高考数学三视图还原方法归纳 10页

‎ 高考数学三视图还原方法归纳 方法一:还原三步曲 核心内容：‎ 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。‎ 还原三步骤：‎ ‎（1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状；‎ ‎（2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短；‎ ‎（3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。‎ 方法展示 ‎（1）将如图所示的三视图还原成几何体。‎ 还原步骤：‎ ‎①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图；‎ ‎②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；如图 ‎③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示：‎ 经典题型：‎ 例题1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（ ）cm³。‎ 解答：（24）‎ 例题2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）‎ 答案：21+计算过程：‎ 步骤如下：‎ 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图；‎ 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点地位置如图；‎ 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将与点、分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。‎ 例题3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）‎ 答案：（6）‎ 还原图形方法一：‎ 若由主视图引发，具体步骤如下：‎ ‎（1）依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图：‎ ‎（2）依据俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不可能有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视图中长度，确定点D的位置如图：‎ ‎（3）将点D与A、B、C分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图所示：‎ 解：置于棱长为4个单位的正方体中研究，该几何体为四面体D—ABC，且AB=BC=4，AC=,DB=DC=,可得DA=6.故最长的棱长为6.‎ 方法2‎ 若由左视图引发，具体步骤如下：‎ ‎（1）依据左视图，在长方体右侧面初绘BCD如图：‎ ‎（2）依据正视图和俯视图中显示的垂直关系，判断出在节点C、D处不可能有垂直向前拉升的线条，而在B处，必有垂直向左拉升的线条BA，由俯视图和左视图的长度，确定点A的位置，如图：‎ ‎（3）将点A与点B、C、D分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图：‎ 方法3：‎ 由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可以用一个正方体做载体还原：‎ ‎（1）根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，用红线表示。如图，也就是说正视图的四个顶点必定是由原图中红线上的点投影而成；‎ ‎（2）左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图；‎ ‎（3）俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图；‎ ‎（4）三种颜色的公共点（一定要三种颜色公共交点）即为几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图。然后计算出最长的棱。‎ 课后习题：‎ ‎1、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）‎ A.4 B. C. D.6‎ 答案：B ‎2、某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的表面积是（ ）cm²‎ A. 90 B. 129 C. 132 D.138‎ 答案：D 方法二:利用空间几何坐标系法 由三视图复原成几何体，一般采用下面的步骤:‎ 俯视图 ‎ 主视图 ‎ 主视图 左视图 ‎ 俯视图 第一步：把俯视图用斜二侧画法画出来，并画出z轴；‎ x y z o x y o z 第二步：让左视图与xoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿y轴滑动（或让主视图与yoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿x轴滑动），放在合适的位置上。‎ x y z o x y o z 第三步：让主视图与yoz面平行，下底边与俯视图对应边重合，沿x轴滑动，（或让左视图与xoz面平行，下底边与俯视图对应边重合），沿y轴滑动放在合适的位置上。‎ x y z o x y o z 通过上面三个步骤，就可以画出或判断出是什么几何体了。‎ 方法三:找规律法 ‎1 简单几何体的三视图还原规律 ‎“万变不离其宗”，要掌握组合体的三视图还原首先就要搞清楚简单几何体的三视图还原规律，简单几何体主要包括柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）、球体。它们的三视图还原规律如下：‎ （1） 三视图中如果有两个识图是矩形，那么该几何体为柱体。若第三个视图是圆形，该几何体为圆柱，否则为棱柱。‎ （2） 三视图中如果有两个视图是三角形，那么该几何体为锥体。若第三个视图是圆形，则该几何体为圆锥，否则为棱锥。‎ （3） 三视图中如果有两个视图是梯形，那么该几何体为台体，若第三个视图是圆形，则该几何体为圆台，否则为棱台。球体的三视图都是圆形，最容易识别。根据以上规律，可以快速地还原简单几何体的三视图。‎ ‎2 简单组合体的三视图还原方法 ‎ 简单组合体有两种基本的组成形式；（1）将简单几何体拼接成组合体，称为叠加式；（2）从简单几何体中切掉或挖掉部分构成的组合体，称为切割式。叠加式的组合体可以采用“化整为零”的方法，把组合体的三视图划分成一个个简单几何体的三视图，按照上面所说的“简单几何体三视图的还原规律”把它们还原成简单几何体，再组合在一起，就得到了组合体的三视图，该方法对于学生来说容易理解和掌握，在此就不举例说明了。‎ 具体过程如下：‎ 首先要确定是由哪种简单几何体切割形成的 ‎“万变不离其宗”，我们仍然可以沿用简单几何体三视图还原规律来确定。但需要注意的是，关注三视图的外轮廓线即可，其内部细节暂时不要细究。有时可适当将切割体的三视图补成我们熟悉的简单几何体三视图形式。‎ 其次:对照三视图，在确定好的简单几何体上确定好切割的切入点，以及线和面 这一步骤中涉及到对应的点，线，面是从哪里切，如何切得问题，我们可以通过三视图的绘制方法逆向来推理。在三视图中可见的轮廓线画实线，看不见得轮廓线画虚线。根据这一特征进行逆向思维，三视图还原成实物图是，实线应当是正面可看到的，若是切割的话也应当是从正面切出来的，虚线意味着是从背面切出来的。归结于一句话“实线当面切，虚线背后切”。‎ 最后,切完后，个对照三视图进行检验，下面举例说明该方法在高考题中的运用 例1已知某几何体的三视图（单位：cm）如图1所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A．108 B.100 C.92 D.84‎ E D C A B F 图2‎ 图1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ 分析：第一步：根据三视图可确定该几何体是由长方体切割形成。第二步：画出长方体。主视图内部有一条自上方到左下方的实线。长方体中主视图对应面，据此在长方体中，从线段、上选取E，F两点，满足数量，，并连接EF。左视图对应面，左视图内部自左顶点到右下方的实线对应长方体中的线段DE。同理，俯视图内部的实线对应长方体中的线段DF。线段DE，DF，EF确定面ＤＥＦ．故该几何体是由长方体切割掉一个三棱锥而成。第三步：该几何体体积为：，答案：Ｂ。‎ 例2某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（ ）‎ B A C D 图4‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ 图3‎ 分析：第一步,三视图中有一个矩形一个直角梯形和一个直角三角形，没有简单几何体与之对应。我们知道切割体是由简单几何体变化而来，两者之间的三视图具有某种关系，故我们可以先把直角梯形补成矩形，从而与直三棱柱的三视图对应 。‎ 第二步：作出直三棱柱。由正视图在线段上选取点D，满足，并连接。左视图内部自左顶点到右下方有一条虚线，虚线是从左方正投影看不到的边界线，故此条线一定不在左视图的对应面上，必在面上，即为线段。此时可确定切割面即为面。故该几何体是由直三棱柱切割掉一个三棱锥而成。第三步：该几何体体积为：。答案：C。‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ 图3‎ B A C D 图4‎