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- 2021-05-13 发布
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第九章 平面解析几何第5课时 直线与圆的位置关系
1. 已知圆O:x2+y2=4,则过点P(2,4)与圆O相切的切线方程为________________.
答案:3x-4y+10=0或x=2
解析:∵ 点P(2,4)不在圆O上,∴ 切线PT的直线方程可设为y=k(x-2)+4.根据d=r,∴ =2,解得k=,所以y=(x-2)+4,即3x-4y+10=0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x=2.
2. (必修2P115练习1改编)已知圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是________.
答案:相交
解析:由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=,0<d<,故该直线与圆相交但不过圆心.
3. (必修2P115练习4改编)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是________.
答案:(-,)
解析:由题意知>1,解得-<k<.
4. 过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是__________.
答案:(,)
解析:本题主要考查数形结合的思想,设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°,则|PO|=2,由可得
5. (必修2P107习题4改编)以点(2,-2)为圆心并且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相外切的圆的方程是________.
答案:(x-2)2+(y+2)2=9
解析:设所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=r2(r>0),此圆与圆x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4相外切,所以=2+r,解得r=3.所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=9.
1. 直线与圆的位置关系
(1) 直线与圆相交,有两个公共点;
(2) 直线与圆相切,只有一个公共点;
(3) 直线与圆相离,无公共点.
2. 直线与圆的位置关系的判断方法
直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法:
(1)几何方法:
圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离为d,
dr直线与圆相离.
(2) 代数方法:
由Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,消元,得到的一元二次方程的判别式为Δ,则
Δ>0直线与圆相交;
Δ=0直线与圆相切;
Δ<0直线与圆相离.
3. 圆与圆的位置关系及判断方法
(1) 圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含.
(2) 判断两圆位置关系的方法
两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0)的圆心距为d,则
d>r1+r2两圆外离;
d=r1+r2两圆外切;
|r1-r2|r,即b<-5-3或b>5-3时,直线与圆相离.
题型2 直线与圆相交的弦的问题
例2 已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过A(-1,0)与圆C相交于P、Q两点,
M是PQ中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.
(1) 求证:当l与m垂直时,l必过圆心C;
(2) 当PQ=2时,求直线l的方程;
(3) 探索·是否与直线l的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.
(1) 证明:∵ l与m垂直,且km=-,
∴ kl=3.又kAC=3,所以当l与m垂直时,l的方程为y=3(x+1),l必过圆心C.
(2) 解:①当直线l与x轴垂直时, 易知x=-1符合题意.②当直线l与x轴不垂直时, 设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.因为PQ=2 ,所以CM==1,则由CM==1,得k=,∴ 直线l:4x-3y+4=0. 从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
(3) 解:∵ CM⊥MN,∴ ·=(+)·=·+·=· .
①当l与x轴垂直时,易得N,则=.又=(1,3),∴ ·=·=-5;②当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则由
得N,则=.
∴ ·=·=+=-5.
综上,·与直线l的斜率无关,且·=-5.
另解:连结CA并延长交m于点B,连结CM,CN,由题意知AC⊥m,又CM⊥l,∴ 四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上,由相交弦定理,得·=-|AM|·|AN|=-|AC|·|AB|=-5.
已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1) 若l1与圆相切,求l1的方程;
(2) 若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM·AN是否为定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由.
解:(1) ①若直线l1的斜率不存在,即直线是x=1,符合题意.
②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=.
∴所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2) (解法1)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0.
由得N.
又直线CM与l1垂直,
由得M.
∴ AM·AN=·
=·=6为定值.
故AM·AN是定值,且为6.
(解法2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0.
由得N.
再由
得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0.
∴x1+x2=,得M.
以下同解法1.
(解法3)用几何法
连结CA并延长交l2于点B,kAC=2,kl2=-,
∴CB⊥l2.如图所示,△AMC∽△ABN,则=,
可得AM·AN=AC·AB=2·=6,是定值.
题型3 圆的切线问题
例3 求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.
解:由题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.
圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.
① 当C1(a,4)时,有(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故可得a=2±2.∴ 所求圆方程为(x-2-2)2+(y-4)2=42或(x-2+2)2+(y-4)2=42.
② 当C2(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),故a=2±2.
∴ 所求圆的方程为(x-2-2)2+(y+4)2=42或(x-2+2)2+(y+4)2=42.
自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,反射光线所在的直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切.求:
(1) 光线l和反射光线所在的直线方程;
(2) 光线自A到切点所经过的路程.
解:根据对称关系,首先求出点A的对称点A′的坐标为,其次设过A′的圆C的切线方程为
y=k-3.
根据d=r,即求出圆C的切线的斜率为k=或k=,
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
4x-3y+3=0或3x-4y-3=0.
最后根据入射光与反射光关于x轴对称,
求出入射光所在直线方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
光路的距离为,可由勾股定理求得
=-=7.
【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分14分)
直线l过点(-4,0)且与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果AB=8,求直线l的方程.
