高考理科数学试题解析版海南卷 14页

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 理科数学解析版 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）- （24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题 无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式： 样本数据 的标准差 锥体体积公式 其中 为样本平均数 其中 为底面面积， 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com] 其中 为底面面积， 为高 其中 R 为球的半径 第 I 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 ， ， nxxx ,, 21 2 2 2 1 2 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn = − + − + + − 1 3V Sh= x S h V Sh= 24S Rπ= 34 3V Rπ= S h { }2, RA x x x= ≤ ∈ { }4, ZB x x x= ≤ ∈ A B = ( )0,2 [ ]0,2 { }0,2 { }0,1,2 { }2 2A x x= − ≤ ≤ { }0 16,B x x x z= ≤ ≤ ∈ { }0,1,2A B = （2）已知复数 ， 是 的共轭复数，则 （A） （B） （C）1 （D）2 【答案】A 【解析】 ， （3）曲线 在点 处的切线方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 ，切线的斜率为 2 切线方程为 ，即 . （4）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 ，角速度 为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 ( )2 3 i 1 3i z += − z z z z⋅ 1 4 1 2 ( ) ( )3 i ( 3 i)(1- 3 ) 2 3 2 3 2 4 42 1 3i 2 1 3i (1 3 ) i i iz i + + − − += = = =− ×− + − + − 3-i 4z −= 1 4z z⋅ = 2 xy x = + ( )1, 1− − 2 1y x= + 2 1y x= − 2 3y x= − − 2 2y x= − − 2 2' ( 2)y x = + [ ]( 1) 2 ( 1)y x− − = − − 2 1y x= + ( )0 2, 2P − 【答案】C 【解析】当点 在 ，即 ， 到 轴的距离为 。 ∵ ，∴ ∵角速度为 1，∴从 转到 轴需要的时间为 ，即当 时， 到 轴的距离为 （5）已知命题 ：函数 在 R 为增函数， ：函数 在 R 为减函数， 则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命题是 （A） ， （B） ， （C） ， （D） ， 【答案】C 【解析】∵ 为增函数， 为减函数，∴ 为增函数，所以 为真 又∵ ，∴ 不是减函数，故 为假. ∴ 为真； 为假； 为假； 为真. P 0P 0t = P x 2 0 2tan 1 2 xoP −∠ = = − 0 4xoP∠ =π 0P x 4 1 4 = π π 4t =π P x 2 1p 2 2x xy −= − 2p 2 2x xy −= + 1q 1 2p p∨ 2q 1 2p p∧ 3q ( )1 2p p− ∨ 4q ( )1 2p p∧ − 1q 3q 2q 3q 1q 4q 2q 4q 2xy = 2 xy −= 2 2x xy −= + 1P 12 2 2 22 x x x xy −= + = + ≥ 2 2x xy −= + 2p 1 1 2:q p p∨ 2 1 2:q p p∧ 3 1 2:( )q p p¬ ∨ 4 1 2: ( )q p p∧ ¬ （6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需 再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 【答案】B 【解析】设没有发芽的种子数为随机变量 ，则 , , 补种的种子数 ，故 （7）如果执行右面的框图，输入 ，则输出的数等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】B （8）设偶函数 满足 ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】B ξ ~ (1000,0.1)Bξ 1000 0.1 100Eξ = × = X=2ξ EX=E =2E =200ξ ξ（2 ） 5N = 5 4 4 5 6 5 5 6 ( )f x ( ) ( )3 8 0f x x x= − ≥ ( ){ }2 0x f x − =＞ { }2x x x＜- 或 ＞4 { }0x x x＜ 或 ＞4 { }0x x x＜ 或 ＞6 { }2x x x＜- 或 ＞2 （9）若 ， 是第三象限的角，则 （A） （B） （C）2 （D） 【答案】A （10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B （11）已知函数 若 a，b，c 互不相等，且 ， 则 abc 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C （12）已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两 点，且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13） 设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似 计算积分 ,先产生两组（每组 N 个）区间[0,1]上的均匀随机数 , …, 和 , …, ,由此得到 N 个点（ ， ）（i=1,2,…,N）,在数出其中满足 ≤ （ （ i=1,2, … ,N ））的 点 数 ， 那 么 由 随 机 模 拟 方 法 可 得 积 分 的 近 似 值 4cos 5 α = − α 1 tan 2 1 tan 2 α α + = − 1 2 − 1 2 2− 2aπ 27 3 aπ 211 3 aπ 25 aπ ( ) lg ,0 10, 1 6, 02 x x f x x x  ≤= − + ＜ ＞1 ( ) ( ) ( )f a f b f c= = ( )1,10 ( )5,6 ( )10,12 ( )20,24 2 2 13 6 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 16 3 x y− = 2 2 15 4 x y− = 1 0 ( )f x dx∫ 1x 2x Nx 1y 2y Ny 1x 1y 1y 1( )f x 1N 1 0 ( )f x dx∫ 为 . 