江苏省盐城市南京市高考数学一模试卷 24页

‎2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1．（5分）（2015•盐城一模）设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x= ．‎ ‎2．（5分）（2015•盐城一模）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ．‎ ‎3．（5分）（2015•盐城一模）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是 ．‎ ‎4．（5分）（2015•盐城一模）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ．‎ ‎5．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．‎ ‎6．（5分）（2015•盐城一模）运行如图所示的程序后，输出的结果为 ．‎ ‎7．（5分）（2015•盐城一模）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为 ．‎ ‎8．（5分）（2015•盐城一模）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ．‎ ‎9．（5分）（2015•盐城一模）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0= ．‎ ‎10．（5分）（2015•盐城一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则的最小值为 ．‎ ‎11．（5分）（2015•盐城一模）设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的 条件 （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．‎ ‎12．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r= ．‎ ‎13．（5分）（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是 ．‎ ‎14．（5分）（2015•盐城一模）已知数列{an}满足a1=﹣1，a2＞a1，|an+1﹣an|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an= ．‎ ‎15．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2‎ ‎（1）求函数f（α）的值域；‎ ‎（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．‎ ‎16．（15分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．‎ ‎（1）求证：OE∥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．‎ ‎17．（12分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．‎ ‎18．（5分）（2015•盐城一模）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50米．‎ ‎（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；‎ ‎（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；‎ ‎（3）若，求AD的最大值．‎ ‎（参考公式：若，则）‎ ‎19．（5分）（2015•盐城一模）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a5=64，S5﹣S3=48．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；‎ ‎（3）设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．‎ ‎20．（5分）（2015•盐城一模）已知函数f（x）=ex，g（x）=mx+n．‎ ‎（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．‎ ‎①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；‎ ‎②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．‎ A、（选修4-1：几何证明选讲）‎ ‎21．（5分）（2015•盐城一模）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若PA=18，PC=6，求线段CD的长．‎ B、（选修4-2：矩阵与变换）‎ ‎22．（2015•盐城一模）求直线x﹣y﹣1=0在矩阵的变换下所得曲线的方程．‎ 三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ ‎23．（2015•盐城一模）在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．‎ ‎24．（8分）（2015•盐城一模）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．‎ ‎25．（10分）（2015•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足（λ＞0），当λ=时，AB1⊥BP．‎ ‎（1）求棱CC1的长；‎ ‎（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．‎ ‎26．（10分）（2015•盐城一模）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为Pn．‎ ‎（1）求P2，P3的值；‎ ‎（2）求Pn的表达式．‎ ‎2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1．（5分）（2015•盐城一模）设集合M={2，0，x}，集合N={0，1}，若N⊆M，则x=　1　．‎ 考点：‎ 集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有 专题：‎ 集合．‎ 分析：‎ 根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．‎ 解答：‎ 解：∵集合M={2，0，x}，N={0，1}，‎ ‎∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，‎ ‎∴x=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 本题主要考查集合的包含关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系．一般集合中问题，如果含有参数，求解之后要注意对集合进行验证．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•盐城一模）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=　﹣1　．‎ 考点：‎ 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题：‎ 数系的扩充和复数．‎ 分析：‎ 利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．‎ 解答：‎ 解：复数==﹣ai+1，‎ ‎∵Z的实部与虚部相等，‎ ‎∴﹣a=1，‎ 解得a=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•盐城一模）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是　　．‎ 考点：‎ 极差、方差与标准差．