学生错解:解:设直线l的方程为y=k(x+4),由被圆截得的弦长为8,可得圆心(-1,2)到直线y=k(x+4)的距离为3,即=3,解得k=-,此时直线方程为5x+12y+20=0.
审题引导: (1) 如何设过定点的直线的方程?(2) 圆中弦长的问题,通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决?
规范解答: 解:过点(-4,0)的直线若垂直于x轴,经验证符合条件,即方程为x+4=0满足题意;(4分)
若存在斜率,设其直线方程为y=k(x+4),由被圆截得的弦长为8,可得圆心(-1,2)到直线y=k(x+4)的距离为3,
即=3,解得k=-,(10分)
此时直线方程为5x+12y+20=0,(12分)
综上直线方程为5x+12y+20=0或x+4=0.(14分)
错因分析: 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时,可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在,以避免漏解.
1. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是____________.
答案:
解析:∵ 圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,∴ 圆C的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx-2上至少存在一点A(x0,kx0-2),以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴ 存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2.
∵ ACmin即为点C到直线y=kx-2的距离,
∴ ≤2,解得0≤k≤.∴ k的最大值是.
2. 已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是________.
答案:
解析:易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,直线l的方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得<1,即k2<,解得-<k<.
3. 直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若MN≥2,则k的取值范围是________.
答案:
解析:设圆心C(2,3)到直线y=kx+3的距离为d,若MN≥2,则d2=r2-≤4-3=1,即≤1,
解得-≤k≤.
4. 若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是________.
答案:4
解析:依题意得OO1==5,且△OO1A是直角三角形,S△OO1A=··OO1=·OA·AO1,因此AB===4.
5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,右焦点为F.若C的右准线l的方程为x=4,离心率e=.
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 设点P为准线l上一动点,且在x轴上方.圆M经过O、F、P三点,求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程.
解:(1) 由题意,设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则解得a=2,c=2.从而b2=a2-c2=4.所以所求椭圆C的标准方程为+=1.
(2) (解法1)由(1)知F(2,0).由题意可设P(4,t),t>0.
线段OF的垂直平分线方程为x=1.①
因为线段FP的中点为,斜率为,
所以FP的垂直平分线方程为y-=-(x-3),即y=-x++.②
联立①②,解得即圆心M.
因为t>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即t=2时,圆心M到x轴的距离最小,此时圆心为M(1,2),半径为OM=3.故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-2)2=9.
(解法2)由(1)知F(2,0).由题意可设P(4,t),t>0.因为圆M过原点O,故可设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey=0.将点F、P的坐标代入得解得
所以圆心M的坐标为,即(1,+).因为t>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即t=2时,圆心M到x轴的距离最小,此时E=-4.故所求圆M的方程为x2+y2-2x-4y=0.
6. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M、N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为r1=13;圆弧C2过点A(29,0).
(1) 求圆弧C2所在圆的方程;
(2) 曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;
(3) 已知直线l:x-my-14=0与曲线C交于E、F两点,当EF=33时,求坐标原点O到直线l的距离.
解:(1) 由题意得,圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169.令x=5,解得M(5,12),N(5,-12),又C2过点A(29,0),设圆弧C2所在圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则 解得
所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y2-28x-29=0.
(2) 假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得(x-29)2+y2=30(x2+y2),即x2+y2+2x-29=0.
由
解得x=-70(舍去);
由
解得x=0(舍去).所以这样的点P不存在.
(3) 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1=13,r2=15,因为EF>2r1,EF>2r2,所以E、F两点分别在两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以EF=15++,
即+=18,解得d2=,所以点O到直线l的距离为.
1. 已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么·的最小值为________.
答案:-3+2
解析:设∠APB=2θ,||=x,则·=||·||·cos2θ=||2cos2θ=(||2-1)·(1-2sin2θ)=(x2-1)·=x2-2-1+≥-3+2,当且仅当x2=,即x=时取等号.
2. 若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是________.
答案:[1-2,3]
解析:y=3-变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.
若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2,即=2,解得b=1-2或b=1+2(舍去),
∴b的取值范围为1-2≤b≤3.
3. 已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1) 求圆C的方程;
(2) 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
解:(1) 设圆心C(a,b),则
解得则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2) 由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),
PB:y-1=-k(x-1),由得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=.同理可得xB=,所以kAB====1=kOP,
所以,直线AB和OP一定平行.
4. 已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1) 求证:△AOB的面积为定值;
(2) 设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3) 在(2)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
解:(1) 由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B,
∴ SΔAOB=|OA|·|OB|=|2t|·=4为定值.
(2) ∵ |OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴ C、H、O三点共线,则直线OC的斜率k===,∴ t=2或t=-2,
∴ 圆心C(2,1)或C(-2,-1)∴ 圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2
+(y+1)2=5,由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去.
∴ 圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5
(3) 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=-=3-=2.
所以|PB|+|PQ|的最小值2,直线B′C的方程为y=x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.
1. 两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
2. 圆的弦长的常用求法:
(1) 几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则=r2-d2;
(2) 代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:
AB=|x1-x2|=.
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