【答案】 (14)正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种) 【答案】三棱柱，三棱锥，圆锥 (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 相切于点 B(2,1)．则圆 C 的方程为 . 【答案】 (16)在 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC, =120°，AD=2，若 的面积为 ，则 = . 【答案】60° 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l2 分) 设数列 满足 ， （Ⅰ)求数列 的通项公式： （Ⅱ）令 ，求数列 的前 n 项和 . 【答案】 解： （I）由已知，当 时， 而 所以数列 的通项公式为 (II)由 可知 则， 1 N N 1 0x y− − = 2 23) 2x y− + =（ ABC∆ 1 2 ABC∠ ADC∆ 3 3− BAC∠ { }na 1 2a = 2 1 1 3 2 n n na a − + − =  { }na n nb na= { }nb nS 1n ≥ 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3 2 n+1 1 [( ) ( ) ( )] 3(2 2 2 2 =2 n n n n n n n a a a a a a a a+ + − − − − = − + − + + − + = + + + + （ ） … … ） 1=2a na｛ ｝ 2n 1=2na − 2n 1nb =n 2na n −= 3 5 2n 11 2 2 2 3 2 n 2 .nS −= • + • + • + + •… 2 3 5 7 2n+12 =1 2 2 2 3 2 n 2 .nS• • + • + • + + •… 2 3 5 2n 1 2n+11 2 =2+2 2 2 n 2 .nS −− + + + − •（ ） … (18)(本小题满分 12 分) 如圈，己知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD, ⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的 高，E 为 AD 中点. （Ⅰ)证明：PE⊥BC （Ⅱ）若 = =60°，求直线 PA 与 平面 PEH 所成角的正弦值. 【答案】 解： （I）以 为原点， ， ， 分别为 轴，线段 的长为单位长度，建立坐 标系如图所示。 设 则 可得 ∵ ∴ （II）由已知条件可得 ，则 2n+11[(3 1)2 2]9nS n= − + AC APB∠ ADB∠ H HA HB HP , ,x y z HA (1,0,0), (0,1,0)A B ( ,0,0), (0,0, )( 0, 0)C m P n m n< > 1(0, ,0), ( , ,0)2 2 mD m E 1( , , ), ( , 1,0).2 2 mPE n BC m= − = −  0 02 2 m mPE BC⋅ = − + =  PE BC⊥ 3 , 13m n= − = 3( ,0,0).3C − ∴ 设 是平面 的法向量 则 ∴ 因此可以取 可得 ∴直线 和平面 所成角的正弦值为 (19)(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下： （Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （Ⅱ）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者 提供帮助的老年人的比例？说明理由. 3 1 3(0, ,0), ( , ,0), (0,0,1)3 2 6D E P− − ( , , )n x y z= PEH 0 0 n HE n HP  ⋅ = ⋅ =   1 3 02 6 0 x y z  − =  = (1, 3,0)n = (1,0, 1)PA = − 2cos , 4PA n< > = PA PEH 2 4 【答案】 解： (I)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的 老年人的比例估计值为 (II) ∵9.967＞6.635，∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 （III）由（II）的结论可知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看 出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该 地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单 随机抽样方法更好。 (20)（本小题满分 12 分） 设 分别是椭圆 E: （a>b>0）的左、右焦点，过 斜率为 1 的直线 l 与 E 相较于 A,B 两点，且 , , 成等差数列. （Ⅰ)求 E 的离心率； （Ⅱ）设点 P（0,-1）满足 ,求 E 的方程. 