备战高考数学平面向量 38页

学科网备战高考数学 平面向量 ‎【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布 平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第【考点pk】名师考点透析 考点一、向量的概念、向量的基本定理 ‎【名师点睛】‎ 了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。‎ 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。‎ 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.‎ ‎ 注意：若和是同一平面内的两个不共线向量 ‎【试题演练】‎ ‎1、直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。‎ ‎2、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与 的夹角为30°,且||＝||＝1，|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,‎ 则λ+μ的值为 .‎ 解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6‎ 点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。‎ 二、向量的运算 ‎【名师点睛】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的【试题演练】‎ ‎1、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（　 ）‎ A.(－15,12)　　　B‎.0 C.－3 D.－11‎ 解：(a+2b)，(a+2b)·c ，选C ‎　　点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。‎ ‎2、已知平面向量，且∥，则=（　 ）‎ ‎ A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）‎ 解：由∥，得m＝－4，所以，‎ ‎＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。‎ 点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。‎ ‎3、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）‎ A. －1 B. ‎1 ‎ C. －2 D. 2‎ 解：由于 ‎∴，即，选Ａ 点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。‎ ‎4、在中，，若点满足，则=（ ）． A. B. C. D. ‎ ‎【解法一】∵ ∴‎ ‎∴．‎ ‎【试题演练】‎ 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( 　 )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分点的向量式得:同理，有：以上三式相加得所以选A.‎ 点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.‎ 四、向量与三角函数的综合问题 ‎【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。‎ ‎【试题演练】‎ ‎1、已知向量 ,函数 ‎(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值．‎ 解：(1) . 所以，T＝. ‎ ‎(2) 由得，‎ ‎∵，∴　∴ ∴ ‎ ‎2、在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求；（2）若，且，求．‎ 解：（1） 又 解得．‎ ‎ ，是锐角． ．‎ ‎（2）由， ， ．‎ ‎ 又 ． ．‎ ‎ ． ．‎ ‎　　点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。‎ ‎3、将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，代入到已知解析式中可得选Ａ ‎ 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ 五、平面向量与函数问题的交汇 ‎【名师点睛】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。‎ ‎【试题演练】已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．‎ ‎（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。‎ 解：由已知条件： ， 得：‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ 因为：，所以：‎ 所以，只有当： 时， ，或时，‎ 点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。‎ 六、平面向量在平面几何中的应用 ‎【名师点睛】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ O x A C B a y A C B a Q P ‎【试题演练】‎ 如图在RtABC中，已知BC=a，若长为‎2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。 ‎ 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=‎2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），‎ ‎∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.‎ 点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。‎ ‎【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析 ‎2009高考试题及解析 ‎5一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 ‎ C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,由及向量的性质可知,C正确.‎ ‎2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 ‎ A. 6 B. ‎2 C. D. ‎ ‎【解析】，所以，选D.‎ ‎3.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A． B． C． D． 答案：C ‎ ‎【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．‎ ‎5.