高考数学 数列专题复习 5页

专题一 数列 ‎【知识框架】‎ ‎【知识要点1】‎ 一、数列的概念 ‎1. 数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3……an,……简记{an}. ‎ ‎2. 数列{an}的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 ‎ ‎3. 如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an =f（an-1）或an =f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.‎ ‎4. 数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。‎ 二、数列的表示方法：‎ 列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。‎ 三、数列的分类 ‎1.  按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。 ‎ ‎2.  按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 ‎ ‎3.  从函数角度考虑分：（考点）‎ ‎①递增数列：对于任何n∈ N+，均有an+1 > an ‎②递减数列：对于任何n∈ N+，均有an+1 < an ‎③摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-1…L--- ‎ ‎④常数数列：例如:6，6，6，6，6，6…‎ ‎⑤有界数列：存在正数M，使an M S1 (n=1)‎ Sn-Sn-1 (n≥2)‎ 四、an与Sn的关系：（考点）‎ ‎1. Sn = a1+a2+a3+…+an= 2. an= ‎ ‎【例题1】已知数列{an}是递增数列,其通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3…） ,则实数λ的取值范围 。‎ ‎[解析]： ‎ ‎∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3…） 数列是递增数列 ‎∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)- n2-λn ‎ =2n+1+λ>0 恒成立 ‎∵2n+1+λ的最小值是3+λ ∴3+λ>0 ∴λ>-3 实数λ的取值范围是（-3，+∞）‎ ‎【例题2】数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（ B ）‎ A．第４项   B．第５项   C．第６项   D．第７项 ‎[解析1]：an=f(n)= 3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是 由于n∈ N+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故选择B an≥an-1‎ an≤an+1 ‎ ‎3n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)‎ ‎3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1) ‎ ‎[解析2]：‎ 设an为数列的最小项，则有 代入化简得到 解得： 故n=5‎ ‎【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值为（  Ｄ  ）‎ ‎-2 (n=1)‎ ‎2n-5 (n≥2)‎ A．10       B．11      C．12        D．13 ‎ ‎【练习2】数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则an an=‎ ‎【知识要点2等差数列】‎ ‎1. 定义：如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或者an+1-an=d（n∈N+）‎ ‎2. 通项公式：‎ an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的变形) an=an+b 其中a=d，b= a1-d ‎3. 前n项和公式：‎ ‎ (公式的变形) Sn=An2+Bn 其中A= B=‎ ‎4. 性质：‎ ‎（1）公式变形 ‎（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中项.‎ ‎（3）若{}为等差数列，且有k+l=m+n, 则 ‎（4）若为等差数列则{是等差数列，其中p,q均为常数 ‎（5）若{}为等差数列，则（k,m）组成公差为md的等差数列.‎ ‎（6）若分别为{}的前n项，前2m项，前3m项的和，则,,成等差数列.‎ ‎（7）若{}设等差数列，则是等差数列，其首项与{}首项相同，公差是{}公差的 ‎（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n,则S偶-S奇=nd， 若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an，S奇=nan， ‎ ‎5. 判断：‎ ‎①定义法：an+1-an=d（n∈N+）  ‎ ‎② 中项法： 2an+1=an+ an+2 +=Û {}为等差数列。  ‎ ‎③通项公式法：an=an+b（a,b为常数）Û{ } ‎④前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B为常数）Û{} ‎【例题1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ B ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎[解析]：∵ d=1 ∴S8=8a1+28 S4=4a1+6 ‎ ‎ ∵S8=4 S4 ∴ a1=0.5 an=a1+(n-1)d ∴a10=‎ ‎【例题2】在等差数列中，若，则= 10 .‎ ‎[解析]：因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．‎ ‎【知识要点3等比数列】‎ ‎1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，及 ‎2. 通项公式：‎ na1 (q=1)‎ ‎ 或 (q≠1)‎ 如果等比数列的公比为q，那么它的通项公式为.‎ ‎3. 前n项和公式：‎ 设等比数列{}的公比为q，其前n项和= ‎4. 性质：‎ ‎（1）‎ 等比数列{}满足或时，{}是递增数列；‎ 满足或时，{}是递减数列.‎ 当q=1时，{}为常数数列；‎ 当q<0时，{}为摆动数列，且所有奇数项与同号，所有偶数项与异号.‎ ‎（2）对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{}中，的关系为:‎ ‎（3）若{},{}为等比数列（项数相同），则{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比数列.‎ ‎（4）如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=±√ab。不是任何两数都有等比中项，只 有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。‎ ‎【例题1】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎[解析]：由题意解得：a1=1，a4=8， q=2，那么 ‎【例题2】数列中为的前n项和，若，则 6 .‎ ‎[解析]：∵an+1=2an ∴数列是等比数列，q=2 ‎ ‎∵Sn= =126 其中a1=2 ∴n=6‎ ‎【知识要点4】★（大题）‎ 一、考点1：求an：‎ ‎1. 归纳法（由特殊到一般即找规律）‎ 由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。‎ 2. 利用Sn与an的关系求通项公式 由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表示. 2. 由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法】‎ ‎1.累加法：若已知且则，即.‎ ‎2.累乘法：若已知且则 ,即 ‎3.换元法：若已知且且p）则令,可得{}（其中）为等比数列，其中可用待定系数法求出.‎ ‎【例题1】已知数列满足，求数列的通项公式。（累加法）‎ 解：由得则 所以数列的通项公式为。‎ ‎【例题2】已知数列满足，求数列的通项公式。（累乘法）‎ 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 二、考点2：求Sn：‎ ‎1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解 ‎2.倒序相加法：在数列{}中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前n项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前n项和公式推导）‎ ‎3.错位相减法：在数列{}中，{}是等差数列，{}是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. ‎ ‎4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.‎ ‎5.分组转化求和法：‎ 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。‎ ‎6.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.‎ ‎【例题1】设数列满足 ，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。（错位相减法）‎ ‎[解析]：（1）由已知，当n≥1时，‎ ‎。 而 所以数列{}的通项公式为。‎ ‎（2）由知 ‎ ①‎ 从而 ‎ ②‎ ① ‎-②得 ‎ 即 ‎ ‎【例题2】求数列的前n项和。（裂项相消法）‎ ‎[解析]：设 （裂项）‎ 则 （裂项求和）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