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  • 2021-05-13 发布

高考数学三轮复习必做的数列综合题

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‎2011高考数学三轮复习必做的数列综合题 ‎1.数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项和为 ,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有 2;‎ ‎(Ⅲ) 正数数列中,.求数列中的最大项. ‎ ‎(Ⅰ)解:由已知:对于,总有 ①成立 ‎∴ (n ≥ 2)② ‎ ‎①--②得 ‎∴‎ ‎∵均为正数,∴ (n ≥ 2) ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列 ‎ 又n=1时,, 解得=1‎ ‎∴.() ‎ ‎(Ⅱ)证明:∵对任意实数和任意正整数n,总有≤. ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)解:由已知 , ‎ ‎ ‎ ‎ 易得 ‎ ‎ 猜想 n≥2 时,是递减数列. ‎ 令 ‎∵当 ‎∴在内为单调递减函数.‎ 由.‎ ‎∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.‎ 又 , ∴数列中的最大项为. ‎ ‎2.设f1(x)=,定义fn+1 (x)= f1[fn(x)],an =(n∈N*).‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2) 若,Qn=(n∈N*),试比较9T2n与 Qn的大小,并说明理由.‎ 解:(1)∵f1(0)=2,a1==,fn+1(0)= f1[fn(0)]=, ‎ ‎∴an+1==== -= -an. ‎ ‎∴数列{an}是首项为,公比为-的等比数列,∴an=()n-1. ‎ ‎(2)∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n,‎ ‎∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n-1+2na2 n ‎= a 2+2a 3+…+(2n-1)a2 n-na2 n.‎ 两式相减,得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ‎ ‎∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.‎ T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). ‎ ‎∴9T2n=1-.‎ 又Qn=1-, ‎ 当n=1时,22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n<Q n; ‎ 当n=2时,22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n<Qn; ‎ 当n≥3时,,‎ ‎∴9T2 n>Q n. ‎ ‎3. 设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).‎ ‎ (1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;‎ ‎ (2)设bn=2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;‎ ‎ (3)记,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值 范围.‎ ‎(1)f(1)=3‎ ‎ f(2)=6‎ ‎ 当x=1时,y=2n,可取格点2n个;当x=2时,y=n,可取格点n个 ‎ ∴f(n)=3n ‎ (2)由题意知:bn=3n·2n ‎ Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n-1)·2n-1+3n·2n ‎ ∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n-1)·2n+3n·2n+1‎ ‎∴-Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n-3n·2n+1‎ ‎ =3(2+22+…+2n)-3n·2n+1‎ ‎ =3·‎ ‎ =3(2n+1-2)-3nn+1‎ ‎∴-Sn=(3-3n)2n+1-6‎ Sn=6+(3n-3)2n+1‎ ‎ (3)‎ ‎ ‎ ‎ ∴T1T4>…>Tn ‎ 故Tn的最大值是T2=T3=‎ ‎ ∴m≥。‎ ‎4.已知,且,数列的前项和为,它满足条件.数列中,·.‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)若对一切都有,求的取值范围.‎ 解:(1) ,∴‎ 当时,.‎ 当≥2时,=,∴ ‎ 此时··=·,‎ ‎∴……=……+‎ 设……+,‎ ‎∴……,‎ ‎∴‎ ‎∴·  ……6分 ‎(2)由可得 ‎①当时,由,可得 ‎ ∴对一切都成立,‎ ‎∴此时的解为. ‎ ‎②当时,由 可得 ‎≥∴对一切都成立,‎ ‎∴此时的解为.‎ 由①,②可知 对一切,都有的的取值范围是或. ……14分 ‎5、已知函数()。‎ ‎(Ⅰ)若且,则称为的实不动点,求的实不动点;‎ ‎(II)在数列中,,(),求数列的通项公式。‎ 解:(Ⅰ)由及得 或(舍去),‎ 所以或,即的实不动点为或;‎ ‎(II)由条件得,从而有 ‎,‎ 由此及知:数列是首项为,公比为的等比数列,故有 ‎()。‎ ‎6、已知函数,点,是函数图像上的两个点,且线段的中点的横坐标为.‎ ‎⑴求证:点的纵坐标是定值;‎ ‎⑵若数列的通项公式为,求数列的前m项的和;‎ ‎⑶若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:⑴由题可知:,所以,‎ ‎ 点的纵坐标是定值,问题得证.‎ ‎⑵由⑴可知:对任意自然数,恒成立.‎ ‎ 由于,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于:‎ 所以, 所以,‎ ‎⑵∵, ∴‎ ‎ ∴等价于 ①‎ 依题意,①式应对任意恒成立.‎ 显然,因为(),所以,需且只需对任意恒成立.即:对恒成立.‎ 记().∵ ,‎ ‎∴()的最大值为,∴ .‎ 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)‎ 选校网(www.xuanxiao.com)是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校,高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大,高考选校信息纷繁、复杂,高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息,这里有1517专业介绍,近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网,力致成为您最 强有力的选校工具!‎ 产品介绍:‎ ‎1.大学搜索:介绍近2000所高校最详细的大学信息,包括招生简章,以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.‎ ‎2.高校专业搜索:这里包含了中国1517个专业介绍,考生查询专业一目了然,同时包含了专业就业信息,给考生报考以就业参考。‎ ‎3.图片搜索:这里有11万张全国高校清晰图片,考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索:视频搜索包含了6162个视频信息,大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。‎ ‎5.问答:对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里,你会得到详尽解答。6新闻:高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做,和同类新闻网站相比更有针对性。‎ ‎7.千校榜:把高校分成各类,让考生选校时根据类别加以区分,根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂:这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心,让专家为您解答高考选校的经验和技巧。‎ ‎9.阳光大厅:考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放,阳光大厅给家长以心灵启示,给考生心里以阳光。‎ ‎10.港澳直通:很多考生都梦想去香港澳门读大学,港澳直通,给考生的梦想一个放飞的地方,港澳直通囊括了港澳大学的所有信息,将一切更直观的呈现给考生。‎ ‎11.选校社区:注册您真是的信息,在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息,读到好的选校文章也可以拿到这里,让大家共同品尝,您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组,和大家一起讨论这些话题分享信息。‎ 选校网,为你整合众多高考选校信息,只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来,努力!‎ 我们在不断完善,以更加符合家长和同学们的需求。‎ 陆续我们将推出城市印象频道,让大家了解学校所在城市的详细情况;预报名系统(yubaoming.com),为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.......‎ 一切,贵在真实。‎