高考数学理科全国卷题解析几何说题 5页

‎2019年高考数学理科全国1卷19题说题 ‎ 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为。‎ ‎（1）若，求的方程. （2）若，求 ‎【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。‎ ‎【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转化，用相似三角形或线性运算破译。本题的第一问来自于教材，稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：‎ 题源1：【2018年全国I理8】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= （ ）‎ A。5 B。6 C。7 D。8‎ 题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，。‎ ‎（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程。‎ ‎【解法分析】‎ ‎（1）设直线： 由抛物线定义得；‎ 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t的方程，解方程求得结果；‎ ‎（2）设直线：联立直线方程与抛物线方程，利用 可得结合韦达定理求出；根据弦长公式可求得结果. ‎ ‎【参考解法】‎ 解法1：（1）设直线与轴交于，方程为 ‎ 由得，设 ‎， ‎ ‎ ‎ 得， 因此直线的方程为 ‎ ‎（2）由，得 又， ‎ 从而故，‎ 代入C的方程得，故得A(3,3),, ‎ 故 ‎ 解法2：设直线的方程为 ‎ 由题设得，故，由题设得 ‎ 由，得，‎ 则， ‎ 从而，得 因此直线的方程即 ‎（2）由（1），得 ‎ ‎ ‎ 由,得 ‎ 可得 ‎ 故. ‎ 解法3：设直线的方程为由题设得，故 从而得， 以下略。 ‎ 解法4：设直线的方程为以下略。‎ 解法5（点差法）：（1）设直线的方程为 ‎ 由题设得，故， 由题设得 ‎,而且M在抛物线内部，‎ 因此直线的方程为，以下略。‎ 解法6：(1) 由题设得 ,设A(3a2，3a)，B(3b2，3b)， ‎ 由的斜率为，得, , ‎ 由抛物线的定义，得 ‎ ‎，而且M在抛物线内部，‎ 因此直线的方程为 ‎（2）由,可得故 ‎ 又由 (1)的，从而得 ‎ 故A(3,3),, 故。‎ 解法7：(1) 直线与x轴的交点为P（m,0），设A(3a2，3a)，B(3b2，3b)，‎ 由题设得 , 的斜率为，‎ 得, , ‎ 由抛物线的定义，得 ‎ 又，‎ 由共线，得 故 ‎ 因此直线的方程为，即。 ‎ ‎（2）设，由的斜率为 ，可设的参数方程为（t为参数） ‎ 代入，整理得 设点A,B对应的参数分别为 则 ‎ 由，得 ‎ 得 故 。‎ 上述解法采用标准形式的参数方程，运算量稍大，如用一般形式求解，更加简捷: ‎ 设，由的斜率为，设的参数方程为(t为参数)‎ 代入，整理得 设点A,B对应的参数分别为 则 ‎ 由，得 得 故。‎