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  • 2021-05-13 发布

高考数学理科全国卷题解析几何说题

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‎2019年高考数学理科全国1卷19题说题 ‎ 已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与的交点分别为,与轴的交点为。‎ ‎(1)若,求的方程. (2)若,求 ‎【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题,可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。‎ ‎【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系;第二个关键是要善用转化与化归思想:用抛物线的定义转化,用相似三角形或线性运算破译。本题的第一问来自于教材,稍高于教材,是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题,第二问是个常规题型,在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题:‎ 题源1:【2018年全国I理8】设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则= ( )‎ A。5 B。6 C。7 D。8‎ 题源2:【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,。‎ ‎(1)求的方程;(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程。‎ ‎【解法分析】‎ ‎(1)设直线: 由抛物线定义得;‎ 联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于t的方程,解方程求得结果;‎ ‎(2)设直线:联立直线方程与抛物线方程,利用 可得结合韦达定理求出;根据弦长公式可求得结果. ‎ ‎【参考解法】‎ 解法1:(1)设直线与轴交于,方程为 ‎ 由得,设 ‎, ‎ ‎ ‎ 得, 因此直线的方程为 ‎ ‎(2)由,得 又, ‎ 从而故,‎ 代入C的方程得,故得A(3,3),, ‎ 故 ‎ 解法2:设直线的方程为 ‎ 由题设得,故,由题设得 ‎ 由,得,‎ 则, ‎ 从而,得 因此直线的方程即 ‎(2)由(1),得 ‎ ‎ ‎ 由,得 ‎ 可得 ‎ 故. ‎ 解法3:设直线的方程为由题设得,故 从而得, 以下略。 ‎ 解法4:设直线的方程为以下略。‎ 解法5(点差法):(1)设直线的方程为 ‎ 由题设得,故, 由题设得 ‎,而且M在抛物线内部,‎ 因此直线的方程为,以下略。‎ 解法6:(1) 由题设得 ,设A(3a2,3a),B(3b2,3b), ‎ 由的斜率为,得, , ‎ 由抛物线的定义,得 ‎ ‎,而且M在抛物线内部,‎ 因此直线的方程为 ‎(2)由,可得故 ‎ 又由 (1)的,从而得 ‎ 故A(3,3),, 故。‎ 解法7:(1) 直线与x轴的交点为P(m,0),设A(3a2,3a),B(3b2,3b),‎ 由题设得 , 的斜率为,‎ 得, , ‎ 由抛物线的定义,得 ‎ 又,‎ 由共线,得 故 ‎ 因此直线的方程为,即。 ‎ ‎(2)设,由的斜率为 ,可设的参数方程为(t为参数) ‎ 代入,整理得 设点A,B对应的参数分别为 则 ‎ 由,得 ‎ 得 故 。‎ 上述解法采用标准形式的参数方程,运算量稍大,如用一般形式求解,更加简捷: ‎ 设,由的斜率为,设的参数方程为(t为参数)‎ 代入,整理得 设点A,B对应的参数分别为 则 ‎ 由,得 得 故。‎