高考数学考点归纳之第七节 正弦定理和余弦定理 25页

高考数学考点归纳之第七节 正弦定理和余弦定理 一、基础知识 1．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． 正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4) a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝ a sin A. 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C. 3．三角形的面积公式 (1)S△ABC＝1 2aha(ha 为边 a 上的高)； (2)S△ABC＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2acsin B； (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B 2 ＝π 2 －C 2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sinA＋B 2 ＝cosC 2 ；(4)cosA＋B 2 ＝sinC 2. 3．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4．用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，当 b2＋c2－a2>0 时，可知 A 为锐角； 当 b2＋c2－a2＝0 时，可知 A 为直角；当 b2＋c2－a2<0 时，可知 A 为钝角． 第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形 考法(一) 正弦定理解三角形 [典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a＝3，b＝2，A＝30°，则 cos B＝ ________. (2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sin B＝1 2 ，C＝π 6 ，则 b ＝________. [解析] (1)由正弦定理可得 sin B＝bsin A a ＝2×sin 30° 3 ＝1 3 ，∵a＝3>b＝2，∴B1. ∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B＝a c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)， 则△ABC 的形状为( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选 A 因为 cos B＝a c ，由余弦定理得a2＋c2－b2 2ac ＝a c ，整理得 b2＋a2＝c2，即 C 为 直角，则△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝2 3 ，则 b＝( ) A．14 B．6 C. 14 D. 6 解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9 ＋1－2×3×1×2 3 ＝6，∴b＝ 6. 5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin Bcos C ＋csin Bcos A＝1 2b，且 a>b，则 B＝( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 解析：选 A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝1 2b，∴根据正弦定理可得 sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝1 2sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1 2sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1 2 ， 即 sin B＝1 2.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π 6. 6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A ＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则 a＝( ) A. 5 B．3 C. 10 D．4 解析：选 B 由正弦定理可得 2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C， ∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C， ∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－ 2×3×2×1 3 ＝9，∴a＝3. 7．在△ABC 中，AB＝ 6，A＝75°，B＝45°，则 AC＝________. 解析：C＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得 AB sin C ＝ AC sin B ， 即 6 sin 60° ＝ AC sin 45° ，解得 AC＝2. 答案：2 8．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－1 4 ，3sin A＝ 2sin B，则 c＝________. 解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b. 又∵a＝2，∴b＝3. 由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴c2＝22＋32－2×2×3× －1 4 ＝16，∴c＝4. 答案：4 9．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2， A＝60°，则 sin B＝________，c＝________. 解析：由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ， 得 sin B＝b a·sin A＝ 2 7 × 3 2 ＝ 21 7 . 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 得 7＝4＋c2－4c×cos 60°， 即 c2－2c－3＝0，解得 c＝3 或 c＝－1(舍去)． 答案： 21 7 3 10．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数 列，且 a＝2c，则 cos A＝________. 解析：因为 sin A，sin B，sin C 成等差数列，所以 2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得 a＋c＝2b，又因为 a＝2c，可得 b＝3 2c，所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 9 4c2＋c2－4c2 2×3 2c2 ＝－1 4. 答案：－1 4 11．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A＝2B. (1)求证：a＝2bcos B； (2)若 b＝2，c＝4，求 B 的值． 解：(1)证明：因为 A＝2B，所以由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 a sin 2B ＝ b sin B ， 所以 a＝2bcos B. