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- 2021-05-13 发布
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函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。
（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数的零点的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
有2个零点有两个不等实根；
有1个零点有两个相等实根；
无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间,验证,给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;
(ⅱ) 若,则令(此时零点);
(ⅲ) 若,则令(此时零点);
④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.
【经典例题】
1．函数在区间内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
2．函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
3．若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .
4．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
5．函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
6．函数在内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )
A、(－∞，－2]∪ B、(－∞，－2]∪
C、∪ D、∪
8．已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
9．求下列函数的零点：
（1）； （2）.
10．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、若是方程的解，则属于区间 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数f=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）
A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
5、设函数f=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f不存在零点的是 （ ）
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4]
6、函数=-在[0，﹚内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、 B、 C、 D、
9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
A、 B、 C、 D、(1,2)
10、有解的区域是 （ ）
A、 B、 C、 D、
11、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
12、函数的零点所在区间为（ ）
A、 B、 C、 D、
13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
14、设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、函数， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0
16、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2
f (1.5) = 0.625
f (1.25) = －0.984
f (1.375) = －0.260
f (1.4375) = 0.162
f (1.40625) = －0.054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
17、方程的实数解的个数为 .
18、已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。
19、判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。
20 、求函数的一个正数零点(精确度0.1)．
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )
2、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )
A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0]
3、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的 （ ）
A、函数在或内有零点 B、函数在内无零点
C、函数在内有零点 D、函数在内不一定有零点
4、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数的零点所在的区间为 （ ）
A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e）
6、求函数零点的个数为 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、方程根的个数为 （ ） A、无穷多 B、 C、 D、
9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，则方程的根在区间 ( )
A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定
10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( )
A、在区间，(1，e)内均有零点 B、在区间，(1，e)内均无零点
C、在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
11、设函数，则函数 ( )
A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、（0，0.5）， B、（0，1）， C、（0.5，1）， D、（0，0.5），
13、函数在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
14、（已知函数当是，函数的零点则n= .
15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．
16、已知函数 f(x)＝若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
17、函数的零点组成的集合是 .
18、用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
19、函数的零点个数为 .
20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．
函数与方程
【考纲说明】
1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。
（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数的零点的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
有2个零点有两个不等实根；
有1个零点有两个相等实根；
无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间,验证,给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;
(ⅱ) 若,则令(此时零点);
(ⅲ) 若,则令(此时零点);
④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】 函数在区间内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】B
【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.
解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.
【例2】 函数 f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
【答案】B
【解析】∵ f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0，
f(0)＝20＋0＝1>0，
∴ f(－1) f(0)<0.
∴ f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例3】若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当
时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
【例4】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)= |xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【答案】B
【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当时，，，
当时，；当时，，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B
【例5】函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】C
【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．
【例6】函数在内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
【答案】B
【解析】解法一：数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；
解法二：在上，，，所以；
在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．
【例7】对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )
A、(－∞，－2]∪ B、(－∞，－2]∪
C、∪ D、∪
【答案】B
【解析】f(x)＝ ＝
则f的图象如图
∵ y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴ y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，
由图象知c≤－2，或－10，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、若是方程的解，则属于区间 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数f=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）
A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）
5、设函数f=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f不存在零点的是 （ ）
A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4]
6、函数=-在[0，﹚内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A、 B、 C、 D、
9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
A、 B、 C、 D、(1,2)
10、有解的区域是 （ ）
A、 B、 C、 D、
11、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
12、函数的零点所在区间为（ ）
A、 B、 C、 D、
13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
14、设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、函数， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0
16、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2
f (1.5) = 0.625
f (1.25) = －0.984
f (1.375) = －0.260
f (1.4375) = 0.162
f (1.40625) = －0.054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
17、方程的实数解的个数为 .
18、已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。
19、判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。
20 、求函数的一个正数零点(精确度0.1)．
【课后作业】
1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )
2、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )
A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0]
3、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的 （ ）
A、函数在或内有零点 B、函数在内无零点
C、函数在内有零点 D、函数在内不一定有零点
4、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数的零点所在的区间为 （ ）
A、（－1，0） B、（0，1） C、（1，2） D、（1，e）
6、求函数零点的个数为 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、方程根的个数为 （ ） A、无穷多 B、 C、 D、
9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，则方程的根在区间 ( )
A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定
10、设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x) ( )
A、在区间，(1，e)内均有零点 B、在区间，(1，e)内均无零点
C、在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D、在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
11、设函数，则函数 ( )
A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点
C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、（0，0.5）， B、（0，1）， C、（0.5，1）， D、（0，0.5），
13、函数在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
14、（已知函数当是，函数的零点则n= .
15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．
16、已知函数 f(x)＝若函数 g(x)＝ f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
17、函数的零点组成的集合是 .
18、用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
19、函数的零点个数为 .
20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．
函数与方程【参考答案】
【课堂练习】
1-16、CDCBA BACCB CCBABC
17、2
18、解：设方程的两根分别为，
则，所以
由韦达定理得，
即，所以
19、解：因为，
所以在区间上有零点
又
当时，
所以在上单调递增函数，所以在上有且只有一个零点。
20、解 由于，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
(1,2)
1.5
－2.625
(1.5,2)
1.75
0.234 4
(1.5,1.75)
1.625
－1.302 7
(1.625,1.75)
1.687 5
－0.561 8
(1.687 5,1.75)
1.718 75
－0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
【课后作业】
1-13、BDCAB CCDAD AAB
14、2
15、(2,3)
16、 (0,1)
17、
18、
19、2
20、证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．
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