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 根据平均数与方差的公式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：数据9，10，9，7，10的平均数是 ‎=（9+10+9+7+10）=9，‎ ‎∴它的方差是 s2=[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2]=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了计算数据的平均数与方差的问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•盐城一模）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为　0.3　．‎ 考点：‎ 相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 专题：‎ 概率与统计．‎ 分析：‎ 利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式，结合已知计算求解．‎ 解答：‎ 解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．‎ 且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．‎ ‎∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，‎ ‎∴乙获胜的概率P=1﹣（0.2+0.5）=0.3．‎ 故答案为：0.3‎ 点评：‎ 正确理解互斥事件及其概率加法公式及对立事件概率减法公式，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=　　．‎ 考点：‎ 抛物线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．‎ 解答：‎ 解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），‎ 故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），‎ 故c=1，‎ 由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，‎ 故2a2=1，‎ 又由a＞0，‎ ‎∴a=．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•盐城一模）运行如图所示的程序后，输出的结果为　42　．‎ 考点：‎ 伪代码．菁优网版权所有 专题：‎ 算法和程序框图．‎ 分析：‎ 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=10时，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．‎ 解答：‎ 解：模拟执行程序，有 i=1，s=0，‎ 满足条件i＜8，i=4，s=8，‎ 满足条件i＜8，i=7，s=22，‎ 满足条件i＜8，i=10，s=42，‎ 不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．‎ 故答案为：42．‎ 点评：‎ 本题考查循环结构框图的应用，注意退出循环的条件，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•盐城一模）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为　8　．‎ 考点：‎ 简单线性规划．菁优网版权所有 专题：‎ 不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设z=x+y，则y=﹣x+z，‎ 平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由，‎ 解得，即A（1，2），‎ 代入z=x+y得z=1+2=3．‎ 即z=x+y最大值为3，‎ ‎∴2x+y的最大值为23=8．‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•盐城一模）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为　　．‎ 考点：‎ 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ 由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．‎ 解答：‎ 解：∵圆锥的底面半径r=1，侧面积是底面积的2倍，‎ ‎∴圆锥的母线长l=2，‎ 故圆锥的高h==，‎ 故圆锥的体积V===，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•盐城一模）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0=　　．‎ 考点：‎ 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ 利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．‎ 解答：‎ 解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，‎ ‎∴=π，‎ ‎∴ω=2‎ ‎∴f（x）=sin（2x+）．‎ ‎∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，‎ ‎∴f（x0）=0，即sin（2x0+）=0，‎ ‎∴2x0+=kπ，‎ ‎∴x0=﹣，k∈Z，‎ ‎∵x0∈[0，]，‎ ‎∴x0=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•盐城一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y=1，则的最小值为　4　．‎ 考点：‎ 对数的运算性质．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 先根据对数的运算性质求出xy=2，再根据基本不等式求出最小值即可 解答：‎ 解：∵log2x+log2y=1，‎ ‎∴log2xy=1=log22，‎ ‎∴xy=2，‎ ‎∴==（x﹣y）+≥2=4，但且仅当x=1+，y=﹣1时取等号，‎ 故的最小值为4，‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 本题考查了对数的运算性质和基本不等式，属于中档题 ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•盐城一模）设向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），则“∥”是“tanθ=”成立的　必要不充分　条件 （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．‎ 考点：‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题：‎ 简易逻辑．‎ 分析：‎ 根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：若∥，则sin2θ﹣cosθcosθ=0，‎ 即2sinθcosθ﹣cosθcosθ=0，‎ 即cosθ（2sinθ﹣cosθ）=0，‎ 则cosθ=0或tanθ=，‎ 故∥”是“tanθ=”成立必要不充分条件，‎ 故答案为：必要不充分．‎ 点评：‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=　　．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r 解答：‎ 解：由题意可得，=r 设，θ∈[0，π]‎ 则==r2cosθ ‎∵=+‎ 两边同时平方可得，=‎ 即×‎ ‎∴cosθ=‎ ‎∵，‎ ‎∴且cos ‎∴=‎ 设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=‎ 即 ‎∴r=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是　[﹣5，﹣2]　．‎ 考点：‎ 指数函数综合题；特称命题．菁优网版权所有 专题：‎ 函数的性质及应用．