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A， 因为 b＝2，c＝4，A＝2B， 所以 16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以 cos2B＝3 4 ， 因为 A＋B＝2B＋B<π， 所以 B<π 3 ，所以 cos B＝ 3 2 ，所以 B＝π 6. 12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b ＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求 A 的大小； (2)若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由已知，结合正弦定理， 得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc. 又由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以 bc＝－2bccos A，即 cos A＝－1 2. 由于 A 为△ABC 的内角，所以 A＝2π 3 . (2)由已知 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C， 结合正弦定理，得 2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C， 即 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin22π 3 ＝3 4. 又由 sin B＋sin C＝1， 得 sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1， 所以 sin Bsin C＝1 4 ，结合 sin B＋sin C＝1， 解得 sin B＝sin C＝1 2. 因为 B＋C＝π－A＝π 3 ，所以 B＝C＝π 6 ， 所以△ABC 是等腰三角形． B 级 1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 2cos2A＋B 2 －cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则 c 的值为( ) A. 13 B. 7 C. 37 D．6 解析：选 A 由 2cos2A＋B 2 －cos 2C＝1，得 1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－ cos C＝1，即 2cos2C＋cos C－1＝0，解得 cos C＝1 2 或 cos C＝－1(舍去)．由 4sin B＝3sin A 及正弦定理，得 4b＝3a，结合 a－b＝1，得 a＝4，b＝3.由余弦定理，知 c2＝a2＋b2－2abcos C＝42 ＋32－2×4×3×1 2 ＝13，所以 c＝ 13. 2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c＝ 3，2sin A a ＝tan C c ，若 sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则 a＋b＝________. 解析：∵2sin A a ＝tan C c ＝ sin C ccos C ，且由正弦定理可得 a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R 为△ABC 的外接圆的半径)，∴cos C＝1 2.∵C∈(0，π)，∴C＝π 3.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝ sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当 cos B＝0 时，B＝π 2 ，则 A＝π 6 ，∵c＝ 3， ∴ a＝1，b＝2，则 a＋b＝3.当 cos B≠0 时，sin A＝2sin B，即 a＝2b.∵cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝1 2 ， ∴b2＝1，即 b＝1，∴a＝2，则 a＋b＝3.综上，a＋b＝3. 答案：3 3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2acos C－c＝2b. (1)求角 A 的大小； (2)若 c＝ 2，角 B 的平分线 BD＝ 3，求 a. 解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C) ＝2sin Acos C＋2cos Asin C， ∴－sin C＝2cos Asin C， ∵sin C≠0，∴cos A＝－1 2 ， 又 A∈(0，π)，∴A＝2π 3 . (2)在△ABD 中，由正弦定理得， AB sin∠ADB ＝ BD sin A ， ∴sin∠ADB＝ABsin A BD ＝ 2 2 . 又∠ADB∈(0，π)，A＝2π 3 ， ∴∠ADB＝π 4 ，∴∠ABC＝π 6 ，∠ACB＝π 6 ，b＝c＝ 2， 由余弦定理，得 a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝( 2)2＋( 2)2－2× 2× 2cos2π 3 ＝6，∴a＝ 6. 第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算 [典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝ 7，c＝4，cos B＝3 4 ，则△ABC 的面积等于( ) A．3 7 B.3 7 2 C．9 D.9 2 (2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为 3 4 (a2＋c2 －b2)，则 B＝________. [解析] (1)法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得 a＝3，又 cos B＝3 4 ， B∈(0，π)，所以 sin B＝ 7 4 ，所以 S△ABC＝1 2acsin B＝3 7 2 . 法二：由 cos B＝3 4 ，B∈(0，π)，得 sin B＝ 7 4 ，由正弦定理 b sin B ＝ c sin C 及 b＝ 7，c＝4， 可得 sin C＝1，所以 C＝π 2 ，所以 sin A＝cos B＝3 4 ，所以 S△ABC＝1 2bcsin A＝3 7 2 . (2)由余弦定理得 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ， ∴a2＋c2－b2＝2accos B. 又∵S＝ 3 4 (a2＋c2－b2)，∴1 2acsin B＝ 3 4 ×2accos B， ∴tan B＝ 3，∵B∈(0，π)，∴B＝π 3. [答案] (1)B (2)π 3 [变透练清] 1.变条件本例(1)的条件变为：若 c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝ 15 4 ，则 S△ABC＝________. 解析：因为 sin C＝2sin A，所以 c＝2a，所以 a＝2，所以 S△ABC＝1 2acsin B＝1 2 ×2×4× 15 4 ＝ 15. 答案： 15 2.变结论本例(2)的条件不变，则 C 为钝角时，c a 的取值范围是________． 解析：∵B＝π 3 且 C 为钝角，∴C＝2π 3 －A>π 2 ，∴0 3， ∴c a>1 2 ＋ 3 2 × 3＝2，即c a>2. 答案：(2，＋∞) 3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A. (1)求角 C 的大小； (2)若 c＝3，△ABC 的面积 S＝4 3 3 ，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A， 即 2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B， ∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝1 2 ， ∵C∈(0，π)，∴C＝π 3. (2)由(1)知，C＝π 3 ，故 S＝1 2absin C＝1 2absinπ 3 ＝4 3 3 ， 解得 ab＝16 3 . 