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现 ‎∵a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.‎ ‎6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )‎ A． 三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ 大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边 三等分点，答案是集合S为六边形 ABCDEF，其中，‎ ‎ ‎ 即点P可以是点A.‎ ‎7.（2009北京理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向 ‎【答案】D【解析】取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B.若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.‎ ‎8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B。‎ ‎【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，‎ 集合，则A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝‎ ‎【解析】因为代入选项可得故选A.‎ ‎12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：。故选C ‎13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，， 则 ‎ （A） (B) (C) 4 (D)12‎ ‎【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋‎4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴选B ‎14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ‎ （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ 解析：;‎ ‎15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=‎ A‎.3a+b B. ‎3a-b C.-a+3b D. a+3b ‎【答案】B【解析】由计算可得故选B ‎17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝‎ ‎（A） （B）2 （C）4 （D）12‎ ‎【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋‎4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴‎ ‎18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则( )‎ ‎（A）150°B）120° （C）60° （D）30°‎ ‎【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3‎ ‎－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A。‎ ‎21.(2009湖南卷理)对于非0向量， 是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】由可得，即得，但，不一定 有，所以“”是“的充分不必要条件。‎ ‎22.（2009福建卷文）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 ‎ A．以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 C．，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 解析 假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。‎ ‎23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题 ‎1.（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，，则 . ‎ ‎【解析】或，则或.‎ ‎2.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，‎ 则向量和向量的数量积= 。‎ ‎【解析】 考查数量积的运算。 ‎ ‎3.（2009安徽理）给定两个长度为1的平面向量和，‎ 它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动.若其中,则 的最大值是________.‎ ‎[解析]设 ‎ ‎，即 ‎∴‎ ‎4.（2009安徽文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= ______。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】设、则 , ,代入条件得【答案】4/3‎ ‎5.（2009江西卷文）已知向量，， ，若 则= ．‎ 答案： 【解析】因为所以.‎ ‎6.（2009江西卷理）已知向量，，，若∥，则= ．‎ 答案：【解析】‎ ‎7.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . ‎ 解:作,设，,‎ 由解得故 ‎8.（2009辽宁文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.‎ ‎ ‎ ‎2（2009湖南卷文）（每小题满分12分） 已知向量 ‎（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若求的值。 ‎ 解：（Ⅰ） 因为，所以于是，故 ‎（Ⅱ）由知，所以 从而，即，于是.又由知，‎ ‎，所以，或.因此，或 ‎ ‎3（2009广东文理）已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值． ‎ 解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.‎ ‎（2）∵，，∴，则，∴.‎ ‎4.2009江苏卷）设向量 ‎ ‎（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值; ‎ ‎（3）若，求证：∥. ‎ ‎2008高考试题及解析 ‎（一）选择题 ‎1.（安徽理3文2）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ ）‎ A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）‎ 解：因为，选B。‎ ‎2.（广东卷理8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.‎ ‎3.