -= -an.
∴数列{an}是首项为,公比为-的等比数列,∴an=()n-1.
(2)∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n,
∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n-1+2na2 n
= a 2+2a 3+…+(2n-1)a2 n-na2 n.
两式相减,得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n.
∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.
T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-).
∴9T2n=1-.
又Qn=1-,
当n=1时,22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n<Q n;
当n=2时,22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n<Qn;
当n≥3时,,
∴9T2 n>Q n.
3. 设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;
(2)设bn=2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;
(3)记,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值
范围.
(1)f(1)=3
f(2)=6
当x=1时,y=2n,可取格点2n个;当x=2时,y=n,可取格点n个
∴f(n)=3n
(2)由题意知:bn=3n·2n
Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n-1)·2n-1+3n·2n
∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n-1)·2n+3n·2n+1
∴-Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n-3n·2n+1
=3(2+22+…+2n)-3n·2n+1
=3·
=3(2n+1-2)-3nn+1
∴-Sn=(3-3n)2n+1-6
Sn=6+(3n-3)2n+1
(3)
∴T1T4>…>Tn
故Tn的最大值是T2=T3=
∴m≥。
4.已知,且,数列的前项和为,它满足条件.数列中,·.
(1)求数列的前项和;
(2)若对一切都有,求的取值范围.
解:(1) ,∴
当时,.
当≥2时,=,∴
此时··=·,
∴……=……+
设……+,
∴……,
∴
∴· ……6分
(2)由可得
①当时,由,可得
∴对一切都成立,
∴此时的解为.
②当时,由 可得
≥∴对一切都成立,
∴此时的解为.
由①,②可知
对一切,都有的的取值范围是或. ……14分
5、已知函数()。
(Ⅰ)若且,则称为的实不动点,求的实不动点;
(II)在数列中,,(),求数列的通项公式。
解:(Ⅰ)由及得
或(舍去),
所以或,即的实不动点为或;
(II)由条件得,从而有
,
由此及知:数列是首项为,公比为的等比数列,故有
()。
6、已知函数,点,是函数图像上的两个点,且线段的中点的横坐标为.
⑴求证:点的纵坐标是定值;
⑵若数列的通项公式为,求数列的前m项的和;
⑶若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:⑴由题可知:,所以,
点的纵坐标是定值,问题得证.
⑵由⑴可知:对任意自然数,恒成立.
由于,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于:
所以, 所以,
⑵∵, ∴
∴等价于 ①
依题意,①式应对任意恒成立.
显然,因为(),所以,需且只需对任意恒成立.即:对恒成立.
记().∵ ,
∴()的最大值为,∴ .
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