‎ 分析：‎ 求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，‎ 当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，‎ 则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，‎ 若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），‎ 则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，‎ ‎∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，‎ ‎∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，‎ 则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，‎ 解得m≥﹣5且m≤﹣2，‎ 故﹣5≤m≤﹣2，‎ 故答案为：[﹣5，﹣2]‎ 点评：‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•盐城一模）已知数列{an}满足a1=﹣1，a2＞a1，|an+1﹣an|=2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an=　　．‎ 考点：‎ 数列的函数特性；数列的求和．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a4‎ ‎=21，…，然后从数字的变化上找规律，得，再利用“累加求和”即可得出．‎ 方法二：由，，可得，而{a2n﹣1}递减，a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；‎ 同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，可得，即可得出．‎ 解答：‎ 解：方法一：先采用列举法得a1=﹣1，a2=1，a3=﹣3，a4=5，a5=﹣11，a6=21，…，‎ 然后从数字的变化上找规律，得，‎ ‎∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1‎ ‎==．‎ 方法二：∵，，‎ ‎∴，‎ 而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；‎ 同理，由{a2n}递增，得；‎ 又a2＞a1，∴，以下同上．‎ 点评：‎ 本题考查了含绝对值数列的单调性，考查了猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2‎ ‎（1）求函数f（α）的值域；‎ ‎（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．‎ 考点：‎ 任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 三角函数的图像与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；‎ ‎（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，‎ f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），‎ ‎∵角α为锐角，‎ ‎∴＜α+＜，‎ ‎∴＜sin（α+）≤1，‎ ‎∴1＜sin（α+）≤，‎ 则f（α）的取值范围是（1，]；‎ ‎（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，‎ 则f（C）═sin（C+）=，‎ 即sin（C+）=1，‎ 则C=，‎ 由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 即1=2+b2﹣2×b，‎ 则b2﹣2b+1=0，‎ 即（b﹣1）2=0，‎ 解得b=1．‎ 点评：‎ 本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（15分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．‎ ‎（1）求证：OE∥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．‎ 考点：‎ 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；空间位置关系与距离．‎ 分析：‎ ‎（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．‎ ‎（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE．‎ 解答：‎ 证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分 因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，‎ 又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，‎ 从而，即四边形OEBF是平行四边形，‎ 所以OE∥BF，…6分 又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，‎ 所以OE∥面BCC1B1．…8分 ‎（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥DC，…10分 又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，‎ 所以BC1⊥面B1DC，…12分 而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，‎ 所以面B1DC⊥面B1DE．…14分 解读：初稿是：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点．‎ ‎（1）求证：BC1∥面B1DE；‎ ‎（2）求证：面B1DC⊥面B1DE讨论时，有老师提出第（1）小题偏难了，所以作了修改．‎ 点评：‎ 本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2015•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．‎ 考点：‎ 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题：‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可．‎ ‎（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出kPA；‎ 方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．‎ 方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线kBP=kBF，解出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，‎ ‎∴右焦点F到直线l的距离为，‎ ‎∴a﹣c=1，‎ 又椭圆C的右准线为x=4，即，‎ ‎∴，将此代入上式解得a=2，c=1，‎ ‎∴b2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）方法一：由（1）知，F（1，0），‎ ‎∴直线BF的方程为，‎ 联立方程组，解得或（舍），即，‎ ‎∴直线l的斜率．‎ 方法二：由（1）知，F（1，0），‎ ‎∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，‎ 设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，‎ 解得，‎ 代入椭圆解得：或，‎ 又由题意知，得k＞0或，‎ ‎∴．‎ 方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），‎ 联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，‎ ‎∴，，‎ 当B，F，P三点共线时有，kBP=kBF，‎ 即，解得或，‎ 又由题意知，得k＞0或，‎ ‎∴．‎ 点评：‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2015•盐城一模）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50米．