（广东卷文3）已知平面向量，，且//，则＝（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【解析】排除法:横坐标为,选B.‎ ‎4.（海南宁夏卷理8文9）平面向量，共线的充要条件是（ ）‎ A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 ‎ C. ， D. 存在不全为零的实数，，‎ ‎【试题解析】：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；【解析】由定比分点的向量式得:‎ 以上三式相加得 所以选A.‎ ‎8.（辽宁卷理5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则 ‎ A． B． C． D．‎ 解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。‎ 依题∴答案：A ‎9.（辽宁卷文5）已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ ）A． B． C． D．‎ 解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。‎ ‎ 且， 答案：A ‎10.（全国Ⅰ卷理3文5）在中，，．若点满足，则 A． B． C． D．‎ A. 由，，；‎ ‎11.（四川卷文3）设平面向量，则( )‎ ‎（Ａ）　　　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）‎ ‎【解】：∵ ∴‎ 故选C；此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算 ‎12.（上海春卷13）已知向量，若，则等于( )‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）‎ 解析：由题意得2-（-3）3=0，所以=。‎ ‎13.（湖南卷文7）在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.‎ ‎14.（浙江卷理9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ‎ （A）1 （B）2 （C） （D）‎ 解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。‎ 展开 则的最大值是;或者利用数形结合, ，对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可. ‎ ‎17.（安徽卷理5）将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ ）A． B． C． D．‎ 解：设平移向量，则函数按向量平移后的表达式为 ‎，因为图象关于点中心对称，‎ 故代入得： ，，‎ k=0得：，选C。本题也可以从选择支出发，逐个排除也可。‎ ‎18.（福建卷理9）函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为A. B. C.－ D.－ ‎ 解：,而的图象按向量 平移后 得到,所以，故可以为.‎ ‎19.（福建卷文7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx 解：‎ ‎20.（湖北卷理5文7）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是A. B. C. D. ‎ 解： 平移得到图象的解析式为,对称轴方程，‎ 把带入得，令，‎ ‎21.（辽宁卷理8文8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则 A． B． C． D．‎ 解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故 ‎22.（重庆卷理7）若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为(A)－ (B) － (C) (D) ‎ 解：设点，则，选 A ‎23.（重庆卷文4）若点P分有向线段所成的比为-，则点B分有向线段所成的比是 ‎(A)- (B)- (C) (D)3‎ ‎【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知，B点是有向线段PA的外分点，，故选A。‎ ‎（二）填空题 ‎1.（北京卷理10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．‎ ‎【标准答案】: 0‎ ‎【试题分析】: 利用数形结合知，向量a与‎2a+b垂直。‎ ‎【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起注意。‎ ‎2.（北京卷文11）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．‎ ‎【答案】【解析】‎ ‎3.（江苏卷5）的夹角为，，则 。‎ ‎【解析】本小题考查向量的线性运算．‎ ‎=，7【答案】7‎ ‎4.（江西卷理13）直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则= ．‎ ‎【答案】 【解析】由已知得,则 ‎5.（江西卷文16）如图，正六边形中，有下列四个命题：‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．‎ ‎【解析】, ∴对取的中点,则, ‎ ‎∴对设, 则,而,∴错 又,∴对∴真命题的代号是 ‎6.（陕西卷理15文15）关于平面向量．有下列三个命题：‎ ‎①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）‎ 解：①，向量与垂直②‎ ‎③构成等边三角形，与的夹角应为所以真命题只有②。‎ ‎7.（上海卷理5文5）若向量、满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则|+|＝‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎8.（天津卷理14）如图，在平行四边形中，，‎ 则 .‎ 解析：令，，则 所以.‎ ‎9.（天津卷文14）已知平面向量，，若，则 ．‎ 解析：因为，所以．‎ ‎10.（浙江卷文16）已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 。答案：‎ ‎ (舍负).‎ ‎（三）解答题 ‎1.（福建卷理17）　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.‎ 解：（Ⅰ） 由题意得 ‎ ‎　　　　　由A为锐角得 ‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ‎　所以 ‎　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.‎ ‎　当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是 ‎2.（福建卷文17）已知向量,且 ‎(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数R)的值域.