专题两招破解平面向量难题名师揭秘高考数学文命题热点全覆盖 10页

一．【学习目标】‎ ‎1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结 二．【平面向量解题方法规律】‎ ‎1.用向量解决平面几何问题的步骤 ‎(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；‎ ‎(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；‎ ‎(3)把运算结果“翻译”成几何关系.‎ ‎2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.‎ ‎3.几点注意事项 ‎(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.‎ ‎(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.‎ ‎(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.‎ 三．【平面向量题型分析】‎ ‎（一）平面向量基本定理的应用 例1．设为所在平面内一点，若，，则（ ）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，根据向量运算的“三角形法则”可得，结合，求得的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，故选A. ‎ ‎【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），‎ 在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎（二）向量中的最值问题 例2．设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.‎ 练习1．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则对于任意的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当且仅当， 时，取得最小值 此时，取得最小值 练习2．在边长为1的正△ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，则•的最大值为（　　） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，由此能求出当时，的最大值为． ‎ 练习1．在中，过中线的中点任作一直线分别交边、于、两点,设,则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，∵共线，∴．‎ ‎，当且仅当时等号成立，故最小值为． ‎ ‎【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算，实质就是求出满足的等量关系，题中唯一的关系就是三点共线，由此联想平面向量的一个定理：是平面的一个基底， ，则 三点共线．这样只要由平面向量的线性运算把用表示出来就可得的等量关系．然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值．‎ 练习2．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ 考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义. ‎ 方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件得到，再把已知条件，代入得到，根据三点共线得，利用均值不等式得到，而，从而求得的最小值是.‎ 练习3．在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎（七）坐标法解决向量问题 ‎ 例7．如图，在矩形中， ， ，点为的中点，如果，那么的值是__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 练习2．如图，为△的外心，为钝角，是边的中点，的值（ ） ‎ A． 4 B.．6 C．7 D． 5 ‎ ‎【答案】D 练习3．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）‎ A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 ‎【答案】B ‎【解析】解出，计算并化简可得出结论．‎ ‎【详解】λ（），‎ ‎∴，‎ ‎∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．‎ 故选：B．‎ 练习4．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则λ的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值． ‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ 练习1．若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形，AB交y轴于C,且则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】设A（x1，y1），y1＝f（x1），B（x2，y2），y2＝g（x2）＝﹣x23+x22（x＜0），又， ‎ 则，x2＝﹣2x1，∴．‎ ‎，，‎ 由题意，，即0，‎ ‎∴，‎ ‎∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，∴，‎ 则．‎ 设h（x），则h′（x），‎ 令,则u′（x）==>0在e﹣1＜x＜e2﹣1恒成立，‎ 所以单增，所以>=>0，∴h′（x）＞0，‎ 即函数h（x）在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，‎ 则，‎ 即4e-2＜a．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ 故选：B． ‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．‎ ‎（十）向量的几何意义 例10．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．‎ ‎【详解】‎ 练习1．的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 练习2．已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．‎ ‎【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，‎ 过点作轴，过点作轴，‎ ‎∵，，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴，，，‎ 设，∴，，，‎ ‎∴，‎ 当时，取得最小值为，故选C. ‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题． ‎