高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷15理含解析北师大版 5页

‎45分钟滚动基础训练卷(十五)‎ ‎(考查范围：第65讲～第68讲　分值：100分)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．[2012·辽宁卷] 复数＝(　　)‎ A.－i B.＋i C．1－i D．1＋i ‎2．[2012·信阳模拟] 在用反证法证明命题“已知a，b，c∈(0，2)，求证a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不可能都大于‎1”‎时，反证时假设正确的是(　　)‎ A．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都小于1‎ B．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于1‎ C．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都不大于1‎ D．以上都不对 ‎3．计算机执行下面的程序后，输出的结果是(　　)‎ A．1，3 B．4，1‎ C．4，－2 D．6，0‎ ‎4．[2012·江苏卷改编] 设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为(　　)‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎5．[2012·石家庄模拟] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，利用如图G15－1所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是(　　)‎ 图G15－1‎ A．n>10 B．n≤10‎ C．n<9 D．n≤9‎ ‎6．[2012·沈阳模拟] 观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为(　　)‎ A．01 B．‎43 C．07 D．49‎ ‎7．已知复数z1的实部为2，复数z2的虚部为－1，且为纯虚数，z1·z2为实数，若z1＋z2对应的点不在第一象限，则z1－z2对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限 ‎8．[2012·太原检测] 执行如图G15－2所示的程序框图，则输出的S值是(　　)‎ 图G15－2‎ A．－1 B. ‎ C. D．4‎ 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)‎ ‎9．[2013·安徽江南十校联考] 执行下边的程序框图，则输出的T的值是________．‎ 图G15－3‎ ‎10．[2012·吉安二模] 将棋子摆成如图G15－4所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝________．‎ 图G15－4‎ ‎11．[2012·江西八校联考] 已知如图G15－5所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为________．‎ 图G15－5‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎12．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i且z>0，求实数x的值．‎ ‎13．数列{an}(n∈N*)中，a1＝0，an＋1是函数fn(x)＝x3－(3an＋n2)x2＋3n2anx的极小值点，求通项an.‎ ‎14．[2013·郑州模拟] 设f(n)＝1＋2＋3＋…＋n，g(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，h(n)＝13＋23＋33＋…＋n3，根据等差数列前n项和公式知f(n)＝，且＝＝1＝，‎ ＝＝，＝＝＝，‎ ＝＝＝，…‎ 猜想＝，‎ 即g(n)＝·f(n)＝.‎ ‎(1)请根据以上方法推导h(n)的公式；‎ ‎(2)利用数学归纳法证明(1)中的结论．‎ ‎45分钟滚动基础训练卷(十五)‎ ‎1．A　[解析] 本小题主要考查复数的除法运算．解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．‎ 因为＝＝＝－i，所以答案为A.‎ ‎2．B　[解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.‎ ‎3．B　[解析] 首先把A＋B＝4的值赋给A，此时A＝4，B＝3，再把A－B＝4－3＝1的值赋给B，故输出的是4，1.‎ ‎4．C　[解析] 本题考查复数的四则运算．解题突破口为将所给等式右边的分子、分母同时乘以分母的共轭复数．‎ 因为＝＝5＋3i，所以a＝5，b＝3.‎ ‎5．D　[解析] 因为求第10项，肯定n>9时输出．‎ ‎6．B　[解析] 75＝16 807，76＝117 649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，‎ ‎∵2 011＝502×4＋3，∴72 011与73末两位数字相同，故选B.‎ ‎7．D　[解析] 设z1＝2＋bi，z2＝a－i(a，b∈R)，则＝＝为纯虚数，所以2a－b＝0且2＋ab≠0，z1·z2＝(2＋bi)(a－i)＝(2a＋b)＋(ab－2)i为实数，所以ab＝2.由解得或又z1＋z2＝(2＋a)＋(b－1)i对应的点不在第一象限，所以不符合，于是z1－z2＝(2－a)＋(b＋1)i＝3－i，对应的点在第四象限．‎ ‎8．A　[解析] 本小题主要考查程序框图的应用．解题的突破口为分析i与6的关系．‎ 当i＝1时，S＝＝－1；当i＝2时，S＝＝；当i＝3时，S＝＝；‎ 当i＝4时，S＝＝4；当i＝5时，S＝＝－1；当i＝6时程序终止，故输出的结果为－1.‎ ‎9．81　[解析] 该程序本质上是＝＋2，T＝＋＋…＋＝9×1＋×9×8×2＝81.‎ ‎10．2 029 099　[解析] 由已知条件知a1＝5，由a2－a1＝4，a3－a2＝5，…，an－an－1＝n＋2，这n－1个等式叠加得an－a1＝4＋5＋…＋(n＋2)＝，所以a2 012－5＝1 009×2 011＝2 029 099.‎ ‎11．20　[解析] 据题意若当箭头a指向①时，运行各次的结果S＝1，i＝2；S＝2，i＝3；S＝3，i＝4；S＝4，i＝5；S＝5，i＝6>5，故由判断框可知输出S＝m＝5；若箭头a指向②时，输出的结果为S＝1＋2＋3＋4＋5＝15，故m＋n＝15＋5＝20.‎ ‎12．解：∵z>0，∴z∈R，‎ ‎∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.‎ 又z>0，即－x>0，‎ ‎∴当x＝1时，上式成立；‎ 当x＝3时，上式不成立．‎ ‎∴x＝1.‎ ‎13．解：易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)，‎ 令f′n(x)＝0，得x＝3an或x＝n2.‎ ‎(1)若3an0，fn(x)单调递增；‎ 当3ann2时，f′n(x)>0，fn(x)单调递增，‎ 故fn(x)在x＝n2时，取得极小值．‎ ‎(2)若3an>n2，仿(1)可得，fn(x)在x＝3an时取得极小值．‎ ‎(3)若3an＝n2，f′n(x)≥0，fn(x)无极值．‎ 因a1＝0，则3a1<12，由(1)知，a2＝12＝1.‎ 因3a2＝3<22，由(1)知a3＝22＝4，‎ 因3a3＝12>32，由(2)知a4＝3a3＝3×4，‎ 因3a4＝36>42，由(2)知a5＝3a4＝32×4，‎ 由此猜想：当n≥3时，an＝4×3n－3.‎ 下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.‎ 事实上，当n＝3时，由前面的讨论知结论成立．‎ 假设当n＝k(k≥3)时，3ak>k2成立，则由(2)知ak＋1＝3ak>k2，‎ 从而3ak＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1>0，‎ 所以3ak＋1>(k＋1)2.‎ 故当n≥3时，an＝4×3n－3，‎ 于是由(2)知，当n≥3时，an＋1＝3an，而a3＝4，‎ 因此an＝4×3n－3，‎ 综上所述，an＝ ‎14．解：(1)由＝＝1＝，＝＝＝3＝，＝＝＝6＝，＝＝＝10＝，…‎ 猜想＝，即h(n)＝·f(n)＝.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1＝左边，即当n＝1时，式子成立；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，13＋23＋33＋…＋k3＝成立，‎ 则当n＝k＋1时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝＋(k＋1)3＝(k＋1)2 ‎＝＝.‎ 即当n＝k＋1时，原式也成立．‎ 综上所述，13＋23＋33＋…＋n3＝对任意n∈N*都成立．‎