2009年(全国卷II)(含答案)高考理科数学 16页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(理)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1、=(    )‎ A.-2+4i            B.-2-4i            C.2+4i            D.2-4i ‎2、设集合A={x|x＞3},B={x|},则A∩B=(    )‎ A.             B.(3,4)            C.(-2,1)            D.(4,+∞)‎ ‎3、已知△ABC中，,则cosA=(    )‎ A.            B.              C.              D.‎ ‎4、曲线在点（1,1)处的切线方程为(    )‎ A.x-y-2=0            B.x+y-2=0            C.x+4y-5=0            D.x-4y-5=0‎ ‎5、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(    )‎ A.               B.               C.               D.‎ ‎6、已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=,则|b|=(    ) ‎ A.               B.              C.5              D.25‎ ‎7、设a=log3π,,,则(    )‎ A.a＞b＞c             B.a＞c＞b             C.b＞a＞c             D.b＞c＞a ‎8、若将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan()的图象重合，则ω的最小值为…(    )‎ A.                 B.               C.             D.‎ ‎9、已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=(    )‎ A.                 B.              C.            D.‎ ‎10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(    )‎ A.6种            B.12种           C.30种           D.36种 ‎11、已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点.若，则C的离心率为(    )‎ A.             B.               C.              D.‎ ‎12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是(    )‎ A.南              B.北               C.西              D.下 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)‎ ‎13、（)4的展开式中x3y3的系数为___________.‎ ‎14、设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3.则=___________. ‎ ‎15、设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于______________.‎ ‎16、已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_____________.‎ 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)‎ ‎17、(10分) 设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B.‎ ‎18、(12分)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1. ‎ ‎(Ⅰ)证明:AB=AC;‎ ‎(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.‎ ‎19、(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.‎ ‎(Ⅰ)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列{an}的通项公式.‎ ‎20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.‎ ‎(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;‎ ‎(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;‎ ‎(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.‎ ‎21、(12分)已知椭圆C:(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎22、(12分)设函数=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2. ‎ ‎(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明: .‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(理)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1、(5分) A 解析:.故选A.‎ ‎2、(5分) B 解析:∵(x-1)(x-4)＜0,∴1＜x＜4,‎ 即B={x|1＜x＜4},∴A∩B=(3,4).故选B.‎ ‎3、(5分) D 解析:∵,∴A为钝角.‎ 又∵,∴.‎ 代入sin2A+cos2A=1,求得.‎ 故选D.‎ ‎4、(5分) B 解析:∵,‎ ‎∴y′|x=1=-1.‎ ‎∴切线的斜率k=-1.‎ ‎∴切线方程为y-1=-(x-1),‎ 即x+y-2=0.故选B.‎ ‎5、(5分) C ‎ 解析:如图所示,连接A1B,因A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，‎ 所以A1B∥D1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角.‎ 不妨设AB=1,则AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则 ‎,,,.‎ ‎∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=.故选C.‎ ‎6、(5分) C ‎ 解析:设b=(x,y),‎ 由 得 解方程组得或 则|b|=.故选C.‎ ‎7、(5分) A 解析:∵a=log3π＞log33=1,,‎ ‎.‎ ‎∴a＞b＞c.故选A.‎ ‎8、(5分) D 解析:将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位,‎ 得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合,‎ ‎∴(k∈Z),即,‎ ‎∴ 当k=0时,,即ω的最小值为.故选D.‎ ‎9、(5分) D 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意 得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2·4k2＞0.‎ 得-1＜k＜1,即0＜k＜1,,x1x2=4.‎ 又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,‎ ‎∴x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2.‎ 代入x1·x2=4,得 x22+x2-2=0,‎ ‎∴x2=1,或x2=-2(舍去,因x2＞0).‎ ‎∴x1=2×1+2=4.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又0＜k＜1,∴.故选D.‎ ‎10、(5分) C 解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.‎ ‎11、(5分) A 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由,‎ 得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),‎ ‎∴y1=-4y2.‎ 设过F点斜率为的直线方程为,‎ ‎∴‎ 则有 ‎∴‎ 将y1=-4y2分别代入①②得 化简得 ‎∴.‎ 化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).‎ ‎∴25c2=36a2.∴,即.