‎ ‎（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；‎ ‎（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；‎ ‎（3）若，求AD的最大值．‎ ‎（参考公式：若，则）‎ 考点：‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）由CD=50﹣t=30，解得t=20．可得圆E：x2+（y﹣20）2=302，令y=0，得|AO|，即可得出|OD|=|AD|﹣|AO|，将点C代入y=﹣ax2+50（a＞0）中，解得a即可．‎ ‎（2）由于圆E的半径为50﹣t，可得CD=50﹣t，在y=﹣ax2+50中，令y=50﹣t，得，由题意知对t∈（0，25]恒成立，‎ 即恒成立，利用基本不等式的性质解出即可．‎ ‎（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（50﹣t）2，令y=0，得，从而，‎ 方法一：利用导数研究其单调性极值即可；‎ 方法二：（三角换元）令，利用三角函数的单调性值域，解出即可；‎ 方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．利用线性规划的有关知识解出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵CD=50﹣t=30，解得t=20．‎ 此时圆E：x2+（y﹣20）2=302，‎ 令y=0，得，‎ ‎∴，‎ 将点代入y=﹣ax2+50（a＞0）中，‎ 解得．‎ ‎（2）∵圆E的半径为50﹣t，‎ ‎∴CD=50﹣t，在y=﹣ax2+50中，令y=50﹣t，得，‎ 则由题意知对t∈（0，25]恒成立，‎ ‎∴恒成立，而当，即t=25时，取最小值10，‎ 故，解得．‎ ‎（3）当时，，‎ 又圆E的方程为x2+（y﹣t）2=（50﹣t）2，‎ 令y=0，得，‎ ‎∴，‎ 从而，‎ 又∵，‎ 令f'（t）=0，得t=5，‎ 当t∈（0，5）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（5，25）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，从而当t=5时，f（t）取最大值为25．‎ 答：当t=5米时，AD的最大值为25米．‎ ‎（3）方法二：（三角换元）令，则=，其中ϕ是锐角，且，‎ 从而当时，AD取得最大值为25米．‎ 方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x≥0，y≥0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值．‎ 根据线性规划知识，当直线y=﹣2x+z与圆弧x2+y2=25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值为25米．‎ 点评：‎ 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数换元、线性规划的有关知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）（2015•盐城一模）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a5=64，S5﹣S3=48．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；‎ ‎（3）设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．‎ 考点：‎ 等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意和等比数列的性质先求出a3，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；‎ ‎（2）由充要条件的定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和an进行证明；‎ ‎（3）由（1）化简a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出bn，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}的单调性，再求出符合条件的λ的范围．‎ 解答：‎ 解：（1）设等比数列{an}的公比是q，‎ ‎∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3=8，‎ 又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，‎ ‎∴； …4分 ‎（2）（ⅰ）必要性：设5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列，‎ ‎①若2•5ak=am+al，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，‎ ‎∴，∴．…6分 ‎②若2am=5ak+al，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，‎ ‎③若2al=5ak+am，同理也不成立，‎ 综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分 ‎（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，‎ 则5ak，am，al这三项为5ak，ak+1，ak+3，即5ak，2ak，8ak，‎ 调整顺序后易知2ak，5ak，8ak成等差数列，‎ 所以充分性也成立．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分 ‎（3）因为，‎ 即，①‎ ‎∴当n≥2时，，②‎ 则②式两边同乘以2，得，③‎ ‎∴①﹣③，得2bn=4n﹣2，即bn=2n﹣1（n≥2），‎ 又当n=1时，，即b1=1，适合bn=2n﹣1（n≥2），‎ ‎∴bn=2n﹣1．…14分 ‎∴，∴，‎ ‎∴n=2时，，即；‎ ‎∴n≥3时，，此时单调递减，‎ 又，，，，∴．…16分 点评：‎ 本题考查等差数列、等比数列的性质，作差法判断数列的单调性，考查分类讨论思想的运用，计算化简、变形能力与逻辑推理能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（5分）（2015•盐城一模）已知函数f（x）=ex，g（x）=mx+n．‎ ‎（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．‎ ‎①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；‎ ‎②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．‎ ‎（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣mx﹣n．‎ 则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=ex﹣m，‎ 则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，‎ ‎∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．‎ ‎②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣mx．‎ 若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，‎ 即ex﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，‎ 若x=0，则方程无解，满足条件，‎ 若x≠0，则方程等价为m=，‎ 设g（x）=，‎ 则函数的导数g′（x）=，‎ 若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=e﹣1，‎ 若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，‎ 由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，‎ 综上g（x）≥e或g（x）＜e﹣1，‎ 若方程m=无解，则e﹣1≤m＜e．