‎ 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.‎ 解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得 因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是 ‎2007高考试题及解析 一、选择题 ‎1（北京4）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　Ａ　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2（辽宁3）若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ D ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎3（辽宁6）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4（宁夏，海南4）已知平面向量，则向量（　Ｄ　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎5.（福建4）对于向量和实数，下列命题中真命题是（ B ）‎ A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 ‎6（湖北2）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　Ａ　）‎ Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．‎ ‎7（湖北文9）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ Ｂ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8（湖南4）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9（湖南文2）若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10（四川7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为 （ A ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11（天津10）设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（　Ａ　）Ａ．[-6，1] Ｂ． Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]‎ ‎12（浙江7）若非零向量满足，则（　Ｃ　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ‎ ‎13（浙江文9）若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则（Ａ）　　‎ ‎(A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜‎ ‎(C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜‎ ‎14（山东11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（　C　）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎15（山东文5）已知向量，若与垂直，则（ Ｃ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎16（重庆5）在中，，，，则（　Ａ　）‎ D C A B 题（10）图 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎17（重庆10）如题（10）图，在四边形中，，‎ ‎，，‎ 则的值为（　Ｃ　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎18（上海14）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　B　）‎ ‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ ‎19（全国Ⅰ3）已知向量，，则与（　A　）‎ A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 ‎20（全国Ⅱ5）在中，已知是边上一点，若，则（ A ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎1（安徽13）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示）． ‎ ‎2（北京11．）已知向量．若向量，则实数的值是 ‎3（北京12．）在中，若，，，则 ‎ ‎4（广东10. ）若向量、满足的夹角为120°，则＝ .‎ ‎5（湖南12．）在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 ．‎ ‎7（江西15．）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 2 ．‎ ‎8（江西文13．）在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．‎ ‎9（陕西15. ）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .‎ ‎10（天津15．）如图，在中，，是边上一点，，则　　　　　．‎ ‎11（天津文15）在中，，，是边的中点，则．‎ ‎12（重庆文（13））在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。‎ ‎13（上海文6．）若向量的夹角为，，则 ．‎ 三、解答题：‎ ‎1．（广东）16已知△顶点的直角坐标分别为.‎ ‎ （1）若，求sin∠的值;（2）若∠是钝角，求的取值范围.‎ ‎ 解：(1) , 当c=5时，‎ ‎ 进而 ‎(2)若A为钝角，则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>‎ 显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+)‎ ‎（1）求；（2）若，且，求．‎ 解：（1） 又 解得．‎ ‎ ，是锐角． ．‎ ‎（2）， ， ．又 ．‎ ‎ ． ． ．‎ ‎【两年模拟】 ‎ ‎08名校模拟题及其答案 一、选择题 ‎1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在中，=a，=b，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，则= （ ）‎ A．a-b B．-a+b C．a-b D．-a+b 答案 B ‎2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知向量，，若 与 共线，则等于( )A．； B．； C．； D．；答案 A ‎3.