‎ ‎12、(5分) B ‎ 解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“Δ”的面的方位则为北.故选B. ‎ 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)‎ ‎13、(5分) 6‎ 解析:设展开式中第r+1项为x3y3项,‎ 由展开式中的通项,得 ‎=.令,‎ 得r=2.∴系数为.‎ ‎14、(5分) 9 ‎ 解析:由a5=5a3,得,‎ ‎.‎ ‎15、(5分) 8π ‎ 解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在Rt△ONB中,d2=R2-BN2.①‎ 又∵π·BN2=,‎ ‎∴.‎ 在△ONM中,d=OM·sin45°=,②‎ 将②代入①得,∴R2=2.‎ ‎∴S球=4πR2=8π.‎ ‎16、(5分) 5 ‎ 解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+()2=3.‎ 在△ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴.‎ 同理在△OBP中,.‎ S四边形=S△CAD+S△CAB=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号. ‎ 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)‎ ‎17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得 cos(A-C)-cos(A+C)=,‎ cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,‎ ‎.‎ 又由b2=ac及正弦定理得 sin2B=sinAsinC.‎ 故,‎ 或(舍去),‎ 于是或.‎ 又由b2=ac知b≤a或b≤c,‎ 所以.‎ ‎18、(12分) 解法一:(Ⅰ)取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EFDA. ‎ 连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF∥DE.‎ 又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平面BCC1,‎ 从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,‎ 所以AB=AC,‎ ‎(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.‎ 由题设知∠AGC=60°.‎ 设AC=2,则.又AB=2,,故.‎ 由AB·AD=AG·BD得,解得,‎ 故AD=AF.又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形.‎ 因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF.‎ 连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD.‎ 连接CH,则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角.‎ 因ADEF为正方形,,故EH=1,又,‎ 所以∠ECH=30°,即B1C与平面BCD所成的角为30°.‎ 解法二:(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,‎ 建立如图所示的直角坐标系A—xyz,‎ 设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),‎ 则B1(1,0,2c),E(,,c).‎ 于是=(,,0),=(-1,b,0).‎ 由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,‎ ‎·=0,求得b=1,‎ 所以AB=AC.‎ ‎(Ⅱ)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0.‎ 又=(-1,1,0), =(-1,0,c).‎ 故 令x=1,则y=1, , =(1,1,).‎ 又平面ABD的法向量=(0,1,0).‎ 由二面角A-BD-C为60°知,〈〉=60°,‎ 故·=||·||·cos60°,求得.‎ 于是=(1,1,), =(1,-1,),‎ cos〈,〉=,‎ ‎〈,〉=60°,‎ 所以B1C与平面BCD所成的角为30°.‎ ‎19、(12分) 解:(Ⅰ)由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3,‎ 又an+2=Sn+2-Sn+1‎ ‎=4an+1+2-(4an+2)‎ ‎=4an+1-4an;‎ 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.‎ ‎    因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2,‎ 所以an+1-2an=3×2n-1,‎ 于是,‎ 因此数列{}是首项为,公差为的等差数列,‎ ‎,‎ 所以an=(3n-1)·2n-2.‎ ‎20、(12分) 解:(Ⅰ)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人. ‎ ‎(Ⅱ)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则 ‎.‎ ‎(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3.‎ Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2.‎ B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.‎ Ai与B独立,i=0,1,2.‎ P(ξ=0)=P(A0·)=P(A0)·P()=,‎ P(ξ=1)=P(A0·B+A1·)=P(A0)·P(B)+P(A1)·P()‎ ‎=,‎ P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)·P(B)=,‎ P（ξ=2)=1-［P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)］=.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.‎ ‎21、(12分) 解:(Ⅰ)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，O到l的距离为,‎ 故,c=1.由,得,.‎ ‎(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，‎ 由（Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,设A（x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).‎ C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,‎ 整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.‎ 又A、B在C上，即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.‎ 故2x1x2+3y1y2+3=0.①‎ 将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得 ‎（2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,‎ 于是,,‎ y1·y2=k2(x1-1)(x2-1)=.‎ 代入①解得k2=2,此时,‎ 于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,‎ 即P（,).‎ 因此，当时，P(,),l的方程为;‎ 当时，P(,)，l的方程为.‎ ‎(ⅱ)当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立,‎ 综上,C上存在点P(,)使成立,此时l的方程.‎ ‎22、(12分) 解:(Ⅰ)由题设知,函数的定义域是x＞-1, ‎ ‎,‎ 且f′(x)=0有两个不同的根x1,x2,故2x2+2x+a=0的判别式Δ=4-8a＞0,‎ 即,‎ 且,.①‎ 又x1＞-1,故a＞0.‎ 因此a的取值范围是(0,).‎ 当x变化时,与f′(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-1,x1)‎ x1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎    因此在区间(-1,x1)和(x2,+∞)上是增函数，在区间（x1,x2)上是减函数.‎ ‎(Ⅱ)由题设和①知 ‎＜x2＜0,a=-2x2(1+x2),‎ 于是f(x2)=x22-2x2(1+x2)ln(1+x2).‎ 设函数g(t)=t2-2t(1+t)ln(1+t),‎ 则g′(t)=-2(1+2t)ln(1+t).‎ 当时,g′(t)=0;‎ 当t∈(,0)时,g′(t)＞0,‎ 故g(t)在区间［,0)上是增函数.‎ 于是,当t∈(,0)时,.‎ 因此.‎