【答案】 解： 由椭圆定义知 ，又 得 的方程为 ，其中 设 ，则 两点坐标满足方程组 70 14%500 = 2 2 500 (40 270 30 160) 9.967200 300 70 430K × × − ×= × × × ≈ 1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b + = 1F 2AF AB 2BF PA PB= 2 2 4AF BF AB a+ + = 2 22 AB AF BF= + 4 3AB a= l y x c= + 2 2c a b= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,A B 化简得 则 ， 因为直线 斜率为 1，所以 得 ∴ ∴ 的离心率 （II）设 中点为 ，由（I）知 ， 由 得 得 ∴ ， ∴轨迹 的方程为 (21)（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)= . （Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; （Ⅱ）若当 x≥0 时 f(x)≥0，求 a 的取值范围. 【答案】 解： （I） 时， ， 2 2 2 2 1 y x c x y a b = + + = 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b x a cx a c b+ + + − = 2 1 2 2 2 2a cx x a b −+ = + 2 2 2 1 2 2 2 ( )a c bx x a b = − + AB 21 2 1 2) 1 2]2 2[( 4AB x x x x x x−= = + − 2 2 2 4 4 3 aba a b = + 2 22a b= E 2 2 2 2 c a be a a −= = = AB 0 0( , )N x y 21 2 0 2 2 2 2 3 x x a cx ca b + −= = = −+ 0 0 3 cy x c= + = PA PB= 1k = − 0 0 1 1y x + = − 3c = 3 2a = 3b = E 2 2 118 9 x y+ = 21xe x ax− − − 0a = ( ) 1xf x e x= − − '( ) 1xf x e= − 当 时， ，当 时， 故 在 上单调递减，在 单调递增 （II） 由（I）可知 ，当且仅当 时等号成立，故 ∴当 ，即 时， ， ∴当 时， 由 可得 则当 时， ∴当 时， ，而 ∴当 时， 综上得 的取值范围为 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1；几何证明选讲 如图，已知圆上的弧 = ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （Ⅰ) = ; （Ⅱ） ; 【答案】 解： (I)∵ 又∵ 与圆相切于点 ，∴ ∴ ( ,0)x∈ −∞ '( ) 0f x < (0, )x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ '( ) 1 2xf x e ax= − − 1xe x≥ + 0x = '( ) 2 (1 2 )f x x ax a x≥ − = − 1 2 0a− ≥ 1 2a ≤ '( ) 0( 0)f x x≥ ≥ (0) 0f = 0x ≥ ( ) 0f x ≥ 1 ( 0)xe x x> + ≠ 1 ( 0)xe x x− > − ≠ 1 2a > '( ) 1 2 ( 1) ( 1)( 2 )x x x x xf x e a e e e e a− −< − + − = − − (0,ln 2 )x a∈ '( ) 0f x < (0) 0f = (0,ln 2 )x a∈ ( ) 0f x < a 1( , ]2 −∞ AC BD ACE∠ BCD∠ 2BC BE CD= × AC BD= BCD ABC∠ = ∠∴ EC C ACE ABC∠ = ∠ ACE BCD∠ = ∠ （II）∵ ， ∴△ 相似于△ 故 即 (23) （本小题满分 10 分）选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 : （t 为参数），圆 : ( 为参数)， （Ⅰ)当 = 时，求 与 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点 O 作 的垂线，垂足为 A,P 为 OA 的中点，当 变化时，求 P 点轨迹 的参数方程，并指出它是什么曲线; 【答案】 解： （I）当 时， 的普通方程为 ， 的普通方程为 联立方程组 解得 与 的交点为 ， （II） 的普通方程为 A 点坐标为 ∴当 变化时， 点轨迹的参数方程为 （ 为参数） 点轨迹的普通方程为 故 点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆 ECB CDB∠ = ∠ EBC BCD∠ = ∠ BDC ECB BC CD BE BC = 2BC BE CD= × 1C 1 cos . sin , x t y t α α = +  = 2C cos , sin , x y θ θ =  = θ α 3 π 1C 2C 1C α 3 α =π 1C 3( 1)y x= − 2C 2 2 1x y+ = 2 2 3( 1) 1y y x x  + = = −  1C 2C (1,0) 1 3( , )2 2 − 1C sin cos sin 0x yα α α− − = 2 , cos(si n )n siα α α− α P 21 2 1 sin co n s s 2 ix y α α α  =  = α P 2 21 1( )4 16x y− + = P 1( ,0)4 1 4 （24） （本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲 设函数 f(x)= （Ⅰ)画出函数 y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式 f(x)≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围. 【答案】 解： 2 4 1x − + （I）由于 则函数 的图像如图所示 （II）由函数 与函数 的图像可知，当且仅当 或 时，函数 与函数 的图像有交点，故不等式 的解集非空时， 的取值范围 为 2 5, 2( ) 2 3, 2 x xf x x x − + <=  − ≥ ( )y f x= ( )y f x= y ax= 1 2a ≥ 2a < − ( )y f x= y ax= ( )f x ax≤ a 1( , 2) [ , )2 −∞ − +∞