(江西省五校2008届高三开学联考)已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－‎ ‎|，则 ( )A.⊥ B.⊥(－) C.⊥(－) D.(＋)⊥(－)答案：B ‎4.(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知向量a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若a//b，则x= （ ）A.4 B‎.5 ‎‎ ‎ C.6 D.7答案 C ‎5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.答案 B ‎6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足,则P的轨迹一定通过的 ‎ A.内心 B. 垂心 C.重心 D.AB边的中点 答案 C ‎7.(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)下列式子中（其中的a、b、c为平面向量），正确的是 （ ） A． B．a（b·c）= （a·b）c ‎ C． D． 答案 C ‎8.(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知单位向量a,b的夹角为，那么 ( )‎ A． B． C．2 D．答案 B ‎9.(东北三校2008年高三第一次联考)已知向量 （ ）A．1 B． C．2 D．4答案 B ‎10.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知平面上三点A、B、C满足的值等于 （ ） A 25 B ‎24 ‎C.－25 D －24答案 C ‎11.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含边界），设，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m、n满足（ ）‎ ‎ A．m>0, n>0 B．m>0, n<‎0 ‎ ‎ C．m<0, n>0 D．m<0, n<0 答案 B ‎12.(湖北省荆门市2008届上期末)如图，在△ABC中，= （ ） ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 二、填空题 ‎13.(江苏省省阜中2008届高三第三次调研) O为平面上定点，A, B, C是平面上不共线的三 若()·()=0, 则DABC的形状是 .答案 等腰三角形 ‎14.（ 江苏省滨海县2008高三第三次联考数学试卷）不共线的向量，的模都为2，若，，则两向量与 的夹角为 答案 90°‎ ‎ 15.(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知向量，，则的值为 .答案 1‎ ‎16.(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知，且，∠AOB=60°，则=____；与的夹角为_____.答案 2, ‎17.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知Rt△ABC的斜边BC=5，则的值等于 .答案 －25‎ 三、解答题 ‎19.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知, ，，.（Ⅰ）当时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围.‎ 解 （Ⅰ）当时，，.‎ ‎. ∵ ,‎ ‎∴ 解得 或.‎ ‎∴ 当时，使不等式成立的x的取值范围是.‎ ‎ （Ⅱ）∵ ,‎ ‎∴ 当m<0时,； 当m=0时, ； 当时，； 当m＝1时，； 当m>1时，. ‎ ‎2009名校模拟题及其答案 一、选择题 ‎ ‎1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量等于（ ）A．9 B．‎1 ‎ C．－1 D．－9答案 B ‎2.（2009昆明市期末）在△ABC中，‎ ‎ ( )A． B C． D．1答案 B ‎3.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知向量反向，则m=（ ）‎ A．－1 B．－‎2 ‎C．0 D．1答案A ‎4.（2009上海闸北区）已知向量和的夹角为，，且，则 ( )‎ A． B． C． D．答案 C ‎5．(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知、是不共线的，则、、 三点共线的充要条件是：（）‎ A． B． C． D．答案 D ‎ ‎6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知向量夹角的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． 答案 C 二、填空题 ‎ ‎7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知，且，则与的夹角为 ．答案 ‎ ‎8.（2009云南师大附中）设向量_________答案 ‎ ‎9.（2009冠龙高级中学3月月考）若向量与的夹角为，，则____.答案 ‎ ‎10.（2009上海九校联考）若向量，则向量的夹角等于 ‎ ‎11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ‎ ① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；‎ ‎ ② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；‎ ‎ ③ 将函数y=|x-1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y=|x|；‎ ‎ ④若（）·（）=0，则△ABC为等腰三角形 ‎ 以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）答案 ①③④‎ ‎12.（2009扬州大学附中3月月考）在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则实数m= ．答案 －2或0‎ ‎13.（2009丹阳高级中学一模）已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 答案 2‎ 三、解答题 ‎14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m＝（，1），n＝(，)。（1）若m•n=1,求的值;（2）记f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（‎2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。‎ 解 （I）m•n= ==‎ ‎ ∵m•n=1 ∴ =‎ ‎ ‎ ‎ （II）∵（‎2a-c）cosB=bcosC 由正弦定理得 ‎ ∴∴∵∴，且∴∴‎ ‎∴又∵f(x)=m•n＝，∴f(A)= ‎ 故函数f(A)的取值范围是（1,）‎ 平移后得到函数的图像，求实数m,n的值。‎ ‎ 解 （1）‎ 又 ‎（2）平移后为而 ‎17.