由余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 又 c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×16 3 ＝25，得 a＋b＝5. ∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋3＝8. [解题技法] 1．求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边 或该角的两边之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总 之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题 [典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC ＝3π 4 ，AB⊥AD，AB＝1. (1)若 AC＝ 5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC＝π 6 ，CD＝4，求 sin∠CAD. [解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2， 所以△ABC 的面积 S△ABC＝1 2AB·BC·sin∠ABC＝1 2 ×1× 2× 2 2 ＝1 2. (2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得 AC sin∠ADC ＝ CD sin∠CAD ， 即 AC sinπ 6 ＝ 4 sin θ ， ① 在△ABC 中，∠BAC＝π 2 －θ，∠BCA＝π－3π 4 － π 2 －θ ＝θ－π 4 ， 由正弦定理得 AC sin∠ABC ＝ AB sin∠BCA ， 即 AC sin3π 4 ＝ 1 sin θ－π 4 ，② ①②两式相除，得 sin3π 4 sinπ 6 ＝4sin θ－π 4 sin θ ， 即 4 2 2 sin θ－ 2 2 cos θ ＝ 2sin θ， 整理得 sin θ＝2cos θ. 又因为 sin2θ＋cos2θ＝1， 所以 sin θ＝2 5 5 ，即 sin∠CAD＝2 5 5 . [解题技法] 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三 角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定 理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． [提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平 行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． [题组训练] 1.如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB＝ 3BD， BC＝2BD，则 sin C 的值为________． 解析：设 AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD， ∴AD＝a，BD＝2a 3 ，BC＝4a 3 . 在△ABD 中，cos∠ADB＝ a2＋4a2 3 －a2 2a×2a 3 ＝ 3 3 ， ∴sin∠ADB＝ 6 3 ，∴sin∠BDC＝ 6 3 . 在△BDC 中， BD sin C ＝ BC sin∠BDC ， ∴sin C＝BD·sin∠BDC BC ＝ 6 6 . 答案： 6 6 2.如图，在平面四边形 ABCD 中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝ 7，EA ＝2，∠ADC＝2π 3 ，且∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列． (1)求 sin∠CED； (2)求 BE 的长． 解：设∠CED＝α. 因为∠CBE，∠BEC，∠BCE 成等差数列， 所以 2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE， 又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝π 3. (1)在△CDE 中，由余弦定理得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC， 即 7＝CD2＋1＋CD，即 CD2＋CD－6＝0， 解得 CD＝2(CD＝－3 舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得 EC sin∠EDC ＝ CD sin α ， 于是 sin α＝CD·sin2π 3 EC ＝ 2× 3 2 7 ＝ 21 7 ，即 sin∠CED＝ 21 7 . (2)由题设知 0<α<π 3 ，由(1)知 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－21 49 ＝2 7 7 ，又∠AEB＝π－∠BEC －α＝2π 3 －α， 所以 cos∠AEB＝cos 2π 3 －α ＝cos2π 3 cos α＋sin2π 3 sin α＝－1 2 ×2 7 7 ＋ 3 2 × 21 7 ＝ 7 14. 在 Rt△EAB 中，cos∠AEB＝EA BE ＝ 2 BE ＝ 7 14 ，所以 BE＝4 7. 考点三 三角形中的最值、范围问题 [典例] (1)在△ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，A≠π 2 ，sin C＋sin(B －A)＝ 2sin 2A，则角 A 的取值范围为( ) A. 0，π 6 B. 0，π 4 C. π 6 ，π 4 D. π 6 ，π 3 (2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C， 则 cos C 的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D．－1 2 [解析] (1)在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝ 2sin 2A，即 2sin Bcos A＝2 2sin Acos A，因为 A≠π 2 ，所以 cos A≠0，所以 sin B＝ 2sin A，由正弦定理得，b ＝ 2a，所以 A 为锐角．又因为 sin B＝ 2sin A∈(0,1]，所以 sin A∈ 0， 2 2 ，所以 A∈ 0，π 4 . (2)因为 cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以 1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得 a2＋b2＝ 2c2，cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝a2＋b2 4ab ≥2ab 4ab ＝1 2 ，当且仅当 a＝b 时等号成立，故选 C. [答案] (1)B (2)C [解题技法] 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略 解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的 量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知 边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件，如 A＋B＋C＝π，0