‎ ‎（2）∵n=4m（m＞0），‎ ‎∴函数r（x）=+=+=+，‎ 则函数的导数r′（x）=﹣+=，‎ 设h（x）=16ex﹣（x+4）2，‎ 则h′（x）=16ex﹣2（x+4）=16ex﹣2x﹣8，‎ ‎[h′（x）]′=16ex﹣2，‎ 当x≥0时，[h′（x）]′=16ex﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣2=14＞0，‎ 即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，‎ 即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，‎ 故r（x）≥r（0）=，‎ 故当x≥0时，r（x）≥1成立．‎ 点评：‎ 本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．‎ ‎　‎ A、（选修4-1：几何证明选讲）‎ ‎21．（5分）（2015•盐城一模）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若PA=18，PC=6，求线段CD的长．‎ 考点：‎ 与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；几何证明．‎ 分析：‎ 由切割线定理解得PB=2，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC=PO•CD，解得线段CD的长．‎ 解答：‎ 解：由切割线定理，得PC2=PA•PB，解得PB=2，‎ 所以AB=16，即Rt△ABC的外接圆半径r=8，…5分 记Rt△ABC外接圆的圆心为O，连OC，则OC⊥PC，‎ 在Rt△POC中，由面积法得OC•PC=PO•CD，解得．…10分．‎ 点评：‎ 本题考查切割线定理，考查面积法的运用，比较基础．‎ ‎　‎ B、（选修4-2：矩阵与变换）‎ ‎22．（2015•盐城一模）求直线x﹣y﹣1=0在矩阵的变换下所得曲线的方程．‎ 考点：‎ 矩阵变换的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 矩阵和变换．‎ 分析：‎ 本题可以根据点P（x，y）与矩阵作用前点Q（x'，y'）坐标之间的关系，通过代入法，求出点Q（x'，y'）的坐标间关系式，得到所求曲线的方程．‎ 解答：‎ 解：设P（x，y）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q（x'，y'），‎ ‎∵=，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 代入x'﹣y'﹣1=0中，得：‎ ‎，‎ 化简可得所求曲线方程为．‎ 点评：‎ 本题考查了矩阵与向量的积的运算、代入法求曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ 三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ ‎23．（2015•盐城一模）在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．‎ 考点：‎ 圆的参数方程；直线的参数方程．菁优网版权所有 专题：‎ 坐标系和参数方程．‎ 分析：‎ 将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．‎ 解答：‎ 解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），‎ 又，即，‎ ‎∴直线的普通方程为，‎ 故所求的圆心到直线的距离．‎ 点评：‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2015•盐城一模）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．‎ 考点：‎ 绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；不等式的解法及应用．‎ 分析：‎ 去绝对值，分当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，三种情况，得到不等式解得它们，再求并集即可．‎ 解答：‎ 解：当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得； ‎ 当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＜4，解得﹣1≤x≤2； ‎ 当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得； ‎ 所以原不等式的解集为．‎ 点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2015•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足（λ＞0），当λ=时，AB1⊥BP．‎ ‎（1）求棱CC1的长；‎ ‎（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．‎ 考点：‎ 用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．菁优网版权所有 专题：‎ 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析：‎ ‎（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC1的长．‎ ‎（2）求出平面PAB的一个法向量，和平面ABB1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．‎ 解答：‎ 解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 设CC1=m，则B1（3，0，m），‎ B（3，0，0），P（0，4，λm），‎ 所以，，，…2分 当时，有 解得，即棱CC1的长为．…4分 ‎（2）设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则由，得，即，‎ 令z=1，则，‎ 所以平面PAB的一个法向量为，…6分 又平面ABB1与y轴垂直，所以平面ABB1的一个法向量为，‎ 因二面角B1﹣AB﹣P的平面角的大小为，‎ 所以|cos＜＞|==||，‎ 结合λ＞0，解得．…10分．‎ 点评：‎ 本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2015•盐城一模）设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为Pn．‎ ‎（1）求P2，P3的值；‎ ‎（2）求Pn的表达式．‎ 考点：‎ 二项式定理的应用；子集与真子集．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；二项式定理．‎ 分析：‎ ‎（1）当n=2时，即S={1，2}，由此能求出P2=1；当n=3时，即S={1，2，3}，分类讨论，可得P3=5．‎ ‎（2）设集合A中的最大元素为“k”，确定集合A、B的情况，可得集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对．由此能求出Pn．‎ 解答：‎ 解：（1）当n=2时，即S={1，2}，此时A={1}，B={2}，所以P2=1，…2分 当n=3时，即S={1，2，3}，若A={1}，则B={2}，或B={3}，或B={2，3}；‎ 若A={2}或A={1，2}，则B={3}；所以P3=5．…4分 ‎（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k﹣1中任取若干个（包含不取），‎ 所以集合A共有种情况，…6分 此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），‎ 所以集合B共有种情况，‎ 所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对，…8分 当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，‎ 求和可得．…12分 点评：‎ 本题考查二项式定理的运用，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．‎ ‎　‎