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知向量 ‎（1）当时，求的值；（2）求在上的值域．‎ 解（1） ，∴，∴‎ ‎ （5分）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴ ∴函数 （10分）‎ ‎18.(青岛市2009年统一质量检测)已知向量，设函数.(Ⅰ)求函数的最大值；(Ⅱ)在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，， 且的面积为，,求的值.‎ 解 (Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 因为，所以，‎ ‎，又 ‎ ‎19.(黄山2009届一次质量检测)已知△ABC的面积S满足（1）求的取值范围；（2）求函数的最大值 解 （1）由题意知.‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ （2）‎ ‎.‎ 图4‎ ‎20.(2009广东江门模拟）如图4，已知点和 单位圆上半部分上的动点．⑴若，求向量；‎ ‎⑵求的最大值．‎ ‎ 解 依题意，，‎ ‎（不含1个或2个端点也对）， ‎ ‎（写出1个即可）因为，所以 4分，即解得，所以.‎ ‎⑵，‎ ‎------11分 ------12分 当时，取得最大值，.‎ ‎， ‎ ‎22.（山东临沂2009年模拟）如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。‎ （1） 求关于θ的表达式;求的值域。‎ 解：（1）由正弦定理，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由，得 ‎ ∴，即的值域为.‎ ‎（I）解；‎ ‎ ‎ 得到的单调递增区间为 ‎（II） ‎ ‎25.（安徽省江南十校2009年高三高考冲刺）在中，，记的夹角为.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.‎ 解 (1)由余弦定理知：，又，‎ 所以，又即为的取值范围；‎ ‎（Ⅱ），因为 ‎，所以，因此，. ‎ ‎【一年原创】 2008和2009原创试题及其解析 一、选择题 ‎1．若向量与的夹角为120° ，且，则有 A ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2．已知向量=(1，2)和=(x，1)，若向量+2与2-平行，则实数x等于 (A )‎ A． B．‎1 ‎‎ C． D．2‎ ‎3．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是（ C）‎ A、， B、 ‎ C、 D、‎ ‎4．设是双曲线上一点，点关于直线的对称点为，点为坐标原点，则（B　）.A． B． C． D．‎ ‎5．已知平面内不共线的四点0，A，B，C满足，则（D ）‎ A.1：3 B.3：‎1 ‎‎ C. 1：2 D. 2：1‎ A B C O ‎6．如图，在平面直角坐标系中，两个非零向量与轴正半轴的夹角分别为和，向量满足，则与轴正半轴夹角取值范围是（ B ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7．已知，，，点在直线上的射影为点，则的最大值为 （ C ） ‎ ‎8.若=a，=b，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m则∠AOB平分线上的向量为（ B ）‎ A. B.()，由确定 C. D.‎ 二、填空题 ‎1．已知在平面直角坐标系中，，（其中为原点，实数满足），若N（1，0），则的最小值是________.‎ ‎2．已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，的取值范围是 。‎ ‎3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值等于 ‎ ‎4． ‎ ‎5．设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是 (，3) .‎ ‎6．已知向量，，若与 共线，则= . ‎ ‎7．在平面直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，。 若A、B、C三点构成直角三角形，则实数m的值为或10 ． ‎ ‎8．设是平面直角坐标系内轴、轴正方向上的单位向量，且，则面积的值等于 ▲ 。学科网 三、计算题 ‎1．已知向量.(Ⅰ) 求 f ()的值；(Ⅱ)求时，f (x)的单调递增区间.‎ ‎【解】(Ⅰ) , ‎ ‎(Ⅱ) , 当（）时，f(x)单增， ‎ ‎ 即（） ∵,‎ ‎∴ 在上的单调递增区间为. ‎ ‎2．已知向量，（1）若求的值；（2）设，求的取值范围.‎ ‎＝‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 所以 ‎ ‎4.已知向量，，函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎∴函数的最小周期 ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是三角形内角 ∴， ∴ 即： ‎ ‎ ∴ 即： 将可得： 解之得： ∴ ∴ ‎ ‎【考点预测】 2010高考预测 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。‎ 复习建议 ‎1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；‎ ‎2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般服出现在解答题的前三大题里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。‎ ‎【母题特供】每个专题5道最典型试题 ‎ 母题一： 金题引路： ‎ 已知：向量（1）若点能构成三角形，求出实数应满足的条件；（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值。 ‎ 解：（1）要使点能构成三角形，只要三点不共线。‎ 由有：‎ 所以只要即 ‎（2）因为为直角三角形，且为直角 ‎ 符合题意。‎ 母题二： 金题引路： ‎ 已知向量（Ⅰ）当时，求函数的值域；（Ⅱ）若的值.‎ 解：（Ⅰ）由 ‎∵∴的值域为[－1，2] ‎ ‎（Ⅱ）∵∴∴ ‎ ‎∴‎ 母题三： 金题引路： ‎ 设函数，其中向量， (1)求函数的最小正周期 ‎（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的取值集合.‎ 解：（Ⅰ）f(x)=×= (2cosx+1,cos2x-sinx+1)×(cosx,-1)=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1 =cosx+sinx =sin(x+) ‎ 令2kp+£x+£2kp+，kÎZ 解得：2kp+£x£2kp+所以，函数f(x)的单调递减区间[2kp+,2kp+]，kÎZ ‎（Ⅱ）函数f(x)的最大值是，此时x+=2kp+，即x=2kp+ ‎∴函数f(x)取得最大值时，x的取值集合为{x|x=2kp+，kÎZ}‎ 母题五、金题引路：‎ 如图4，已知点和单位圆上半部分上的动点．‎ 图4‎ ‎⑴若，求向量；‎ ‎⑵求的最大值．‎