高考试题——数学理四川卷解析版 18页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理工农医科）‎ 第Ⅰ卷 本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 如果事件相互独立，那么 球的体积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题：‎ ‎1.设集合则 Ａ.　Ｂ.　　Ｃ.　Ｄ.‎ ‎【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。‎ 解析：由题，故选择C。‎ 解析2：由故，故选C．‎ ‎２.已知函数连续，则常数的值是 Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。‎ 解析：由题得，故选择B。‎ 解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ‎，可得．故选B．‎ ‎３.复数的值是 Ａ.－１　 Ｂ.１　 　　　Ｃ.－ Ｄ.‎ ‎【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。‎ 解析：，故选择A。‎ ‎4.已知函数，下面结论错误的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 ‎【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）‎ 解析：由函数的可以得到函数是偶函数，所以选择D．‎ ‎5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是 Ａ.　　 Ｂ.平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C. 直线∥平面 Ｄ.‎ ‎【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）‎ 解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，‎ 因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。‎ 解析2：设低面正六边形边长为，则，由平面可知，且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。‎ ‎6.已知为实数，且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）‎ 解析：推不出；但，故选择B。‎ 解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。‎ ‎7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=‎ A. B. C .0 D. 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）‎ 解析：由题知，故，‎ ‎∴，故选择C。‎ 解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程，则左、右焦点坐标分别为，再将点代入方程可求出，则可得，故选C。‎ ‎8.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）‎ 解析：由知截面圆的半径 ‎，故，所以两点的球面距离为，故选择B。‎ 解析2：过球心作平面的垂线交平面与，，则在直线上，由于，，所以，由为等腰直角三角形可得，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。‎ ‎9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B‎.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。‎ 解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。‎ 解析2：如下图，由题意可知 ‎10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）‎ 解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即 已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。‎ ‎11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. ‎188 C. 216 D. 96 ‎ ‎【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。‎ 解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有188‎ 解析2：由题意有,选B。‎ ‎ 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）‎ 解析：令，则；令，则 由得，所以 ‎，故选择A。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅱ卷 考生注意事项：‎ ‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13.的展开式的常数项是 （用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）‎ 解析：由题知的通项为，令得，故常数项为。‎ ‎14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w ‎ ‎【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。‎ 解析：由题知，且，又，所以有，∴。‎ ‎15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。‎ 解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则 ‎，故填写。‎ 法2：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。‎ ‎16．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ①设是平面上的线性变换，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ②对设，则是平面上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；‎ ④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ ‎【考点定位】本小题考查新定义，创新题。‎ 解析：令，由题有，故①正确；‎ 由题，，即 ‎，故②正确；‎ 由题，，即 ‎，故③不正确；‎ 由题，，即也共线，故④正确；‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 ‎（I）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）若，求的值。‎ 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。‎ 解：（Ⅰ）、为锐角，，‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.‎ ‎ 由正弦定理得 ‎，即， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ……………………………………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。‎ ‎（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；‎ ‎（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求 的分布列及数学期望。‎ 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎ , ‎ ‎ ，，‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以， ……………………12分 ‎ ‎19（本小题满分12分）如图，正方形 所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ 本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，‎ 平面平面，‎ 所以⊥平面 所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形， ，‎ 所以 又因为，‎ 所以，‎ 即⊥,‎ 所以⊥平面。 ……………………………………4分 ‎ （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面 ‎ 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC ‎ 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN ‎ 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，‎ ‎ 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 ‎ （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,‎ 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中，tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 解法二:‎ ‎(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以AE⊥AB.‎ 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,‎ 平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 所以AE⊥AD.‎ 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,‎ E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).‎ 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,‎ 所以∠AFE= 90°.‎ 从而，.‎ 所以,,.‎ ‎,.‎ 所以EF⊥BE, EF⊥BC.‎ 因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,‎ 所以EF⊥平面BCE.‎ ‎ (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.‎ 从而=（，）.‎ 于是 所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，‎ 故PM∥平面BCE. ………………………………8分 ‎(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）‎ ‎=(1，1，0)，‎ ‎ 即 去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）‎ 取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）‎ 故二面角F-BD-A的大小为. ……………………………………12分 ‎20（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。‎ 本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）有条件有，解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。‎ ‎ 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.‎ ‎ 将x=-1代入椭圆方程得。‎ ‎ 不妨设、，‎ ‎ .‎ ‎ ,与题设矛盾。‎ ‎ 直线l的斜率存在。‎ ‎ 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。‎ 设、，‎ 联立，消y得。‎ 由根与系数的关系知，从而，‎ 又，，‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 化简得 解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（II）若 ‎（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解：（Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0‎ 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。‎ 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有 ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时，设 则 ‎ < w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当n为奇数时，设 则 ‎<‎ 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分